陳旌

【摘要】本文就冪指函數(shù)的求導和取對數(shù)進行了相關(guān)探索。關(guān)于求導先討論3階冪指函數(shù)，然后擴展到n階。然后對冪指函數(shù)取對數(shù)次數(shù)進行了討論。

【關(guān)鍵詞】冪指函數(shù) 求導 對數(shù)

【中圖分類號】G642 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2017）18-0211-01

一、引言

n階冪指函數(shù)指的是形如的函數(shù)，關(guān)

于冪指函數(shù)的求導已經(jīng)有部分研究，而高等數(shù)學對冪指函數(shù)求導的要求限制在2階以內(nèi)。

本文對階冪指函數(shù)求導進行了進一步推廣和延拓，推導出 階冪指函數(shù)求導時的相關(guān)公式和取對數(shù)的次數(shù).

二、推導定理

引理1[2] 一元冪指函數(shù)的求導公式為

.

定理1若，則同樣有

證明：當時，由引理1可知

因為且可導，由引理1可知

綜合以上步驟，當無論正負，且它們均可導時，有

說明： （1）定理1弱化了引理的條件，對階冪指函數(shù) 且且均可導

時，的正負不影響的求導.

（2）由定理1給出了3階冪指函數(shù)的求導公式。對一般的n階冪指函數(shù)，都可以應用此定理來求導。當時，借助整體代換思想，將視作一個整體，先求出導數(shù)，再對使用同

樣的方法，依次代換，最后可以求出導數(shù)。

定理2對冪指函數(shù)，其中，

，（1）當不含的冪指函數(shù)，則至少經(jīng)過次取對數(shù)，有，中沒有的冪指函數(shù)；

（2）當含有的冪指函數(shù)，即，

當其不為0時最少經(jīng)過次取對數(shù)，使中不含關(guān)于 的冪指函數(shù).

證明 ：（1） 當時，由數(shù)學歸納法.

當=1時，顯然不是的冪指函數(shù).

設當時，至少經(jīng)過次取對數(shù)，使階冪指函數(shù)中冪指形式消失.

則當時，，兩邊同時取對數(shù)得

右邊即為關(guān)于的階冪指函數(shù).由歸納假設，還得經(jīng)過取對數(shù)次來消除冪指形式.故當時，一共需要取對數(shù)次消除冪指形式.

即當時，需要取對數(shù)次來消除冪指形式.

當時，，

由且其導數(shù)非0，可經(jīng)次取對數(shù)消除的

冪指形式.

綜上，的正負性與取對數(shù)的次數(shù)無關(guān)，即證.

（2）中含的冪指函數(shù)時，對作次對數(shù)有：

其中為階冪指函數(shù)，由之前推導，要消去等號右邊的冪指函數(shù)，需進行次取對數(shù).

即證.

參考文獻：

[1]賈曉峰.微積分與數(shù)學模型.上冊[M].3版.北京：高等教育出版社.2015.9.

[2]張勇軍.一類冪指函數(shù)求導公式的推導[J].海南大學學報：自然科學版，2012，30（二）：107-109.

[3]B. Wu， Y. Lin， Application of the reproducing kernel space， Science Press， 2012.