■陜西省西鄉(xiāng)縣第二中學(xué) 閆 俊

如何利用函數(shù)的單調(diào)性解題

■陜西省西鄉(xiāng)縣第二中學(xué) 閆 俊

函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一,也是高考考查函數(shù)時重點(diǎn)考查的內(nèi)容。在高考試題中我們通常見到的函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用不外乎求參數(shù)的取值范圍、解不等式與求函數(shù)的最值這三類問題。應(yīng)當(dāng)強(qiáng)調(diào)的是,解決這三類問題時應(yīng)當(dāng)重視函數(shù)單調(diào)性的定義、函數(shù)的定義域,以及數(shù)形結(jié)合思想。

一、利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍

圖1

解析:若設(shè)g(x)=(a-2)x-1,h(x)= x+2。因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增,所以a-2>0,即當(dāng)a>2時,g(x)在(-∞,1]上單調(diào)遞增。而在(1,+∞)上h(x)也是單調(diào)遞增的,于是h(x)>h(1)=3。要使函 數(shù) f (x) =在(,-∞ +∞)上單調(diào)遞增,如圖1所示,則需g(1)≤h(1),即a-3≤3,所以a≤6。綜上,實(shí)數(shù)a的取值范圍是2

評注:由以上解題過程可以看出,對含參數(shù)的分段函數(shù)利用其單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍,應(yīng)抓住兩點(diǎn):一是嚴(yán)格遵循函數(shù)單調(diào)性的定義;二是結(jié)合函數(shù)圖像觀察約束參數(shù)的限制條件,也就是關(guān)于參數(shù)的不等式。

二、利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式

首先,要做一下強(qiáng)調(diào),如果是利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式,則一定要注意函數(shù)的定義域,否則極易出現(xiàn)錯解。

已知函數(shù)f(x)是增函數(shù),定義域?yàn)?0,+∞),且f(4)=2,f(xy)=f(x)+ f(y),求滿足f(x)+f(x-3)≤2的x的取值范圍。

解析:因?yàn)閒(x)+f(x-3)≤2,f(xy)= f(x)+f(y),所以f[x(x-3)]=f(x)+ f(x-3)≤2=f(4)。又f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù),所以x(x-3)≤4,解得-1≤x≤4。由題意知,滿足f(x)+f(x-3)≤2,則即解得3

評注:函數(shù)的單調(diào)性是相對于函數(shù)定義域內(nèi)某個子區(qū)間而言的“局部”性質(zhì),它反映了函數(shù)在某區(qū)間上函數(shù)值的變化趨勢。當(dāng)我們利用函數(shù)的單調(diào)性解決問題時,如果不顧函數(shù)的定義域去盲目解題,就會造成錯解。

三、利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值

評注:函數(shù)單調(diào)性在解答過程中的運(yùn)用主要體現(xiàn)在通過題設(shè)所給函數(shù)等價變形為,把原問題轉(zhuǎn)化為對函數(shù)單調(diào)性的討論,明確單調(diào)性后利用單調(diào)性達(dá)到求解最值的目的。

(責(zé)任編輯 王福華)