羅 敏, 張 志, 周 晗, 吳 群, 陶志富

(1.安徽大學(xué) 經(jīng)濟(jì)學(xué)院，合肥，230601；2.安徽大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，合肥 230601)

一種基于連續(xù)區(qū)間直覺模糊Theil測(cè)度的多屬性群決策方法*

羅 敏1, 張 志1, 周 晗2, 吳 群2, 陶志富1

(1.安徽大學(xué) 經(jīng)濟(jì)學(xué)院，合肥，230601；2.安徽大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，合肥 230601)

針對(duì)區(qū)間直覺模糊信息的不確定性，提出了一種基于連續(xù)區(qū)間直覺模糊Theil(C-IVIFT)測(cè)度的多屬性群決策方法。首先基于連續(xù)區(qū)間直覺模糊有序加權(quán)平均(C-IVIFOWA)算子定義了連續(xù)區(qū)間直覺模糊Theil測(cè)度，并研究該測(cè)度的一些性質(zhì)；其次，構(gòu)建以C-IVIFT測(cè)度偏差最小化為目標(biāo)的最優(yōu)化模型用以確定專家權(quán)重和屬性權(quán)重，進(jìn)而得到不同方案的綜合屬性值，并利用相似性函數(shù)和精確函數(shù)對(duì)方案進(jìn)行排序；最后，通過(guò)ERP軟件擇優(yōu)實(shí)例說(shuō)明提出的決策方法的合理性和有效性。

多屬性群決策；C-IVIFT測(cè)度；專家權(quán)重；屬性權(quán)重；區(qū)間直覺模糊集

多屬性群決策[1-4]是指多個(gè)專家針對(duì)具有多個(gè)屬性的有限方案進(jìn)行排序和選擇的一類決策問(wèn)題。當(dāng)屬性值與屬性權(quán)重都是確定的實(shí)數(shù)或語(yǔ)言評(píng)價(jià)信息時(shí)，已有很多成熟的解決方法?？紤]現(xiàn)實(shí)世界的復(fù)雜性和決策信息的模糊性，決策者的屬性評(píng)價(jià)值往往不是確定的實(shí)數(shù)。Atanassov[5-6]于1986年首次提出直覺模糊集，并于1989年將其拓展至區(qū)間環(huán)境中，提出了區(qū)間直覺模糊集概念，截至目前，基于區(qū)間直覺模糊集的相關(guān)研究取得了豐富的成果。針對(duì)區(qū)間直覺模糊多屬性決策方法，主要研究集中在：區(qū)間直覺模糊數(shù)的信息集成算子[7-8]；構(gòu)建區(qū)間直覺模糊信息的一些測(cè)度，并將其應(yīng)用到多屬性群決策中，例如相似性測(cè)度[9]、灰色關(guān)聯(lián)度[10]和距離測(cè)度[11]等；將一些經(jīng)典的決策方法應(yīng)用到區(qū)間直覺模糊多屬性決策中，例如譚春橋[12]基于TOPSIS方法，定義了區(qū)間直覺模糊集的接近系數(shù)和距離，運(yùn)用備選方案到正負(fù)理想解的距離確定接近系數(shù)，并對(duì)方案進(jìn)行排序。高建偉[13]針對(duì)準(zhǔn)則值為區(qū)間直覺模糊數(shù)，準(zhǔn)則權(quán)重分別為完全未知和部分已知的多準(zhǔn)則決策問(wèn)題，提出一種基于前景理論的決策分析方法等。

針對(duì)區(qū)間直覺模糊多屬性群決策問(wèn)題，考慮到?jīng)Q策者的偏好、知識(shí)結(jié)構(gòu)等方面存在差異，決策結(jié)果可能不同，因此有必要綜合各決策者的屬性評(píng)價(jià)信息。此時(shí)，如何確定決策者權(quán)重尤為關(guān)鍵。文獻(xiàn)[14]針對(duì)屬性權(quán)重完全未知的決策問(wèn)題, 首先定義了區(qū)間直覺模糊熵, 其次通過(guò)熵衡量每一屬性所含的信息量來(lái)求解屬性權(quán)重。在區(qū)間直覺模糊框架中引入交叉熵，以此確定決策者權(quán)重。Yue[15]利用相似測(cè)度的方法度量個(gè)體與專家群體決策的差異，進(jìn)而確定最優(yōu)的專家權(quán)重。

Theil不等系數(shù)是用來(lái)衡量?jī)山M數(shù)據(jù)偏差程度的一種度量方式，文獻(xiàn)[16-17]將其應(yīng)用于組合預(yù)測(cè)模型中。本文在現(xiàn)有研究的基礎(chǔ)上，將Theil不等系數(shù)拓展至區(qū)間直覺模糊環(huán)境中，考慮決策者的樂(lè)觀系數(shù)，提出了一種基于連續(xù)區(qū)間直覺模糊Theil(C-IVIFT)測(cè)度，并將其應(yīng)用到多屬性群決策問(wèn)題中。首先基于連續(xù)區(qū)間直覺模糊有序加權(quán)平均(C-IVIFOWA)算子提出了Theil不等系數(shù)測(cè)度公式，然后構(gòu)建多目標(biāo)規(guī)劃模型確定信息完全未知的屬性權(quán)重和專家權(quán)重，進(jìn)一步建立一種新的區(qū)間直覺模糊多屬性群決策方法，并將其應(yīng)用于ERP軟件的選擇過(guò)程中。

1 基本知識(shí)

定義1[5]設(shè)Y為給定論域，定義在Y上的直覺模糊集E表示為

(1)

其中，μE(y)和νE(y)分別表示y∈Y屬于E的隸屬度和非隸屬度，即μE:Y→[0,1],y∈Y→μE(y)∈[0,1],νE:Y→[0,1],y∈Y→νE(y)∈[0,1]，且?y∈Y，滿足μE(y)+νE(y)∈[0,1]。

此外，論域Y中元素y屬于E的猶豫度可表示為πE(y)=1-μE(y)-νE(y)。為簡(jiǎn)化表示，記β=(μβ,νβ)為直覺模糊數(shù)。

設(shè)β=(a,b)，β1=(a1,b1)，β2=(a2,b2)為直覺模糊數(shù)，其運(yùn)算遵循下列規(guī)則[4]：

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

其中，πλ根據(jù)式(2)計(jì)算可得。

定義5 設(shè)βλ,1=(aλ,1,bλ,1)和βλ,2=(aλ,2,bλ,2)為任意兩個(gè)含參數(shù)λ的直覺模糊數(shù)，則它們的大小比較方法定義如下：

(1) 若pλ(βλ,1)

(2) 若pλ(βλ,1)=pλ(βλ,2)，

a) 當(dāng)qλ(βλ,1)=qλ(βλ,2)，則βλ,1=βλ,2；

b) 當(dāng)qλ(βλ,1)

c) 當(dāng)qλ(βλ,1)>qλ(βλ,2)，則βλ,1>βλ,2。

2 連續(xù)區(qū)間直覺模糊Theil測(cè)度

定義6 設(shè)ηλ=(αλ,1,αλ,2,…,αλ,n)和γλ=(βλ,1,βλ,2,…,βλ,n)為論域Y上含參數(shù)λ的直覺模糊向量，若函數(shù)f:Ω×Ω→R滿足:

(10)

容易證明，直覺模糊向量ηλ和γλ間的C-IVIFT測(cè)度滿足下列性質(zhì)：

(1)fλ(ηλ,γλ)≥0；

(2) 當(dāng)ηλ=γλ時(shí)，fλ(ηλ,γλ)=0；

(3)fλ(ηλ,γλ)=fλ(γλ,ηλ)。

3 基于C-IVIFT測(cè)度的區(qū)間直覺模糊多屬性群決策方法

3.1 區(qū)間直覺模糊多屬性群決策問(wèn)題的基本描述

若un為成本型，令

(11)

若un為效益型，令

(12)

3.2 基于C-IVIFT測(cè)度的專家權(quán)重確定模型

合理的專家權(quán)重下，各專家的決策矩陣應(yīng)與集成后的專家綜合矩陣保持較小的偏差，C-IVIFT測(cè)度可用來(lái)度量此種偏差。

(13)

3.3 基于C-IVIFT測(cè)度的屬性權(quán)重確定模型

假設(shè)屬性權(quán)重為G=(g1,g2,…,gN)T，本小節(jié)主要研究運(yùn)用C-IVIFT測(cè)度確定屬性權(quán)重的方法。

為求解最優(yōu)的屬性權(quán)重，不同屬性列l(wèi)λ,n與綜合屬性列Wλ的C-IVIFT測(cè)度總是越小越好，且lλ,n與Wλ比較的概率是均等的，由此建立下述最優(yōu)化模型：

(14)

3.4 新的區(qū)間直覺模糊多屬性群決策方法具體步驟

綜上所述，在專家權(quán)重和屬性權(quán)重完全未知情況下，給出一種基于C-IVIFT測(cè)度的區(qū)間直覺模糊多屬性群決策方法：

Step 5：根據(jù)公式(8)計(jì)算不同綜合屬性值wλ,m(m=1,2,…,M)的相似性函數(shù)rλ,m=pλ(wλ,m)。

Step 6：根據(jù)不同方案對(duì)應(yīng)的相似性函數(shù)值rλ,m的大小對(duì)方案進(jìn)行排序。

Step 7：結(jié)束。

4 案例分析

Step 4：求解模型式(14)，得最優(yōu)屬性權(quán)重G*=(0.256 4,0.088 3,0.146 9,0.367 2,0.141 2)T和最優(yōu)綜合屬性列：

Step 5：計(jì)算不同ERP軟件的相似性函數(shù)值rλ,m，得到：

rλ,1=0.296 6，rλ,2=0.266 4

rλ,3=0.270 7，rλ,4=0.276 9

rλ,5=0.2648

Step 6：將rλ,m進(jìn)行升序排列：rλ,5

x1>x4>x3>x2>x5

可以看出，最優(yōu)方案為x1，即綜合考慮3位決策者的評(píng)價(jià)，ERP軟件x1為最優(yōu)選擇。

為了考慮不同態(tài)度參數(shù)對(duì)最優(yōu)專家權(quán)重和屬性權(quán)重的影響，取λ=[0,1]，得最優(yōu)專家權(quán)重和屬性權(quán)重的變化圖：

圖1 參數(shù)λ對(duì)最優(yōu)專家權(quán)重的影響Fig.1 Influence of parameter λ on optimal expert weights

圖2 參數(shù)λ對(duì)最優(yōu)屬性權(quán)重的影響Fig.2 Influence of parameter λ on optimal expert weights

根據(jù)圖1，專家2和3的權(quán)重均在0.38以下，并隨態(tài)度參數(shù)λ的增加單調(diào)遞增，在決策中的重要性程度逐漸增加。與之相反，專家1的權(quán)重隨態(tài)度參數(shù)λ的增加單調(diào)遞減，且由λ=0時(shí)的0.557 5到λ=1時(shí)的0.206 2，下降幅度達(dá)0.351 3。根據(jù)圖2可以看出，專家進(jìn)行評(píng)價(jià)時(shí)，軟件的銷量始終是最重要的屬性，維護(hù)成本次之。功能的完善性隨參數(shù)λ的增加先下降后上升，系統(tǒng)抗風(fēng)險(xiǎn)能力和系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)單調(diào)遞增，當(dāng)λ∈[0,0.2]時(shí)，功能完備性較系統(tǒng)抗風(fēng)險(xiǎn)能力和系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)較為重要。 當(dāng)λ∈(0.2,1]時(shí)，恰好相反。

同時(shí)，態(tài)度參數(shù)的變化對(duì)綜合屬性的相似性函數(shù)值產(chǎn)生影響，如圖3所示：

圖3 參數(shù)λ對(duì)相似性的影響Fig.3 Influence of parameter λ on similarity

可以看出，不同方案的相似性函數(shù)值均在一定范圍內(nèi)波動(dòng)，且單調(diào)遞減，這反映了態(tài)度參數(shù)對(duì)決策結(jié)果的影響。由圖3可知，ERP軟件1始終是最優(yōu)方案，當(dāng)λ∈[0,0.8]時(shí)，不同軟件的排序?yàn)閤1>x4>x3>x2>x5；當(dāng)λ∈(0.8,1]時(shí)，決策者的態(tài)度較為樂(lè)觀，此時(shí)ERP軟件的排序結(jié)果發(fā)生改變，表示為x1>x4>x3>x5>x2。

5 結(jié) 語(yǔ)

目前，大多數(shù)多屬性群決策問(wèn)題研究中常常假定專家權(quán)重或?qū)傩詸?quán)重已知，忽略了決策者的風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避程度對(duì)方案排序的影響。本文基于連續(xù)區(qū)間直覺模糊有序加權(quán)平均(C-IVIFOWA)算子，結(jié)合Theil不等系數(shù)，提出C-IVIFT測(cè)度。通過(guò)構(gòu)建偏差最小的多目標(biāo)規(guī)劃模型，確定專家權(quán)重和屬性權(quán)重，并提出一種基于C-IVIFT測(cè)度的區(qū)間直覺模糊多屬性群決策方法。最后運(yùn)用算例證實(shí)了該方法的可行性和有效性。

[1] 廖虎昌.復(fù)雜模糊多屬性決策理論與方法[M].北京：科學(xué)出版社,2016

LIAO H C.Theory and Method for Complicated Fuzzy Multiple Attribute Decision Making[M].Beijing:Science Press,2016

[2] 吳群，吳澎，周禮剛.基于聯(lián)系數(shù)的區(qū)間二元語(yǔ)義模糊多屬性群決策方法[J].重慶工商大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2016,33(1):1-8

WU Q,WU P,ZHOU L G.Interval 2-tuple Linguistic Fuzzy Multiple Attributes Group Decision-making Based on Connection Variables[J].Journal of Chongqing Technology and Business University (Natural Science Edition),2016,33(1):1-8

[3] ZHOU L,TAO Z,CHEN H,et al.Continuous Interval Valued Intuitionistic Fuzzy Aggregation Operators and Their Applications to Group Decision Making[J].Applied Mathematical Modelling,2014,38(s7-8):2190-2205

[4] 汪新凡.基于聯(lián)系數(shù)純語(yǔ)言多屬性群決策方法[J]．重慶工商大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2006,23(6):580-584

WANG X F.Pure-Linguistic Information Multi-Attribute Group Decision Making Method Based on Connection Number[J]．Journal of Chongqing Technology and Business University ( Natural Science Edition),2006,23(6):580-584

[5] ATANASSOV K.Intuitionistic Fuzzy Sets[J].Fuzzy Sets and Systems,1986,20:87-96

[6] ATANASSOV K,GARGOV G.Interval Valued Intuitionistic Fuzzy Sets[J].Fuzzy Sets and Systems,1989,31(3):343-349

[7] 徐澤水.直覺模糊信息集成理論及應(yīng)用[M].北京：科學(xué)出版社,2008

XU Z S.Intuitionsitic Fuzzy Information Aggregation:Theory and Application[M].Beijing:Science Press,2008

[8] 周曉輝,姚儉,徐磊,等.區(qū)間直覺模糊幾何Heronian平均算子及其應(yīng)用[J].系統(tǒng)工程,2016,34(4):140-146

ZHOU X H,YAO J,XU L,et al.Interval Valued Intuitionistic Fuzzy Geometric Heronian Means and Its Application[J].Systems Engineering,2016,34(4):140-146

[9] 徐澤水.區(qū)間直覺模糊集相似性測(cè)度及其在模式識(shí)別中的應(yīng)用(英文)[J].東南大學(xué)學(xué)報(bào)(英文版),2007,23(1):139-143

XU Z S.On Similarity Measures of Interval Valued Intuitionistic Fuzzy Sets and Their Application to Pattern Recognitions[J].Journal of Southeast University (English Edition),2007,23(1):139-143

[10] 劉勇,Jeffrey Forrest,劉思峰,等.基于區(qū)間直覺模糊的動(dòng)態(tài)多屬性灰色關(guān)聯(lián)決策方法[J].控制與決策,2013,28(9):1303-1308

LIU Y,FORREST J,LIU S F,et al.Dynamic Multiple Attribute Grey Incidence Decision Making Method Based on Interval Valued Intuitionisitc Fuzzy Number[J].Control and Decision,2013,28(9):1303-1308

[12] 譚春橋.基于區(qū)間值直覺模糊集的TOPSIS多屬性決策[J].模糊系統(tǒng)與數(shù)學(xué),2010,24(1):92-97

TAN C Q.TOPSIS Multiple Attribute Decision Making Based on Interval Valued Intuitionistic Fuzzy Sets[J].Fuzzy Systems and Mathematics,2010,24(1):92-97

[13] 高建偉，劉慧暉，谷云東.基于前景理論的區(qū)間直覺模糊多準(zhǔn)則決策方法[J].系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐,2014,24(12):3175-3181

GAO J W,LIU H H,GU Y D.Interval Valued Intuitionistic Fuzzy Multi-Criteria Decision Making Method Based on Prospect Theory[J].System Engineering Theory & Practice,2014,24(12):3175-3181

[14] 張英俊,馬培軍,蘇小紅,等.屬性權(quán)重不確定條件下的區(qū)間直覺模糊多屬性決策[J].自動(dòng)化學(xué)報(bào),2012,38(2):221-228

ZHANG Y J,MA P J,SU X H,et al.Multi-Attribute Decision Making with Uncertain Attribute Weight Inform-ation in the Framework of Interval Valued Intuitionistic Fuzzy Set[J].Acta Automatica Sinica,2012,38(2):221-228

[15] YUE Z.Deriving Decision Maker’s Weights Based on Distance Measure For Interval Valued Intuitionistic Fuzzy Group Decision Making[J].Expert Systems with Applications,2011,38(9):11665-11670

[16] 周禮剛,陳華友,丁子千,等.基于Theil不等系數(shù)的IOWGA算子組合預(yù)測(cè)模型[J].安徽大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2010,34(1):1-6

ZHOU L G,CHEN H Y,DING Z Q,et al.The Combination Forecasting Model Based on the Theil Coefficient and Induced Ordered Weighted Geometric Averaging (IOWGA) Operator[J].Journal of Anhui University (Natural Science Edition),2010,34(1):1-6

[17] 陳華友.基于Theil不等系數(shù)的組合預(yù)測(cè)模型的性質(zhì)[J].電子科技大學(xué)學(xué)報(bào),2004,33(1):105-108

CHEN H Y.Properties of Combination Forecasting Models Based on Theil Coefficient[J].Journal of UEST of China,2004,33(1):105-108

[18] 戚筱雯,梁昌勇,張恩橋,等.基于熵最大化的區(qū)間直覺模糊多屬性群決策方法[J].系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐,2011,31(10):1940-1948

QI X W,LIANG C Y,ZHANG E Q,et al.Approach to Interval Valued Intuitionistic Fuzzy Multiple Attributes Group Decision Making Based on Maximum Entropy[J].Systems Engineering Theory & Practice,2011,31(10):1940-1948

[19] WU Q,WU P,ZHOU Y Y,et al.Some 2-tuple Linguistic Generalized Power Aggregation Operators and Their Applic-ations to Multiple Attribute Group Decision Making[J].Journal of Intelligent and Fuzzy Systems,2015,29(1):423-436

[20] ZHANG X,XU Z.A New Method for Ranking Intuitionistic Fuzzy Values and Its Application in Multi-Attribute Decision Making[J].Fuzzy Optimization and Decision Making,2012,11(2):135-146

責(zé)任編輯：李翠薇

An Approach to Multiple Attribute Group Decision Making Based on the Continuous Interval-Valued Intuitionistic Fuzzy Theil Measure

LUO Min1, ZHANG Zhi1, ZHOU Han2, WU Qun2, TAO Zhi-fu1

(1. School of Economics, Anhui University, Anhui Hefei 230601, China; 2. School of Mathematical Sciences, Anhui University, Anhui Hefei, 230601, China)

With respect to the uncertainty of interval-valued intuitionistic fuzzy information, an approach to multiple attribute group decision making on the basis of continuous interval-valued intuitionistic fuzzy Theil (C-IVIFT) measure is investigated. Firstly, a C-IVIFT measure based on the continuous interval-valued intuitionistic fuzzy ordered weighted averaging (C-IVIFOWA) operator is introduced, some desirable properties are discussed as well. Then, two programming models are constructed to derive the optimal weights of experts and attributes with the principle of minimum C-IVIFT measure deviation. Moreover, similarity function and exact function are provided to rank the collective attribute values of alternatives. Finally, an example related to ERP software selection is provided to illustrate the feasibility and effectiveness of the proposed approach.

multiple attribute group decision making; C-IVIFT measure; expert weights; attribute weights; interval-valued intuitionistic fuzzy sets

10.16055/j.issn.1672-058X.2017.0003.011

2016-11-23；

2016-12-30. * 基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金(71371011,71301001,71501002);安徽省振興計(jì)劃優(yōu)秀青年人才支持項(xiàng)目;安徽大學(xué)博士科研啟動(dòng)基金;安徽大學(xué)科研訓(xùn)練計(jì)劃(KYXL2016006);安徽大學(xué)創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目(201610357473,201610357119,201610357347,201610357348,201610357349,201610357083).

羅敏(1996-)，女，安徽合肥人，從事金融統(tǒng)計(jì)研究.

C934

A

1672-058X(2017)03-0056-09