韋玉程，張曉春

(1.河池學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，廣西 宜州 5463002.南寧市八桂綠城小學(xué)，廣西 南寧 530031)

Mathieu方程的一階近似解

韋玉程1，張曉春2

(1.河池學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，廣西 宜州 5463002.南寧市八桂綠城小學(xué)，廣西 南寧 530031)

考慮含小參數(shù)的Mathieu方程的近似解問題，運(yùn)用攝動理論中的重正化方法，得到其一階近似解。并計算了一類含初值問題的Mathieu方程的近似解。

Mathieu方程；重正化方法；近似解。

0 引言

20世紀(jì)初，Hilb等人在研究具周期變系數(shù)的Liouville型方程時導(dǎo)出了Hill方程，

之后，人們發(fā)現(xiàn)，Hill方程在天體力學(xué)、自動控制、無線電技術(shù)等諸多領(lǐng)域中有廣泛的應(yīng)用。20世紀(jì)60至80年代，Hill方程引起了廣泛的研究。主要討論其周期解的穩(wěn)定性及初值問題。在實(shí)際的應(yīng)用中，人們總是期待“運(yùn)動”是穩(wěn)定的周期函數(shù)，同時又適合一定的初始條件。Floquet理論表明：當(dāng)f(t)為實(shí)的周期函數(shù)時，方程具有Floquet解，然而Floquet解還不是一般意義下的周期解。這樣激起人們興趣的是：什么條件下得到方程穩(wěn)定的周期解？另一方面是周期解與Floquet解相差多大？

本文主要關(guān)注一類特殊的Hill方程——含有小攝動參數(shù)的Mathieu方程的近似解問題。Mathieu方程常見于自然科學(xué)及工程技術(shù)領(lǐng)域中。如月球的運(yùn)動、電磁波在具周期結(jié)構(gòu)性介質(zhì)中的傳播、電學(xué)系統(tǒng)中受周期外力的激發(fā)、力學(xué)中非線性保守系統(tǒng)周期解的穩(wěn)定性等問題以及船舶海洋工程中，纜繩和潛水艇拖纜的動力學(xué)問題等現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型的描述均涉及到Mathieu方程，關(guān)于Mathieu方程相關(guān)的討論可參看文獻(xiàn)[1-6]。

攝動方法是求解微分方程近似解的一種有效方法，其主要思想是通過攝動展開式(含參數(shù)的冪級數(shù))的形式表示方程的近似解。但攝動展開式往往是發(fā)散的，其有效范圍有限，而且在某些所謂非一致域上變失效即出現(xiàn)長期項。圍繞著含參數(shù)冪級數(shù)中出現(xiàn)長期項的問題，數(shù)學(xué)與物理學(xué)工作者們做了深入的研究與探討，使用各種技巧想辦法消去長期項。于是出現(xiàn)了各種奇異攝動方法，如匹配展開法、平均法、多重尺度法、伸縮坐標(biāo)法等等。關(guān)于攝動方法的相關(guān)知識看參閱文獻(xiàn)[7-8]。

重正化方法是坐標(biāo)伸縮法的一種，其想法是在所得到的漸近展開冪級數(shù)的基礎(chǔ)上，對變量進(jìn)行重新參數(shù)化，通過對參數(shù)的具體選取，達(dá)到消去長期項的目的。這是一種消長期項的有效方法之一。后來根據(jù)重正化方法發(fā)展形成的重正化群方法，在量子電動力學(xué)的領(lǐng)域中得到了很好的應(yīng)用。日本物理學(xué)家Sin-ItiroTomonaga，因?yàn)樵诹孔与妱恿W(xué)基礎(chǔ)理論的研究中使用重正化理論的得到的突破性的成果與J.Schwinger、R.Feynman共同獲得1965年的諾貝爾物理學(xué)獎。

本文將對Mathieu方程中使用重正化方法求其一階近似解，做為例子，我們還計算了一個具有初值條件的Mathieu方程的一階近似解。

1 主要結(jié)果及證明

定理：考慮形如

(1)

的含小參數(shù)的Mathieu方程，其中δ為不等于零的參數(shù)；ε是小參數(shù)。則方程具有如下形式的一階近似解：

其中C1，C2，C3，C4為常數(shù)。

證明：定理的結(jié)論將通過以下幾個步驟得到實(shí)現(xiàn)。

第一步，求冪級數(shù)形式解

對于方程(1)，設(shè)它具有如下形式的解，

u=u0+εu1+ε2u2+…，

(2)

于是

u″=u″0+εu″1+ε2u″2+….

(3)

把(2)，(3)代入(1)，整理之后得如下方程：

u″0+δu0+ε(u″1+δu1+u0cos2t)+…=0.

(4)

比較方程(4)兩端ε的同次冪系數(shù)

ε0:u″0+δu0=0;

(5)

ε1:u″1+δu1=-u0cos2t;

(6)

二階線性方程(5)對應(yīng)的特征方程為

λ2+δ=0，

故而方程(5)有通解

其中C1,C2為任意常數(shù)。從而方程(6)化為

(7)

由三角函數(shù)的和差化積公式得

將該方程拆分成以下四個方程：

(8)

(9)

(10)

(11)

根據(jù)微分方程疊加原理，方程(8)、(9)、(10)與(11)的解之和便是方程(7)的解。

方程(8)對應(yīng)的的齊次線性方程的通解為

其中C3,C4為任意常數(shù)。根據(jù)非齊次項的形式，(8)的特解可設(shè)為

(12)

于是

(13)

將(12)與(13)代入(8)，并比較它們的系數(shù)得

從而有

故(8)的非齊次線性方程的特解為

類似的，可求得非齊次線性方程(9)、(10)、(11)的特解分別如下：

于是方程(6)的解為

將u0,u1代入(2)，得u的一階冪級數(shù)解的展開式為

第二步，作重正化變換

下面對u的冪級數(shù)展開式做重正化變換，令

t=τ(1+εω1+ε2ω2+…)，

代入u的冪級數(shù)展開式，得

下面將按ε進(jìn)行展開，由于

注意到ε→0時有

于是有

類似的，有

因此

經(jīng)整理可得

第三步，消長期項

在上面得到的的展開式中，發(fā)現(xiàn)長期項為

為了消除長期項，令

ω1=0,

注意到t=τ(1+εω1+ε2ω2+…)，即t=τ+O(ε2)，代回u的表達(dá)式得

至此，得到所要證明的結(jié)論。

2 初值問題實(shí)例

考慮如下Mathieu型初值問題

(15)

其中，δ為不等于零的參數(shù)；ε是小參數(shù)。

在(2)中考慮初值，有

u(0)=u0(0)+εu1(0)+ε2u2(0)+…=1；

比較ε的同次冪系數(shù)，得

u0(0)=1,u1(0)=u2(0)=…=0；

代入前面所求得的u0的表達(dá)式，可解得

再代入(14)式，可解得

從而初值問題(15)具有如下形式的一階近似解：

[1]張海燕，唐友剛，陳芳啟.非線性Mathieu方程的局部分岔和在余維2退化點(diǎn)的Hopf分岔[J].機(jī)械強(qiáng)度，2007(5)：717-721.

[2]劉彬，趙紅旭，侯東曉.一類含三勢阱Mathieu-Duffing振子的相對轉(zhuǎn)動系統(tǒng)的分岔混沌[J].物理學(xué)報，2014(17)：174502-1-9.

[3]李秀平，陳瓊，楊杰，等.Mathieu方程的不穩(wěn)定區(qū)及其晶體挖擺動場輻射的穩(wěn)定性[J].半導(dǎo)體光電，2014(3)：472-476.

[4]王杰方，安偉光，宋向華.一種Mathieu方程動力不穩(wěn)定性邊界的方法[J].振動與沖擊，2015(12)：182-188.

[5]Xianghong Li, Jingyu Hou, Jufeng Chen . An analytical method for Mathieu oscillator based on method of variation of parameter[J] . Commun Nonlinear Sci Numer Simulat , 2016(37) : 326-353 .

[6]Appala Naidu Kotana, Atanu K. Mohanty . Computaion of Mathieu stability plot for any arbitrary toroidal ion trap mass analyser[J] . International Journal of Mass Spectrometry , 2017(414) : 13-22 .

[7]奈弗AH.攝動法[M].上海：上?？萍汲霭嫔纾?987.

[8]錢長偉.奇異攝動理論中及其在力學(xué)中的應(yīng)用[M].北京：科學(xué)出版社，1981.

[責(zé)任編輯 韋志巧]

Approximate Solution of Mathieu Equation

WEI Yucheng1， ZHANG Xiaochun2

(1.School of Mathematics and Statistics, Hechi University, Yizhou, Guangxi 546300, China;2.Elementary school of Baguilucheng , Nanning, Guangxi, 530031 China)

In this paper, based on the renormalization method of singular perturbation theory is applied to the Mathieu equation, got the first-order approximate solution. Furthermore, we also calculate an initial value problem of Mathieu, as an example.

Mathieu equation; renormalization method; approximate solution

O175.1

A

1672-9021(2017)02-0067-06

韋玉程(1966-)，男(壯族)，廣西鳳山人，河池學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院副教授，博士，主要研究方向：臨界點(diǎn)理論。

廣西教育廳教改項目(2015JGB355；2015JGA332；2016JGA315)。

2016-11-18