程軍圣，向天堯，楊興凱，楊 宇

（湖南大學(xué)汽車(chē)車(chē)身先進(jìn)設(shè)計(jì)制造國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，長(zhǎng)沙410082）

AEO解調(diào)方法及在滾動(dòng)軸承故障診斷中的應(yīng)用

程軍圣，向天堯，楊興凱，楊 宇

（湖南大學(xué)汽車(chē)車(chē)身先進(jìn)設(shè)計(jì)制造國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，長(zhǎng)沙410082）

針對(duì)希爾伯特變換與傳統(tǒng)能量算子解調(diào)方法的缺點(diǎn)，提出一種新的解調(diào)方法——解析能量算子（Analytic Energy Operator，AEO）解調(diào)。仿真信號(hào)分析結(jié)果表明，相對(duì)于希爾伯特變換與傳統(tǒng)能量算子解調(diào)，解析能量算子解調(diào)方法具有較高的解調(diào)精度?；诮馕瞿芰克阕咏庹{(diào)，又提出基于AEO能量譜的滾動(dòng)軸承故障診斷方法，對(duì)滾動(dòng)軸承仿真和實(shí)驗(yàn)信號(hào)進(jìn)行分析，與其它方法的對(duì)比結(jié)果表明所提出方法的有效性和優(yōu)越性。

振動(dòng)與波；解調(diào)方法；解析能量算子；滾動(dòng)軸承；故障診斷

當(dāng)軸承發(fā)生故障時(shí)，其故障振動(dòng)信號(hào)往往表現(xiàn)為調(diào)制形式，因此解調(diào)分析成為軸承故障診斷的一種常用的信號(hào)處理方法，在理論和實(shí)踐方面都取得了許多研究成果，并得到了廣泛的應(yīng)用[2–3]。目前，軸承故障診斷中常用的方法是采用希爾伯特變換（Hilbert Transform，HT）對(duì)信號(hào)進(jìn)行解調(diào)，從而提取振動(dòng)信號(hào)的故障特征信息。但是HT在端點(diǎn)處有能量泄露，而且具有不可避免的加窗效應(yīng)，使得解調(diào)結(jié)果往往出現(xiàn)非瞬時(shí)響應(yīng)特性，即解調(diào)出的瞬時(shí)頻率和瞬時(shí)幅值存在振蕩，從而使解調(diào)誤差增大[4]。同時(shí)，HT還受Bedrosian定理的限制，即單分量信號(hào)的包絡(luò)信號(hào)和調(diào)頻信號(hào)的頻帶不相交[5]。這些都限制了HT解調(diào)的應(yīng)用。

能量算子（Teager Energy Operator，TEO）解調(diào)方法能有效提取軸承信號(hào)的瞬時(shí)幅值和瞬時(shí)頻率信息[6]，研究結(jié)果表明，TEO的解調(diào)效果明顯優(yōu)于HT解調(diào)，同時(shí)計(jì)算量也大大降低[7–8]。然而，TEO在解調(diào)過(guò)程中存在誤差項(xiàng)，包括低頻誤差分量和高頻誤差分量?jī)刹糠?。只有滿足待解調(diào)信號(hào)的瞬時(shí)幅值和瞬時(shí)頻率遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于載波頻率這一假設(shè)條件時(shí)，誤差項(xiàng)才會(huì)較小，TEO才能取得較好的解調(diào)效果[9]。另外，TEO解調(diào)方法在頻率準(zhǔn)確度和信號(hào)波形度方面還不盡人意，瞬時(shí)頻率和瞬時(shí)幅值在端點(diǎn)及突變點(diǎn)會(huì)產(chǎn)生較大的波動(dòng)[10–11]。

本文在HT和TEO方法的基礎(chǔ)上，提出了一種新的解調(diào)方法——解析能量算子（Analytic EnergyOperator，AEO）解調(diào)。利用解析能量算子在增強(qiáng)滾動(dòng)軸承故障信號(hào)沖擊成分方面的優(yōu)勢(shì)，由信號(hào)的AEO能量譜識(shí)別軸承的故障特征頻率，從而分析故障原因。滾動(dòng)軸承仿真和實(shí)驗(yàn)信號(hào)分析結(jié)果表明了該方法的有效性和優(yōu)越性。

1 解析能量算子解調(diào)

1.1 解析能量算子

單分量的調(diào)幅調(diào)頻(AM-FM)信號(hào)，其時(shí)變幅度和時(shí)變相位分別為a(t)和?(t)，可以寫(xiě)成

其瞬時(shí)頻率為

信號(hào)的解析形式為

其中sj(t)即為信號(hào)sr(t)的希爾伯特變換

對(duì)s(t)可定義非線性的解析能量算子

因此，可以得到AM-FM信號(hào)的解析能量算子為

1.2 解析能量算子的瞬時(shí)頻率、瞬時(shí)幅值估計(jì)

解析能量算子的連續(xù)形式已經(jīng)在公式（5）中定義，向后差分可得到其離散形式

本文利用解析能量算子的運(yùn)算性質(zhì)，對(duì)信號(hào)的瞬時(shí)頻率和瞬時(shí)幅值進(jìn)行了估計(jì)。對(duì)于離散的AMFM信號(hào)

式中n為離散采樣時(shí)間點(diǎn)，a(n)為瞬時(shí)幅值，?(n)為瞬時(shí)相位。瞬時(shí)角速度Ω(n)定義為?(n)的向后差分

則AM-FM信號(hào)的離散形式為

AEO和TEO都是基于局部的微分運(yùn)算，但后者在解調(diào)過(guò)程中存在誤差項(xiàng)，包括低頻誤差分量和高頻誤差分量?jī)刹糠?，只有滿足待解調(diào)信號(hào)的瞬時(shí)頻率和瞬時(shí)幅值是近似常數(shù)或是緩慢變化的信號(hào)時(shí)，誤差項(xiàng)才會(huì)較小，TEO才能取得較好的效果。然而并不是每一個(gè)單分量信號(hào)都滿足這個(gè)條件，因此當(dāng)信號(hào)瞬時(shí)頻率或瞬時(shí)幅值變化較大時(shí)，TEO的估計(jì)結(jié)果會(huì)出現(xiàn)較大的偏差，甚至不能使用。而AEO則不存在上述誤差項(xiàng)，在對(duì)單分量信號(hào)進(jìn)行解調(diào)時(shí)，估計(jì)結(jié)果會(huì)更準(zhǔn)確。

2 基于解析能量算子能量譜的滾動(dòng)軸承故障診斷

2.1 方法原理

信號(hào)能量的定義一般為信號(hào)幅值的平方，只代表勢(shì)能或動(dòng)能。如果信號(hào)的沖擊幅值較小，用它來(lái)跟蹤信號(hào)的沖擊瞬態(tài)特性的話，那么沖擊成分很可能被其他成分淹沒(méi)，而達(dá)不到效果。TEO的能量輸出與AEO的能量輸出形似，但與AEO相比少了低頻誤差分量和高頻誤差分量?jī)刹糠諿12]。因此在解調(diào)時(shí)，TEO會(huì)受到應(yīng)用條件的限制，即待解調(diào)信號(hào)的瞬時(shí)幅值和瞬時(shí)頻率遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于載波頻率。AEO的輸出為瞬時(shí)幅值的平方和瞬時(shí)頻率之積，它與傳統(tǒng)的信號(hào)能量定義相比，多乘了瞬時(shí)頻率。因?yàn)樾盘?hào)的瞬時(shí)頻率較高，因此AEO更能跟蹤信號(hào)的沖擊瞬態(tài)特性。同時(shí)，由于AEO的能量輸出沒(méi)有誤差項(xiàng)的干擾，不受TEO應(yīng)用條件的限制，使AEO應(yīng)用范圍更廣。

滾動(dòng)軸承出現(xiàn)故障時(shí)，產(chǎn)生的周期性沖擊頻率能反映軸承的故障原因。本文根據(jù)這一原理，提出了基于解析能量算子譜分析的軸承故障診斷方法。首先，利用解析能量算子檢測(cè)軸承瞬態(tài)沖擊信號(hào)，計(jì)算出能量算子輸出；然后，對(duì)能量序列進(jìn)行傅里葉變換，得到AEO能量譜；最后在AEO能量譜中根據(jù)譜中的頻率峰值和軸承的故障特征頻率識(shí)別故障原因。

2.2 仿真分析

對(duì)調(diào)幅調(diào)頻信號(hào)

其時(shí)域波形如圖1所示，分別采用HT、TEO、AEO三種方法對(duì)該信號(hào)解調(diào)提取瞬時(shí)頻率和瞬時(shí)幅值，結(jié)果如圖2所示。

圖1 調(diào)幅調(diào)頻信號(hào)的時(shí)域波形

圖2 調(diào)幅調(diào)頻信號(hào)的瞬時(shí)頻率估計(jì)

HT方法求得的瞬時(shí)頻率和瞬時(shí)幅值在波峰和波谷與理論值相比均出現(xiàn)誤差較大的現(xiàn)象；TEO方法求得的瞬時(shí)幅值與理論值吻合較好，而瞬時(shí)頻率在波峰和波谷均有明顯的振蕩現(xiàn)象，這是由于信號(hào)并不能滿足前述提到的TEO方法應(yīng)用的要求；AEO

圖3 調(diào)幅調(diào)頻信號(hào)的瞬時(shí)幅值估計(jì)

方法所得的瞬時(shí)頻率只在波谷與理論值有較小的誤差，而瞬時(shí)幅值的估計(jì)值與理論值則非常吻合。

為了進(jìn)一步比較三種方法得出的瞬時(shí)頻率、瞬時(shí)幅值估計(jì)值與理論值的吻合程度，分別采用均方根誤差和相關(guān)系數(shù)作為評(píng)價(jià)指標(biāo)。三種方法得到的瞬時(shí)頻率估計(jì)、瞬時(shí)幅值估計(jì)與理論值的均方誤差和相關(guān)系數(shù)如表1、表2所示。可以發(fā)現(xiàn)：與HT、TEO方法相比，AEO方法估計(jì)的瞬時(shí)頻率和瞬時(shí)幅值與理論值的相關(guān)系數(shù)更高且均方根誤差更小。因此AEO方法相對(duì)HT和TEO更能有效地估計(jì)瞬時(shí)頻率和瞬時(shí)幅值。

表1 三種方法得到的瞬時(shí)頻率估計(jì)與理論值的誤差和相關(guān)性

表2 三種方法得到的瞬時(shí)幅值估計(jì)與理論值的誤差和相關(guān)性

下面考察AEO能量譜分析在滾動(dòng)軸承模擬信號(hào)分析中的應(yīng)用。

故障滾動(dòng)軸承的沖擊振動(dòng)模型可以表示為

其中Am表示沖擊振幅，Tp表示沖擊周期，即對(duì)應(yīng)的軸承故障特征頻率的倒數(shù)，ωr表示系統(tǒng)的共振頻率，ζ表示阻尼比，u(t)為單位階躍函數(shù)，τi表示滾動(dòng)體的隨機(jī)滑動(dòng)對(duì)沖擊周期產(chǎn)生的偏差，一般取0.01Tp～0.02Tp，采樣頻率為Fs。

在仿真信號(hào)中，各參數(shù)數(shù)值見(jiàn)表3

表3 仿真信號(hào)參數(shù)

為了模擬實(shí)際情況，該仿真信號(hào)加上高斯噪聲（SNR=-15 db）。該仿真信號(hào)的時(shí)域波形如圖4所示，仿真信號(hào)的包絡(luò)譜、Teager能量譜和AEO能量譜如圖5所示。

圖4 仿真信號(hào)的時(shí)域波形

圖5 仿真信號(hào)分析

由Tp可知，故障特征頻率為125 Hz。在仿真信號(hào)的時(shí)域波形中，由于噪聲的影響，無(wú)法看出周期性沖擊特征；包絡(luò)譜中峰值頻率和故障特征頻率及其倍頻不能對(duì)應(yīng)，無(wú)法識(shí)別出故障；Teager能量譜則只能提取到故障特征頻率。而AEO能量譜，可以清晰地識(shí)別出軸承的故障特征頻率及其倍頻，其提取出來(lái)的倍頻成分可達(dá)5階，軸承的故障特征非常明顯。因此，AEO能量譜在高噪聲的干擾下相對(duì)與包絡(luò)譜和Teager能量譜仍能夠增強(qiáng)故障特征，準(zhǔn)確地提取滾動(dòng)軸承的故障特征頻率信息，在滾動(dòng)軸承故障診斷中具有很大的潛力。

2.3 實(shí)驗(yàn)信號(hào)分析

為了驗(yàn)證本方法的優(yōu)越性，在滾動(dòng)軸承故障試驗(yàn)臺(tái)上進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。待測(cè)的滾動(dòng)軸承型號(hào)為6307E，為了模擬滾動(dòng)軸承的局部損傷，實(shí)驗(yàn)采集正常、具有外圈故障和內(nèi)圈故障三種狀態(tài)的滾動(dòng)軸承振動(dòng)信號(hào)。根據(jù)軸承的參數(shù)，可計(jì)算出滾動(dòng)軸承6307E的特征頻率如表4所示。

表4 滾動(dòng)軸承6307 E的故障特征頻率/Hz

滾動(dòng)軸承正常振動(dòng)信號(hào)的時(shí)域波形和經(jīng)EMD分解得到的第一個(gè)分量IMF1如圖6所示，IMF1的包絡(luò)譜、Teager能量譜、AEO能量譜如圖7所示。從圖6中可以看出，時(shí)域波形和IMF1中沒(méi)有明顯的沖擊。圖7中包絡(luò)譜、Teager能量譜、AEO能量譜所提取到的頻譜都沒(méi)有與軸承故障特征相關(guān)的頻率、倍頻或者頻率間隔，因此可以斷定軸承正常，沒(méi)有故障。

圖6 正常振動(dòng)信號(hào)及分量IMF1

圖7 正常振動(dòng)信號(hào)的IMF1分析

軸承外圈故障振動(dòng)信號(hào)的時(shí)域波形和經(jīng)EMD分解得到的第一個(gè)分量IMF1如圖8所示，IMF1的包絡(luò)譜、Teager能量譜、AEO能量譜如圖9所示。由圖可見(jiàn)，在時(shí)域波形和IMF1中雖然出現(xiàn)了沖擊特征，但不是十分明顯；從包絡(luò)譜和Teager能量譜中雖然可以看出外圈故障特征頻率，但是無(wú)法提取出相應(yīng)的倍頻。而在AEO能量譜中明顯存在和軸承外圈故障特征頻率35 Hz及其倍頻對(duì)應(yīng)的峰值頻率，而且倍頻階次連續(xù)，最高達(dá)到14階，故障特征更加明顯直觀。這表明AEO能量譜方法在診斷軸承外圈故障時(shí)與原有的包絡(luò)和Teager能量譜方法相比更加有效。

圖8 外圈故障振動(dòng)信號(hào)及分量IMF1

圖9 滾動(dòng)軸承外圈故障振動(dòng)信號(hào)的IMF1分析

軸承內(nèi)圈與軸承外圈相比，故障特征更難提取。軸承內(nèi)圈故障時(shí)域波形和經(jīng)EMD分解得到的第一個(gè)分量IMF1如圖10所示，IMF1的包絡(luò)譜、Teager能量譜和AEO能量譜如圖11所示。從圖中可以看出，包絡(luò)譜和Teager能量譜無(wú)法提取到軸承內(nèi)圈故障特征頻率56 Hz，而只能提取到其二倍頻、四倍頻、六倍頻、八倍頻等。而在AEO能量譜中，軸承內(nèi)圈故障特征頻率基頻、各倍頻都清晰地顯示出來(lái)，且最高可達(dá)到八階譜峰值，并且其峰值都較大，故障特征提取有效而明顯。

圖10 滾動(dòng)軸承內(nèi)圈故障振動(dòng)信號(hào)及分量IMF1

圖11 滾動(dòng)軸承內(nèi)圈故障振動(dòng)信號(hào)的IMF1分析

通過(guò)以上分析可知，與包絡(luò)譜、Teager能量譜相比，AEO能量譜不僅能識(shí)別出故障特征較明顯的外圈故障特征頻率，對(duì)故障特征微弱的內(nèi)圈故障征兆也能檢測(cè)出來(lái)，效果明顯，性能優(yōu)越。

3 結(jié)語(yǔ)

提出了一種新的解調(diào)方法——解析能量算子解調(diào)，與Hilbert變換及傳統(tǒng)能量算子解調(diào)相比，該方法提取的瞬時(shí)頻率與瞬時(shí)幅值具有良好的局部特性且能避免振蕩。針對(duì)滾動(dòng)軸承故障信號(hào)的周期性沖擊特性，提出了基于AEO能量譜的滾動(dòng)軸承故障診斷方法，滾動(dòng)軸承仿真和實(shí)驗(yàn)信號(hào)分析結(jié)果表明了所提出方法的有效性和優(yōu)越性。

[1]FENG ZHIPENG,ZUO MING J,HAO RUJIANG,et al. Ensemble empirical mode decomposition-based teager energy spectrum for bearing fault diagnosis[J].Journal ofVibration&Acoustics,2013,135(3):1308-1308.

[2]丁康，孔正國(guó).振動(dòng)調(diào)幅調(diào)頻信號(hào)的調(diào)制邊頻帶分析及其解調(diào)方法[J].振動(dòng)與沖擊，2005，24(6)：9-12.

[3]羅潔思，于德介，彭富強(qiáng).基于EMD的多尺度形態(tài)學(xué)解調(diào)方法及其在機(jī)械故障診斷中的應(yīng)用[J].振動(dòng)與沖擊，2009，28(11)：84-86.

[4]曾鳴，楊宇，鄭近德，等.歸一化復(fù)域能量算子解調(diào)及其在轉(zhuǎn)子碰摩故障診斷中的應(yīng)用[J].機(jī)械工程學(xué)報(bào)，2014，50(5)：65-73.

[5]BEDROSIAN E.A product theorem for Hilbert transforms [J].Proceedings of the IEEE,1963,51(5):868-869.

[6]LIANG M,BOZCHALOOI I S.An energy operator approach to joint application of amplitude and frequencydemodulations for bearing fault detection[J].Mechanical Systems&Signal Processing,2010,24(5):1473-1494.

[7]CHENG JUNSHENG,YU DEJIE,YANG YU.The application of energy operator demodulation approach based on EMD in machinery fault diagnosis [J].Mechanical Systems and Signal Processing,21.2 (2007):668-677.

[8]鞠萍華，秦樹(shù)人，趙玲.基于LMD的能量算子解調(diào)方法及其在故障特征信號(hào)提取中的應(yīng)用[J].振動(dòng)與沖擊，2011，30(2)：1-4.

[9]MARAGOS P,KAISER J F,QUATIERI T F.Energy separation in signal modulations with application to speech analysis[J].IEEETransactionsonSignal Processing,1993,41(10):3024-3051.

[10]孟宗，季艷.基于DEMD和對(duì)稱差分能量算子解調(diào)的滾動(dòng)軸承故障診斷[J].中國(guó)機(jī)械工程，2015，26(12)：1658-1664.

[11]黃椒治，林慧斌，丁康.基于廣義解調(diào)平滑能量分離算法的瞬時(shí)頻率估計(jì)[J].振動(dòng)工程學(xué)報(bào)，2014，27(2)：281-288.

[12]POTAMIANOS A,MARAGOS P.A comparison of the energy operator and the Hilbert transform approach to signal and speech demodulation[J].Signal Processing, 1994,37(1):95-120.

Application ofAnalytic Energy Operator Demodulation Method to Fault Diagnosis of Rolling Bearings

CHENG Jun-sheng,XIANG Tian-yao,YANG Xing-kai,YANG Yu
(State Key Laboratory ofAdvanced Design and Manufacture for Vehicle Body,Hunan University, Changsha 410082,China)

Aimed at the disadvantages of Hilbert transform and the conventional energy operator demodulation methods,a new demodulation method,analytic energy operator(AEO)demodulation method,is proposed.Compared to Hilbert transform and the conventional energy operator demodulation method,the AEO has higher demodulation precision. On the basis of AEO energy spectrum,a rolling bearing fault diagnosis method is put forward.This method is applied to analyze the simulated signals and actually tested signals of the rolling bearing.The comparison of the results with those of some other methods shows that the proposed method is of effectiveness and superiority.

vibration and wave;demodulation method;analytic energy operator;rolling bearing;fault diagnosis

TP911.6；TH133.3

：A DOI編碼：10.3969/j.issn.1006-1355.2017.03.030

1006-1355(2017)03-0151-05

2016-12-05

國(guó)家重點(diǎn)研發(fā)計(jì)劃資助項(xiàng)目（2016YFF0203400）；國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（51575168、51375152）；智能型新能源汽車(chē)國(guó)家2011協(xié)同創(chuàng)新中心、湖南省綠色汽車(chē)2011協(xié)同創(chuàng)新中心資助。

程軍圣（1968－），男，湖南省永州市人，博士，教授，主要研究方向?yàn)闄C(jī)械設(shè)備狀態(tài)監(jiān)測(cè)與故障診斷、動(dòng)態(tài)信號(hào)分析與處理。E-mail:signalp@tom.com。

向天堯，男，碩士研究生。E-mail：tianyao9276@163.com。