康 衛(wèi)，荊 科

（1.阜陽師范學(xué)院信息工程學(xué)院，安徽 阜陽 236041；2.阜陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，安徽 阜陽236037）

幾個數(shù)學(xué)建模案例在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

康 衛(wèi)1，荊 科2

（1.阜陽師范學(xué)院信息工程學(xué)院，安徽 阜陽 236041；2.阜陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，安徽 阜陽236037）

本文主要研究了幾個數(shù)學(xué)建模案例在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用，通過案例能夠更好地理解高等數(shù)學(xué)中零點(diǎn)定理、微分方程的概念以及數(shù)學(xué)期望的知識點(diǎn)。進(jìn)一步分析了將數(shù)學(xué)建模思想融入高等數(shù)學(xué)教學(xué)過程中的必要性，提升了學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的意識，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生利用數(shù)學(xué)思想去解決實(shí)際問題的能力。

高等數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)建模；教學(xué)案例

一、引 言

眾所周知，高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)對很多理工科以及經(jīng)管類專業(yè)的學(xué)生是至關(guān)重要的。其一，高等數(shù)學(xué)是大一新生進(jìn)校后首先面臨的一門重要的基礎(chǔ)課程，而且高年級的很多課程甚至研究生階段的部分課程都可以看成是它的延伸和應(yīng)用。其二，學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)能夠增強(qiáng)學(xué)生的邏輯思維能力，還為分析和解決實(shí)際問題提供了必要的工具。因此高等數(shù)學(xué)這門課學(xué)習(xí)程度的好壞會對后繼課程的學(xué)習(xí)和學(xué)生知識能力的培養(yǎng)產(chǎn)生影響的深遠(yuǎn)。 但是，現(xiàn)在的高等數(shù)學(xué)的教學(xué)模式仍然是以老師教、學(xué)生學(xué)為主，這樣導(dǎo)致了很多學(xué)生不能靈活的運(yùn)用數(shù)學(xué)理論知識來分析解決實(shí)際生活中的一些問題。 由于，數(shù)學(xué)建模這門課程提供了很多具體的案例來詮釋如何將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，進(jìn)而利用數(shù)學(xué)知識作為工具去解決這些實(shí)際問題。所以在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中老師應(yīng)該適當(dāng)?shù)囊胍恍┑湫偷臄?shù)學(xué)建模案例，這樣能夠使學(xué)生更加深刻的理解高等數(shù)學(xué)課本中那些難以理解、枯燥乏味的數(shù)學(xué)定理和定義，進(jìn)而促使學(xué)生對學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)產(chǎn)生濃厚的興趣。

我們知道由于幾何學(xué)、物理學(xué)、天文學(xué)等研究領(lǐng)域的進(jìn)展和突破，推動了高等數(shù)學(xué)的發(fā)展。從物體運(yùn)動的三大定律到發(fā)現(xiàn)萬有引力，從行星運(yùn)動中切向加速度等于零的現(xiàn)象到極值問題的探討研究，進(jìn)一步到微分中值定理的形成，這些物理學(xué)中的現(xiàn)象都充滿著無比深奧的數(shù)學(xué)建模思想，[1]從而推動了高等數(shù)學(xué)向前發(fā)展。除此之外，我們還可以通過對自然現(xiàn)象中許多數(shù)學(xué)關(guān)系的變化，發(fā)現(xiàn)他們之間的規(guī)律，建立各種各樣的數(shù)學(xué)建模案例。 如果能夠在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中去引入這樣的數(shù)學(xué)建模案例，就可以增加老師和學(xué)生之間的互動性，豐富課堂教學(xué)的內(nèi)容，開闊學(xué)生的眼界，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。下面本文就引入三個具體的數(shù)學(xué)建模案例來詮釋其在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用。

二、數(shù)學(xué)建模案例在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

1.零點(diǎn)定理與椅子放平問題

高等數(shù)學(xué)中有很多重要的定理，學(xué)生學(xué)了但是不知道有什么作用。如果能夠和實(shí)際問題相結(jié)合，往往能夠讓學(xué)生更容易理解，印象更為深刻，起到事半功倍的效果。下面我們引入數(shù)學(xué)模型[2]來解釋高等數(shù)學(xué)中的零點(diǎn)定理。

例1：四條腿一樣長的椅子可以在不平坦的地面上放穩(wěn)嗎？

乍一看，這是一個和數(shù)學(xué)毫無相關(guān)的問題，然而，我們?nèi)绻軌虬堰@個實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)模型，把它轉(zhuǎn)化成為數(shù)學(xué)語言來表達(dá)，進(jìn)而利用數(shù)學(xué)中的定理作為工具來解決這一問題，一定可以引起學(xué)生的興趣。接下來，我們經(jīng)過合理的簡化假設(shè)把此問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題。

已知 f（θ），g（θ）是某閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，對任意的θ我們有f（θ）＊g（θ）＝0并且f（0）＞0，g（0）＝0，則證明至少存在一點(diǎn)θ0，使f（θ0）＝0，g（θ0）＝0.

證明：首先，將椅子旋轉(zhuǎn)900（π／2），由于f（0）＞0，g（0）＝0，可以得到f（π／2）＝0，g（π／2）＞0，下一步，令h（θ）＝f（θ）－g（θ），則h（0）＞0和h（π／2）＜0.

又因?yàn)?f（θ），g（θ）都是連續(xù)函數(shù)，因此可以得到f（θ）也是一個連續(xù)函數(shù)。然后，利用數(shù)學(xué)中的零點(diǎn)定理，可以知道至少有一點(diǎn)θ0（0＜θ0＜π／2）使得h（θ0）＝0，最后，根據(jù) f（θ0）＊g（θ0）＝0，可得 f（θ0）＝g（θ0）＝0.

2．乒乓球比賽勝負(fù)問題

通過這個數(shù)學(xué)建模案例可以更好地使學(xué)生理解概率中期望的數(shù)學(xué)含義。以達(dá)到增強(qiáng)學(xué)生的好奇心，活躍課堂氣氛，開闊視野的效果。

例2.乒乓球是我們得的國球，中國隊(duì)在這項(xiàng)運(yùn)動中具有絕對的優(yōu)勢.現(xiàn)就乒乓球比賽的安排提出一個問題：假設(shè)韓國隊(duì)和中國隊(duì)比賽，賽制有兩種，一種是雙方各出3人，三場兩勝制，一種是雙方各出5人，五場三勝制，哪一種賽制對中國隊(duì)更有利？

由于中國隊(duì)在這項(xiàng)比賽中的優(yōu)勢，我們不妨設(shè)中國隊(duì)每一位隊(duì)員對韓國隊(duì)員的勝率都為60%.根據(jù)前面的分析，下面我們只需比較兩隊(duì)的數(shù)學(xué)期望即可。

在五場三勝制中，中國隊(duì)要取得勝利，獲勝的場數(shù)有3、4、5三種結(jié)果.我們計(jì)算三種結(jié)果所對應(yīng)的概率、應(yīng)用二項(xiàng)式定律可知，恰好獲得三場勝利對應(yīng)的概率：恰好獲得四場對應(yīng)的概率五場全勝的概率：

因此隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望：

在三場兩勝制中，中國隊(duì)取得勝利，獲勝的場數(shù)有2、3兩種結(jié)果.勝兩場對應(yīng)的概率為：

因此隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望：

比較兩個期望值，所以我們可以得出結(jié)論，五場三勝制對中國隊(duì)更有利。

3．湖泊體積及平均水深的估算.

通過文獻(xiàn)中的這一案例[3]，可以使學(xué)生對抽象的重積分程建立直觀印象，還能使學(xué)生認(rèn)識到重積分與實(shí)際聯(lián)系比較密切的教學(xué)內(nèi)容。

例3．橢球正弦曲面是許多湖泊的湖床形狀的

被積函數(shù)和區(qū)域D的形狀啟示我們用變換

上述公式可估計(jì)湖水的體積。容易證明橢圓D的面積為πab，因而平均湖水深度為：

三、小結(jié)

通過以上的三個具體的數(shù)學(xué)建模案例，我們可以看出在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中融入數(shù)學(xué)建模的思想可以給學(xué)生直觀上的感受，也可以引導(dǎo)學(xué)生自主學(xué)習(xí)，自主思考的能力，關(guān)鍵是還可以使得學(xué)生利用數(shù)學(xué)知識作為工具去解決實(shí)際的問題，培養(yǎng)了學(xué)生的推理、計(jì)算的能力。 另一方面，我們老師在高等數(shù)學(xué)授課過程中也應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生參加大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽，以賽促教，讓學(xué)生喜歡高等數(shù)學(xué)，熱愛數(shù)學(xué)建模，讓學(xué)生通過參加數(shù)學(xué)建模競賽發(fā)揮他們的才智，享受數(shù)學(xué)建模的過程，享受學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的快樂。 總之，在高等數(shù)學(xué)教學(xué)過程中盡可能多的引入數(shù)學(xué)建模案例，達(dá)到事半功倍的效果，同時培養(yǎng)學(xué)生把高等數(shù)學(xué)知識作為強(qiáng)有力的工具來解決實(shí)際問題的能力，是我們高等數(shù)學(xué)老師追求的目標(biāo)。

[1]張玉吉.數(shù)學(xué)建模在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透[J].長春理工大學(xué)學(xué)報(bào)（高教版），2009,4（2）：147-148.

[2]姜啟源，謝金星，葉俊.數(shù)學(xué)模型[M].北京：高等教育出版社，2011.

[3]梅順治,劉富貴.高等數(shù)學(xué)方法與應(yīng)用[M]，科學(xué)出版社，2000.

編輯：崔月華

On Application of Mathematics Models to the Process of Teaching Advanced Mathematics

KANG Wei1，JING Ke2
（1.School of Information Engineering,Fuyang Teachers College,Fuyang Anhui 236041；2.School of Mathematics and Computational Science,Fuyang Teachers College，F(xiàn)uyang Anhui 236037）

In this paper，we analysis the application of several mathematical modeling cases in advanced mathematics.In order to understand Existence theorem of zero point,the concept of differential equations and mathematical expectation,some mathematical modeling cases was introduced.Then,we analysis the necessity of integrating mathematical modeling into the teaching of advanced mathematics,stimulates the students'interest,and cultivate students'ability to integrate theory with practice.

advanced mathematics；mathematics models；teaching cases

G642

A

2095-7327（2017）-01-0190-03

康衛(wèi)（1985-），男，安徽利辛人，阜陽師范學(xué)院講師，博士研究生，研究方向：數(shù)學(xué)建模、控制理論。

荊科（1983-），男，安徽潁上人，阜陽師范學(xué)院講師，博士研究生，研究方向：數(shù)值逼近、統(tǒng)計(jì)計(jì)算。

安徽省教育廳自然科學(xué)研究重點(diǎn)項(xiàng)目（KJ2016A555），安徽省專業(yè)綜合試點(diǎn)改革項(xiàng)目（2014zy138），安徽省教學(xué)團(tuán)隊(duì)項(xiàng)目（2015jxtd121），阜陽師范學(xué)院教研項(xiàng)目（2013JYXM48）,阜陽師范學(xué)院科研項(xiàng)目（2016FSKJ07）。