鄭行軍

摘要：圓盤問題是圓周運動一個重要的物理模型，圓盤模型分析可以很好的考查運動參量的關系、動力學規(guī)律和功能關系等綜合問題.本文借助物理模型化思維，以圓盤基本模型為基礎，以中學物理需要掌握的知識結構為導向，構建試題中可能的命題方向和解題策略，引導學生理清物體運動過程中各個參量之間的關系，深化其內在聯系，實現圓盤問題學習的進階發(fā)展.

關鍵詞：圓盤；圓周運動；動力學；動態(tài)分析；臨界

圓盤問題是圓周運動題型中一個很重要的物理模型，它不僅考查了圓周運動參量的關系、動力學規(guī)律和離心運動問題，還往往涉及臨界問題.本文就中學階段幾種常見的圓盤模型進行整理歸類，希望能有一個比較清晰的認識.

一、基本物理模型詮釋

1.結構特點：如圖1 所示，在水平轉臺上距轉軸為r 處放一質量為m 的物體，物體與轉臺之間的動摩擦因數為μ，隨同轉臺一起以角速度ω 轉動.

2.動力學特點：

（1）物塊與轉臺相對靜止一起做勻速圓周運動.

物塊所受重力與支持力平衡，轉臺對物體的靜摩擦力提供物體做勻速圓周運動所需要的向心力，靜摩擦力f方向指向圓心，有f=mv2r=mω2r，f≤fm（最大靜摩擦力）是物塊與轉臺保持相對靜止的條件.

（2）若物塊與轉臺相對靜止做變速圓周運動

物塊所受靜摩擦力除了提供所需向心力，必須沿切線方向有力的作用，改變物塊速度大小，因此靜摩擦力一個分力指向圓心，沿切線方向分力不為零，兩分力合力為靜摩擦力，所以靜摩擦力方向一定不指向圓心.

若轉臺加速轉動，摩擦力方向如圖2（甲）所示；若轉臺減速轉動，摩擦力方向如圖2（乙）所示.

例1如圖3所示，小木塊a、b和c （可視為質點）放在水平圓盤上，a、b木塊質量均為m，c的質量為m2.a與轉軸OO′的距離為l，b、c與轉軸OO′的距離為2l且均處于水平圓盤的邊緣.木塊與圓盤的最大靜摩擦力為木塊所受重力的k倍，重力加速度大小為g，若圓盤從靜止開始繞轉軸緩慢地加速轉動，下列說法正確的是（）

A.b、c所受的摩擦力始終相等，故同時從水平圓盤上滑落

B.當a、b和c均未滑落時，a、c所受摩擦力的大小相等

C.b和c均未滑落時線速度大小一定相等

D.b開始滑動時的轉速是2kgl

解析由f=mω2r，b、c一起運動時所受的靜摩擦力不相等，木塊開始滑動時，最大靜摩擦力提供向心力，kmg=mω20r得臨界角速度ω0=kgr，故b、c同時從水平圓盤上滑落，A錯誤；當a、b和c均未滑落時，木塊所受的靜摩擦力f=mω2r，ω相等，f∝mr，所以a、c所受的靜摩擦力相等，都小于b的靜摩擦力，故B正確；b和c均未滑落時線速度v=rω大小一定相等，故C正確；以b為研究對象，由牛頓第二定律得：f=2mω2l=kmg，轉速n=ω2π可解得：n=12πkg2l，D錯誤.故選：BC.

二、模型拓展歸類探析

1.疊放型圓盤模型

模型解讀：如圖4所示，兩物體A、B疊放在一起隨盤勻速轉動時，對上物體A研究，由B對A的摩擦力提供向心力f1=mAω2r；對下物體B研究，則由盤對B的摩擦力和A對B的摩擦力的合力提供向心力f2-f1=mBω2r；由于兩物體始終相對靜止，具有共同的角速度，故也可利用整體法和隔離法分析求解.

例2如圖5所示，粗糙水平圓盤上，質量相等的A、B兩物塊疊放在一起，隨圓盤一起做勻速圓周運動，設物體間最大靜摩擦力與滑動摩擦力相等，則下列說法中正確的是（）

A.B的向心力是A的向心力的2倍

B.盤對B的摩擦力是B對A的摩擦力的2倍

C.A、B都有沿半徑向外滑動的趨勢

D.增大轉速，若B先滑動，則B對A的動摩擦因數μA小于盤對B的動摩擦因數μB

解析根據F向=mω2r，因為兩物塊的角速度大小相等，轉動半徑相等，質量相等，則向心力相等，A錯誤；對A、B整體分析，fB=2mω2r，對A分析，fA=mω2r，知盤對B的摩擦力是B對A的摩擦力的2倍， B正確；A所受的靜摩擦力方向指向圓心，可知A有沿半徑向外滑動的趨勢，B受到盤的靜摩擦力方向指向圓心，有沿半徑向外滑動的趨勢， C正確；對A、B整體分析，2μBmg=2mω2Br，解得ωB=μBgr，對A分析，μAmg=mω2Ar，解得ωA=μAgr，因為B先滑動，可知B先達到臨界角速度，可知B的臨界角速度較小，即μB<μA，故D錯誤，正確答案為BC.

2.約束型圓盤模型

模型解讀：如圖6所示，由輕繩（輕桿）相連接的物體系統(tǒng)與圓盤一起運動時，當轉速較小時，繩子（桿）沒有張力，由靜摩擦力提供向心力，方向都指向圓心；當轉速較大時，其中一物體摩擦力達最大值，繩子（桿）開始出現張力，由摩擦力和張力的合力提供向心力；由于繩（桿）約束，兩物體應同時開始發(fā)生相對滑動，說明此時都已達到最大靜摩擦力，由向心力公式即可求得此時角速度和繩子的張力.

例3如圖7所示，用細線相連的兩個質量均為m的相同小物塊A和B（可視為質點），沿半徑方向放在水平圓盤上，A與轉軸OO′的距離為2l，B與轉軸的距離為l，物塊與圓盤間的動摩擦因數為μ，且最大靜摩擦力等于滑動摩擦力.圓盤靜止時，細線處于水平且無張力，若圓盤從靜止開始繞轉軸緩慢地加速轉動，用ω表示圓盤轉動的角速度，則（）

A.A、B兩物體受到的摩擦力方向相反

B.當ω=7μg12l時，細線張力為μmg6

C.當ω=4μg3l時，兩物體開始滑動

D.兩物體開始滑動時，細線上張力為μmg3

解析A、B都做勻速圓周運動，合外力提供向心力，當轉速較小時，繩子沒有張力，A、B都是由靜摩擦力提供向心力，方向都指向圓心，方向相同，故A錯誤；當ω=7μg12l時，對A有：T+μmg=mω2·2l，解得：T=μmg6，故B正確；當B開始滑動時，A、B所受靜摩擦力均達最大，設此時細繩張力為T1：對A：T1+μmg=mω2·2l，對B：μmg-T1=mω2l，聯立解得：ω=2μg3l，T1=μmg3，故C錯誤，D正確，正確答案為BD.

例4如圖8所示，水平轉臺上有一個質量為m的物塊，用長為l的輕質細繩將物塊連接在轉軸上，細繩與豎直轉軸的夾角θ為π6，此時繩繃直但無張力，物塊與轉臺間動摩擦因數為μ=13，最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，物塊隨轉臺由靜止開始緩慢加速轉動，角速度為ω，重力加速度為g，則（）

A.當ω=g2l時，細線中張力為零

B.當ω=3g4l時，物塊與轉臺間的摩擦力為零

C.當ω=gl時，細線的張力為13mg

D.當ω=4g3l時，細線的張力為43mg

解析當轉臺的轉速比較小時，物塊只受重力、支持力和摩擦力，當繩恰好產生力時，靜摩擦力達最大值，此時μmg=mω21lsinθ，ω1=2g3l，A正確；隨轉速增大，細繩的力增大，當物塊恰好要離開轉臺時，物塊受到重力和細繩的拉力的作用：mgtanθ=mω22lsinθ，解得：ω2=23g3l，由于ω1<3g4l<ω2，故當ω=3g4l時，物塊轉臺間的摩擦力不為零，B錯誤；由于ω113mg，C錯誤；當ω=4g3l時，物塊已離開盤面，設細線與豎直軸的夾角為α，則mgtanα=mω2lsinα，解得：cosα=34，故T=mgcosα=43mg，D正確.故正確答案為AD.

3.傾斜放置型圓盤模型

模型解讀：如圖9所示，傾斜放置的盤繞軸做勻速圓周運動時，靠重力沿圓盤方向的分力以及靜摩擦力的合力提供向心力，由于合力方向要始終指向圓心，故盤上不同位置，靜摩擦力的大小和方向不同，最低點盤對物體的靜摩擦力最大，力的方向沿盤向上，大小大于重力沿盤方向的分力；最高點盤對物體的靜摩擦力最小，力的方向可能沿盤向下，可能沿盤向上，也可能靜摩擦力為零，取決于圓盤角速度的大小.

例3如圖10所示，兩個質量均為m的小物塊a和b（可視為質點），靜止在傾斜的勻質圓盤上，圓盤可繞垂直于盤面的固定軸轉動，a到轉軸的距離為l，b到轉軸的距離為2l，物塊與盤面間的動摩擦因數為32，盤面與水平面的夾角為30°.設最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，重力加速度大小為g，若a、b隨圓盤以角速度ω勻速轉動，下列說法正確的是（）

A.a在最高點時所受摩擦力可能為0

B.a在最低點時所受摩擦力可能為0

C.ω=g8l是a開始滑動的臨界角速度

D.ω=g8l是b開始滑動的臨界角速度

解析若角速度較大，在最高點靠重力沿圓盤方向的分力以及靜摩擦力提供向心力，b的向心力大于a的向心力，則b的靜摩擦力大于a的靜摩擦力，a在最高點的靜摩擦力可能為零，故A正確；在最低點a靠靜摩擦力和重力沿圓盤方向的分力提供向心力，合力指向圓心，則靜摩擦力大于重力沿圓盤方向的分力，故B錯誤；在最低點，對a根據牛頓第二定律得μmgcos30°-mgsin30°=mlω2，解得a開始滑動的臨界角速度ω=g4l，故C錯誤；在最低點，對b根據牛頓第二定律得μmgcos30°-mgsin30°=m·2lω′2，解得b開始滑動的臨界角速度ω=g8l，故D正確.正確答案為AD.

綜上所述，圓盤問題雖然涉及的知識點很多，分析時只要牢牢抓住圓周運動的核心和本質，以基本公式為出發(fā)點，以物理模型的特點為導向，把握物理運動過程的動力學特點、功能特點、臨界狀態(tài)下的信息條件，聯立方程使問題得解.因此在學習時應注意對圓盤模型規(guī)律的總結，從而提高解題能力.

參考文獻：

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