牛永鋒，亓延峰

(杭州電子科技大學(xué)理學(xué)院，浙江 杭州 310018)

一類(lèi)由p元函數(shù)所構(gòu)造的小重量線性碼

牛永鋒，亓延峰

(杭州電子科技大學(xué)理學(xué)院，浙江 杭州 310018)

bent函數(shù)在密碼學(xué)和編碼理論中有著重要的應(yīng)用.考慮使用弱正則bent函數(shù)來(lái)構(gòu)造線性碼，得到2重量和3重量的線性碼，確定線性碼的參數(shù)和重量分布.小重量的線性碼可以應(yīng)用于消費(fèi)類(lèi)電子產(chǎn)品、通信、數(shù)據(jù)存儲(chǔ)系統(tǒng)、認(rèn)證碼、秘密共享協(xié)議、結(jié)合方案和強(qiáng)正則圖.

線性碼；重量分布；弱正則bent函數(shù)；認(rèn)證碼；秘密共享協(xié)議

0 引 言

為了得到更多的線性碼，只須考慮給出不同的定義集合D，從而構(gòu)造出不同的線性碼.本文在文獻(xiàn)[10]的基礎(chǔ)上，考慮用弱正則bent函數(shù)來(lái)構(gòu)造定義集合，從而得到一些2重量和3重量的線性碼，并確定了這些線性碼的具體參數(shù)和它們的重量分布.

1 預(yù)備知識(shí)

本文后續(xù)章節(jié)里將用到以下線性碼、弱正則bent函數(shù)和指數(shù)和的一些基本概念和結(jié)論.

1.1 線性碼

1.2 弱正則bent函數(shù)

1.3 指數(shù)和

為了確定線性碼的參數(shù)和重量分布.首先給出文獻(xiàn)[10]中幾個(gè)有關(guān)指數(shù)和的引理.

2)若m是奇數(shù)，則有

2)當(dāng)m為奇數(shù)時(shí)

由引理1和引理2易知引理4成立.證畢.

2 小重量的線性碼

本節(jié)考慮使用R中p元弱正則bent函數(shù)給出定義集合，構(gòu)造出小重量的線性碼，給出這類(lèi)線性碼的具體參數(shù)和重量分布.

下述定理給出了R中p元弱正則bent函數(shù)構(gòu)造的線性碼CDf的具體參數(shù)和重量分布.

表1 線性碼CDf的重量分布(m為偶數(shù))

證明 由引理4和引理5知，當(dāng)m為偶數(shù)時(shí)，有

求解方程組便可得到表1中的重量分布.定理1得證.

表2 線性碼CDf的重量分布(m為奇數(shù))

證明 由引理4和引理5知，當(dāng)m為奇數(shù)時(shí)，有

求解方程組便可得到表2中的重量分布.定理2得證.

表3 線性碼的重量分布(m為偶數(shù))

表4 線性碼的重量分布(m為奇數(shù))

3 結(jié)束語(yǔ)

本文使用文獻(xiàn)[10]中線性碼的構(gòu)造方法，給出了一類(lèi)2重量和3重量的線性碼，并確定了這些線性碼的具體參數(shù)和它們的重量分布.本文中的2重量線性碼可以構(gòu)造強(qiáng)正則圖；3重量的線性碼可以構(gòu)造結(jié)合方案.以后的研究工作重點(diǎn)是尋找更多一般的函數(shù)去構(gòu)建性能好的小重量線性碼并給出其參數(shù)和重量分布.

[1]DINGKL,DINGCS.Aclassoftwo-weightandthree-weightcodesandtheirapplicationsinsecretsharing[J].InformationTheory,IEEETransactionson, 2015,61(11):5835-5842.

[2]CARLETC,DINGC,YUANJ.Linearcodesfromperfectnonlinearmappingsandtheirsecretsharingschemes[J].InformationTheory,IEEETransactionson, 2005,51(6):2089-2102.

[3]DINGCS,WANGXS.Acodingtheoryconstructionofnewsystematicauthenticationcodes[J].TheoreticalComputerScience, 2005,330(1):81-99.

[4]STINSONDR.Someconstructionsandboundsforauthenticationcodes[J].JournalofCryptology, 1987,1(1):37-51.

[5]CALDERBANKAR,GOETHALSJM.Three-weightcodesandassociationschemes[J].PhilipsJournalofResearch, 1984,39(4):143-152.

[6]DELSARTEP,LEVENSHTEINVI.Associationschemesandcodingtheory[J].InformationTheory,IEEETransactionson, 1998,44(6):2477-2504.

[7]CALDERBANKR,KANTORWM.Thegeometryoftwo-weightcodes[J].BulletinoftheLondonMathematicalSociety, 1986,18(2):97-122.

[8]DINGC.AconstructionofbinarylinearcodesfromBooleanfunctions[J].DiscreteMathematics, 2016,339(9):2288-2303.

[9]DINGKL,DINGCS.Binarylinearcodeswiththreeweights[J].InformationTheory,IEEETransactionson, 2014,18(11):1879-1882.

[10]TANGCM,LIN,QIYF,etal.Linearcodeswithtwoorthreeweightsfromweaklyregularbentfunctions[J].InformationTheory,IEEETransactionson, 2016,62(3):1166-1176.

[11]HUFFMANWC,PLESSV.FundamentalsofError-correctingCodes[M].Cambridge,U.K.:Cambridgeuniversitypress, 2003:259-262.

Linear Codes with Few Weights from p-ary Functions

NIU Yongfeng, QI Yanfeng

(SchoolofScience,HangzhouDianziUniversity,HangzhouZhejiang310018,China)

Bent functions have an important role in cryptography and coding theory. This paper considers the construction of linear codes from weakly regular bent functions, presents a class of two-weight and three-weight linear codes, and determines parameters and weight distribution of these codes. Linear codes with few weights have applications in consumer electronics, communication, date storage systems, authentication codes, secret sharing schemes, association schemes and strongly regular graphs.

linear codes; weight distribution; weakly regular bent functions; authentication codes; secret sharing schemes

10.13954/j.cnki.hdu.2017.03.016

2016-08-19

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11531002,11501154)

牛永鋒(1991-)，男，安徽合肥人，碩士研究生，密碼學(xué).通信作者：亓延峰講師，E-mail：qiyanfeng07@163.com.

TN911.22

A

1001-9146(2017)03-0079-05