陳志豪　戴望義　包鵬飛　吳勁賢　涂成志　王明鋒

摘 要 我們闡述和研究了目前測(cè)量波爾茲曼常數(shù)的基本方法，詳細(xì)推導(dǎo)和分析了各種方法的基本原理。在此基礎(chǔ)上，根據(jù)各方法的特點(diǎn)，結(jié)合目前大學(xué)物理基礎(chǔ)實(shí)驗(yàn)中所常用的儀器，給出了各方法的一種實(shí)驗(yàn)實(shí)現(xiàn)方案，并對(duì)各方案的可行性做了具體的分析。

關(guān)鍵詞 波爾茲曼常量 多普勒效應(yīng)法

中圖分類號(hào)：O4234 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

1引言

玻爾茲曼常量是統(tǒng)計(jì)熱力學(xué)的一個(gè)基本常量，它是連接宏觀與微觀世界的橋梁。作為物理學(xué)的基本常量之一，玻爾茲曼常量的精確測(cè)量將對(duì)物理學(xué)進(jìn)一步精確發(fā)展起到很大的推動(dòng)作用。目前，波爾茲曼常數(shù)測(cè)量方法有多種，而發(fā)展較為成熟主要有兩種，既多普勒效應(yīng)法和PN結(jié)電子漂移法。多普勒效應(yīng)法是從氣體原子的譜線展寬與溫度存在的函數(shù)關(guān)系反演得出波爾茲曼常數(shù)，該方法的特點(diǎn)是精確度很高，目前已知的實(shí)驗(yàn)上該方法所能達(dá)到的精度為10-6；PN結(jié)電子漂移法是根據(jù)PN結(jié)的漂移電流與電壓的熱力學(xué)關(guān)系確定波爾茲曼常數(shù)的，該方法的特點(diǎn)是測(cè)量過程簡(jiǎn)單，但測(cè)量精度較低，目前僅能達(dá)到10-2，故適合做驗(yàn)證性的方法。本文將從原理層面具體和深入分析以上兩種方法的基本原理，在此基礎(chǔ)上，本文也將給出在目前大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)設(shè)備條件下的具體實(shí)驗(yàn)實(shí)現(xiàn)方案，為波爾茲曼常數(shù)的實(shí)驗(yàn)測(cè)量提供一定的參考。

2多普勒效應(yīng)法

2.1 譜線展寬基本原理

圖1：譜線輪廓

我們知道，原子的發(fā)射譜線是原子外電在能級(jí)間的躍遷所產(chǎn)生的，不同能級(jí)間躍遷所發(fā)射的光的頻率是一定的，所以，對(duì)于單個(gè)原子我們能觀察到特定數(shù)目的分立特征譜線。但在實(shí)際的自然界中，原子往往則以集體的、大量的形式出現(xiàn)，如空氣中的氧原子，水中的氫原子等。這些原子集體所發(fā)射的光譜是有一定的寬度的，稱之為譜線寬度，如圖1所示。引起譜線展寬的原因有多種，對(duì)于氣態(tài)原子如（汞燈中的）汞蒸汽，展寬的原因是氣體原子的多普勒效應(yīng)所引起的。在氣態(tài)原子中，原子的熱運(yùn)動(dòng)遵從麥克斯韋速度分布律

（1）

方程中k為波爾茲曼常數(shù)，T為氣體溫度。顯然，當(dāng)其中的某一原子面向探測(cè)器運(yùn)動(dòng)時(shí)，則我們探測(cè)到的光的將會(huì)藍(lán)移；而如果某一原子背向探測(cè)器運(yùn)動(dòng)時(shí)，我們將會(huì)探測(cè)到紅移。由于氣體存在著朝各個(gè)方面的且速度不盡相同的原子，如（1）所示，所以我們最終將會(huì)探測(cè)到如圖（1）所示的頻譜分布。如果設(shè)最強(qiáng)處相應(yīng)的頻率為v0（強(qiáng)度為I0），我們可定義強(qiáng)度為I0/2處兩側(cè)的頻率v1和v2的差|v2v1|=△v為譜線的半高寬。根據(jù)（1）式，利用原子運(yùn)動(dòng)速度和光譜頻率f間的關(guān)系v=c（f/f01），我們可得到發(fā)射光譜頻率分布函數(shù)

（2）

顯然，頻率分布繼承了速率分布的高斯特性。對(duì)于高斯函數(shù)（2），我們很容易推導(dǎo)出譜線的半高寬為：

（3）

顯然，對(duì)于特定的原子氣體，質(zhì)量與中心波長(zhǎng)是特定的，此時(shí)如果我們測(cè)得了氣體溫度與展寬量即可計(jì)算出玻爾茲曼常量。

2.2實(shí)驗(yàn)實(shí)施方案

本實(shí)驗(yàn)儀器主要由三部分組成，即光源、干涉衍射儀、光強(qiáng)探測(cè)器。光源發(fā)射出來(lái)的光包含有原子熱運(yùn)動(dòng)的信息，經(jīng)過干涉衍射裝置可將出射光的強(qiáng)度信息在空間上擴(kuò)展開來(lái)，最后到達(dá)光強(qiáng)探測(cè)器對(duì)各頻率強(qiáng)度進(jìn)行解讀，通過強(qiáng)度分布可確定譜線展寬。對(duì)于光源，我們可選用氫燈，氫燈是冷陰極輝光放電燈，其具有光源氫原子純度高、發(fā)光穩(wěn)定、譜線頻率單一等諸多優(yōu)點(diǎn)。對(duì)于干涉衍射儀和光強(qiáng)探測(cè)器，我們可選這集兩者功能于一身的光學(xué)多道分析器。光學(xué)多道分析器是常用之儀器，他是集光學(xué)、精密機(jī)械、電子學(xué)、計(jì)算機(jī)技術(shù)于一體的精密儀器，能夠精確的測(cè)量出某一入射光的頻譜強(qiáng)度分布。雖然他的結(jié)構(gòu)和工作原理較為復(fù)雜，但由于使用了計(jì)算機(jī)技術(shù)而使得操作過程十分的方便。

具體實(shí)驗(yàn)過程如圖2所示，氫燈發(fā)出的光經(jīng)透鏡L后入射到光學(xué)多道分析系統(tǒng)。經(jīng)過夾縫S1后入射到反射鏡M1上，經(jīng)M1反射入準(zhǔn)直鏡M2，M2可將入射光轉(zhuǎn)換為平行光束投向光柵G，衍射后的平行光束經(jīng)過物鏡M3反射最終可在CCD或觀察窗P上成像。經(jīng)CCD掃描可得到不同頻率的強(qiáng)度分布。根據(jù)強(qiáng)度對(duì)應(yīng)的頻率坐標(biāo)值，我們即可測(cè)得譜線半寬值，根據(jù)譜線半寬和氫燈溫度可最終反演出波爾茲曼常數(shù)。

3 PN結(jié)電子漂移法

3.1 PN結(jié)基本原理

PN結(jié)是二級(jí)管或者三級(jí)管（晶體管）上的重要部分，把P型半導(dǎo)體和N型半導(dǎo)體結(jié)合在一起，在兩者的結(jié)合面上將會(huì)發(fā)生電子與空穴的擴(kuò)散。空穴和電子會(huì)相互越過交界面進(jìn)行復(fù)合，在P區(qū)和N區(qū)交界面的薄層區(qū)內(nèi)一邊帶正電荷，一邊帶負(fù)電荷，這個(gè)薄層即稱之為PN結(jié)，如圖3所示，PN結(jié)具有單向?qū)щ娦?。不同于常?guī)的金屬導(dǎo)體電阻，PN結(jié)的伏安特性并不是線性的，即PN結(jié)兩端的所加的電壓與通過的電流存在著指數(shù)函數(shù)關(guān)系，具體函數(shù)關(guān)系可由以下推導(dǎo)得出。

當(dāng)PN結(jié)附加正向電壓時(shí)[如圖4（a）]，擴(kuò)散和漂移的平衡被打破，擴(kuò)散運(yùn)動(dòng)將占優(yōu)勢(shì)，此時(shí)將有大量的電子不斷從N區(qū)擴(kuò)散到P區(qū)，同時(shí)有較多空穴從P區(qū)擴(kuò)散到N區(qū)。電子越過PN結(jié)后將繼續(xù)向P區(qū)漂移，在漂移過程中不斷與P區(qū)內(nèi)的空穴復(fù)合。顯然，距離界面越遠(yuǎn)，電子密度越低，擴(kuò)散一定距離后，電子與空穴全部復(fù)合，最后消失。所以，從界面伊始至P區(qū)縱深處電子的濃度形成了梯度差，正是這種梯度差使得電子和空穴不斷的運(yùn)動(dòng)，形成了PN結(jié)電流。從能量的角度看，假設(shè)未加電流時(shí)PN結(jié)的電勢(shì)差為VD，此時(shí)P區(qū)相對(duì)于N區(qū)具有負(fù)電勢(shì)，也即P區(qū)電子的電勢(shì)能增加了qVD，其中q為電子電量，該勢(shì)壘阻止N區(qū)的電子繼續(xù)向P區(qū)擴(kuò)散，故而形成了動(dòng)態(tài)平衡。由波爾茲曼統(tǒng)計(jì)規(guī)律可知，動(dòng)態(tài)平衡時(shí)PN結(jié)兩邊的載流子滿足以下分布：

（4）

式中和分別表示平衡態(tài)時(shí)P區(qū)電子濃度和空穴濃度；和則表示平衡態(tài)時(shí)N區(qū)的電子濃度和空穴濃度。從（4）可看出P區(qū)的少數(shù)載離子濃度依賴于結(jié)電壓的大小，故而此時(shí)如果我們對(duì)PN結(jié)施加正向電壓V，即勢(shì)壘高度降為q（VDV），我們?nèi)菀淄瞥鯬區(qū)附近的電子濃度分布

（5）

（5）式表明P區(qū)附近的電子濃度附加電勢(shì)甚為敏感，具體表現(xiàn)為指數(shù)關(guān)系。對(duì)應(yīng)于該式，我們?nèi)菀椎贸鯬N處非平衡載流子濃度為

（6）

于是可得到正向電壓下電子擴(kuò)散而產(chǎn)生的電流密度為：

（7）

式中Cn為一比例系數(shù)，它與電子的擴(kuò)散系數(shù)和擴(kuò)散長(zhǎng)度有關(guān)，而與溫度等因素?zé)o關(guān)。同理，如果我們分析處在正壓降下由于空穴的擴(kuò)散而產(chǎn)生的電流密度jp，將得到與（7）式相同的表達(dá)式，于是可最終得到PN結(jié)在加正向電壓下，PN結(jié)的伏安特性表達(dá)式：

（8）

式（8）表明，在加正向電壓下，PN結(jié)處的正向電流隨電壓呈指數(shù)增長(zhǎng)。對(duì)于特定材料的PN結(jié)，一定溫度下，是一項(xiàng)不隨電壓電流變化的常數(shù)，于是如果我們能測(cè)定PN結(jié)兩端電流隨附加電壓的具體數(shù)值即可推導(dǎo)出波爾茲曼常數(shù)k。

3.2 實(shí)驗(yàn)方案

理論上，我們可利用二極管，改變附加在二極管上的電壓，同時(shí)測(cè)量通過二極管管的電流，最后擬合電壓電流關(guān)系即可測(cè)得波爾茲曼常數(shù)。然而實(shí)際實(shí)驗(yàn)中該種方法測(cè)出的波爾茲曼常數(shù)值往往偏小，原因是二極管電流不僅僅是擴(kuò)散電流，還存在著其他電流的影響，諸如耗盡層復(fù)合電流，其正比于，還有就是表面電流，它是由SO2界面中的雜質(zhì)原子所引起的，其正比于，其中m>2。所以在實(shí)際實(shí)驗(yàn)中往往采用三級(jí)管來(lái)準(zhǔn)確的測(cè)量k。實(shí)驗(yàn)中一般將三極管接成共基極，即集電極與基極短接，此時(shí)集電極電流為擴(kuò)散電流，而表面電流出現(xiàn)在基極，在這種情況下，此時(shí)集電極電流與結(jié)電壓嚴(yán)格滿足（8）式。

實(shí)驗(yàn)中我們可采用TIP31型三級(jí)管，實(shí)驗(yàn)中可設(shè)置其處于較低的正向偏置，于是表面電流的影響可完全忽略。在較低正向偏置的情況下，PN結(jié)的電流大致在10-5-10-8數(shù)量級(jí)間，故漂移電流十分的微弱。為測(cè)量此微弱電流可有兩種方法，一是使用使用高靈敏度的電壓或電流表（近代物理實(shí)驗(yàn)中心一般配有納米級(jí)毫伏表），如圖5所示，集電極電流可通過測(cè)量電阻兩端電壓降獲得，這里的電阻僅設(shè)為1 是為了減小集電極對(duì)發(fā)射集的反饋影響，盡量達(dá)到集電極接地之效果。二是將微小電流放大進(jìn)行測(cè)量，即可運(yùn)用集成運(yùn)算放大器，如圖6所示。為將集電極的微弱電流進(jìn)行放大，我們可在集電極回路中串入LF356運(yùn)算放大器，F(xiàn)356是一個(gè)高輸入阻抗的集成運(yùn)算放大器，具有輸入阻抗低，電流靈敏度高，溫漂小，線性好，設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單等優(yōu)點(diǎn)，該放大器的功能是將微弱的電流信號(hào)轉(zhuǎn)換為較強(qiáng)的電壓信號(hào)V2輸出。最后根據(jù)結(jié)電壓V1和結(jié)電流的V2測(cè)量值，通過指數(shù)擬合即可求解出波爾茲曼常數(shù)。

4結(jié)語(yǔ)

本文首先從原理層面學(xué)習(xí)與回顧了目前波爾茲曼測(cè)量的主要方法，接著考慮了具體實(shí)驗(yàn)的實(shí)現(xiàn)過程。根據(jù)大學(xué)物理的實(shí)驗(yàn)的基本特點(diǎn)，我們制定和總結(jié)出了測(cè)定波爾茲曼常數(shù)的幾種實(shí)驗(yàn)方案，對(duì)實(shí)驗(yàn)各個(gè)細(xì)節(jié)做了較為細(xì)致的分析，以此為契機(jī)，為我們進(jìn)一步測(cè)定波爾茲曼常數(shù)的具體實(shí)驗(yàn)過程提供一定的指導(dǎo)。

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