李 潔 梁冬梅 羅志榮

(玉林師范學(xué)院物理科學(xué)與工程技術(shù)學(xué)院 廣西 玉林 537000)

MATLAB在質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動軌跡中的應(yīng)用*

李 潔 梁冬梅 羅志榮

(玉林師范學(xué)院物理科學(xué)與工程技術(shù)學(xué)院 廣西 玉林 537000)

在物理教學(xué)中，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動軌跡問題是一個常見的問題.根據(jù)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動方程，應(yīng)用Matlab軟件的繪圖功能繪制出質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動軌跡，能夠讓學(xué)生更容易理解和掌握物理規(guī)律，領(lǐng)會其中的奧妙.

質(zhì)點(diǎn) 運(yùn)動軌跡 Matlab

物理學(xué)中，質(zhì)點(diǎn)是一個比較普遍的研究對象，有些質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動方程比較復(fù)雜，學(xué)生難以根據(jù)運(yùn)動方程構(gòu)建質(zhì)點(diǎn)的空間運(yùn)動軌跡.本文對質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動軌跡問題進(jìn)行分析討論，應(yīng)用Matlab描繪出質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動軌跡.Matlab軟件具有功能強(qiáng)大、簡單易學(xué)、界面友好、圖像清晰直觀等特點(diǎn)，在工程計(jì)算、數(shù)值分析領(lǐng)域均有廣泛應(yīng)用[1].在大學(xué)物理教學(xué)中應(yīng)用Matlab來輔助教學(xué)，不僅可以將抽象問題形象化，而且能夠增強(qiáng)學(xué)生對物理的直觀感性認(rèn)識，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高教學(xué)效果[2,3].

1 應(yīng)用實(shí)例

案例1：在光滑水平面上有一個半徑為R，質(zhì)量為M的均勻圓環(huán)，在環(huán)內(nèi)壁有一個質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)做無摩擦的滑動(M>m).以環(huán)心O為原點(diǎn)，如圖1所示，建立xOy固定地面坐標(biāo)系.開始時(shí)，圓環(huán)靜止，質(zhì)點(diǎn)位于(0，R)處，速度沿x軸正方向，大小為v0.求該質(zhì)點(diǎn)、環(huán)心在固定地面坐標(biāo)系xOy，以及質(zhì)點(diǎn)相對于環(huán)心的運(yùn)動軌跡[4].

圖1 光滑水平面上的圓環(huán)

題意分析：圓環(huán)質(zhì)量分布均勻，可看成質(zhì)量集中于O點(diǎn).圓環(huán)和質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)心系的質(zhì)心C到O的距離為rC，質(zhì)點(diǎn)和環(huán)心到質(zhì)心的距離為rm和rM，有

(1)

根據(jù)動量守恒得

(M+m)vC=mv0

(2)

式中，vC是系統(tǒng)的質(zhì)心速度.

整個系統(tǒng)不受水平外力的作用，根據(jù)角動量定理，可得環(huán)心和質(zhì)點(diǎn)繞質(zhì)心C的角速度ω為

(3)

根據(jù)式(1)～(3)，可求得質(zhì)點(diǎn)、環(huán)心在固定地面坐標(biāo)系xOy及質(zhì)點(diǎn)相對于環(huán)心的運(yùn)動方程，它們分別為

(4)

(5)

(6)

根據(jù)式(4)～(6)，取m=10 kg，M=20 kg，v0=5 m/s，R=5 m，ω=1 rad/s，利用Matlab編程可得質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動軌跡y1和環(huán)心運(yùn)動軌跡y2，如圖2所示，質(zhì)點(diǎn)相對于環(huán)心的運(yùn)動軌跡，如圖3所示.

圖2 質(zhì)點(diǎn)和環(huán)心的運(yùn)動軌跡

圖3 質(zhì)點(diǎn)相對于環(huán)心的運(yùn)動軌跡

由圖2可見，質(zhì)點(diǎn)、環(huán)心做周期運(yùn)動.應(yīng)用Matlab進(jìn)行數(shù)值模擬可直接求得當(dāng)x=10.472 0 m時(shí)，質(zhì)點(diǎn)、環(huán)心剛好運(yùn)動了一個周期.質(zhì)點(diǎn)從x=0開始運(yùn)動，到達(dá)最低點(diǎn)后，沿著關(guān)于x=5.236 0 m對稱的軌跡繼續(xù)運(yùn)動，完成一個周期.環(huán)心從x=0開始運(yùn)動，在一個周期內(nèi)，隨著x的增大，y2先增大后減小.由圖3可見，質(zhì)點(diǎn)相對于環(huán)心的運(yùn)動軌跡是一個圓.

案例2：如圖4所示，質(zhì)點(diǎn)A做半徑為R的勻速圓周運(yùn)動，角速度為ω1，質(zhì)點(diǎn)B繞質(zhì)點(diǎn)A做半徑為r的勻速圓周運(yùn)動，角速度為ω2，求質(zhì)點(diǎn)B在xOy坐標(biāo)系中的運(yùn)動軌跡[5].

圖4 質(zhì)點(diǎn)B繞質(zhì)點(diǎn)A做勻速圓周運(yùn)動

題意分析：質(zhì)點(diǎn)B繞質(zhì)點(diǎn)A做勻速圓周運(yùn)動，質(zhì)點(diǎn)A又繞O做勻速圓周運(yùn)動，得質(zhì)點(diǎn)B在xOy坐標(biāo)系中的運(yùn)動方程為

(7)

(a)R=10 m,r=10 m

(b)R=10 m,r=5 m圖5 質(zhì)點(diǎn)B的運(yùn)動軌跡

此外，當(dāng)ω1與ω2比值不同時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的回旋個數(shù)也不同.此情況下質(zhì)點(diǎn)B的運(yùn)動軌跡如圖6所示.圖6(a)、(b)、(c)中質(zhì)點(diǎn)回旋個數(shù)分別為2，5，6.可見，質(zhì)點(diǎn)的回旋個數(shù)等于角速度比之差的絕對值.

圖5和圖6中質(zhì)點(diǎn)的軌跡還可以在Matlab的figure窗口做動態(tài)演示.只需在Matlab的Command Window中改變參數(shù)ω1，ω2，R，r的值，就可得到質(zhì)點(diǎn)B不同的運(yùn)動軌跡，從而探究質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動規(guī)律.

(a)ω1∶ω2=1∶3

(b)ω1∶ω2=1∶6

(c)ω1∶ω2=1∶7圖(a)、(b)R=10 m,r=10 m;圖(c)R=10 m,r=5 m圖6 ω1與ω2比值不同時(shí)質(zhì)點(diǎn)B的運(yùn)動軌跡

案例3：兩相互垂直的簡諧振動的運(yùn)動學(xué)方程為x=A1cos(ω1t+α1)，y=A2cos(ω2t+α2)，若質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與上述二振動，求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動軌跡[7].

題意分析：已知質(zhì)點(diǎn)的二分振動運(yùn)動學(xué)方程為

(8)

式(8)中，取A1=2 m，A2=3 m，利用Matlab編程可得質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動軌跡，如圖7所示的李薩如圖.由圖7(a)、(c)可見，當(dāng)初相位差α1-α2相同，ω1與ω2不同時(shí),質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動軌跡變得復(fù)雜.由圖7(b)可見，α1-α2=0時(shí)，改變ω1和ω2的值可得質(zhì)點(diǎn)不同的運(yùn)動軌跡.

可見，該質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動軌跡曲線與初相位差和角速度密切相關(guān).

(a)ω1=ω2=1

(b)α1-α2=0

(c)初相位差及ω1，ω2均不同圖中ω1和ω2的單位為rad/s圖7 不同情況下質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動軌跡

2 總結(jié)

由上述案例分析可見，根據(jù)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動方程，利用Matlab強(qiáng)大的繪圖功能，可以繪制出質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動軌跡曲線.同時(shí)也可以在Matlab的figure窗口做動態(tài)演示，進(jìn)一步探討質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動軌跡中的規(guī)律.在物理教學(xué)中應(yīng)用Matlab來輔助教學(xué)，通過形象的圖形將抽象問題直觀化，有助于增加學(xué)習(xí)的趣味性，讓學(xué)生更容易理解和掌握物理規(guī)律，領(lǐng)會其中的奧妙.

1 張志涌,楊祖櫻.MATLAB教程.北京:北京航空航天大學(xué)出版社,2010

2 周小奮.Matlab在中學(xué)物理教學(xué)中的應(yīng)用初探.物理通報(bào),2011,40(10):68～71

3 魏麗霞,勞家盛,黎雪,等.Matlab在電磁學(xué)最值問題中

的應(yīng)用.物理通報(bào),2016,35(9):62～64 4 程稼夫.中學(xué)奧林匹克競賽物理教程.合肥：中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社,2013.79～81

5 江浩寧,江博淵.參數(shù)方程——“攻克”相對運(yùn)動的“利器”.物理教學(xué),2016,38(1):16～16

6 姜付錦.月球繞太陽運(yùn)動軌跡的研究.2011年中國教育學(xué)會物理教學(xué)專業(yè)委員會年會暨全國物理教學(xué)研討會.http://www.pep.com.cn/gzwl/jszx/ztts/2011hybd/2z/201202/t20120223_1102973.htm

7 漆安慎,杜嬋英.普通物理學(xué)教程：力學(xué)(第3版).北京:高等教育出版社,2012.12

ApplicationonMATLABinParticleMotionTrajectory

LiJieLiangDongmeiLuoZhirong

(CollegeofPhysicsScienceandEngineering,YulinNormalUniversity,Yulin,Guangxi537000)

Particle motion trajectory is a common problem in the physics teaching. This article in accordance with the motion equation of trajectory, by using the drawing function of Matlab, to draw the motion trajectory of particle, so that physics law can be understood and mastered more easily by the students, and then get the secret of it.

particle; motion trajectory; Matlab

*廣西高等教育本科教學(xué)改革工程項(xiàng)目，項(xiàng)目編號：2016JGA308；廣西高校大學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓(xùn)練計(jì)劃項(xiàng)目，項(xiàng)目編號：201510606165,201510606170

李潔(1997- )，女，在讀本科生，物理專業(yè).

羅志榮(1981- )，男，博士，副教授，主要從事大學(xué)物理的教學(xué)及材料微觀結(jié)構(gòu)的數(shù)值模擬研究.

2016-10-31)