?北京/楊林艷

追本溯源 淺談豎式的價(jià)值體現(xiàn)*

?北京/楊林艷

豎式本質(zhì)是一種計(jì)算工具，基于知識(shí)價(jià)值展開豎式教學(xué)，采用直觀模型分小棒的操作手段，幫助學(xué)生理解豎式算理，滲透豎式背后隱含的認(rèn)識(shí)價(jià)值，體現(xiàn)化繁為簡(jiǎn)的數(shù)學(xué)思想。本文從知識(shí)的起點(diǎn)即豎式產(chǎn)生的價(jià)值，學(xué)生的起點(diǎn)即豎式發(fā)展的價(jià)值，課堂的起點(diǎn)即豎式思想的價(jià)值，這三個(gè)方面進(jìn)行論述。以教師三次試講后的心得體會(huì)為脈絡(luò)貫穿全文，追本溯源，研讀教材，設(shè)計(jì)有效的教學(xué)活動(dòng)，促進(jìn)學(xué)生對(duì)豎式的感悟和建構(gòu)，激發(fā)豎式學(xué)習(xí)的熱情和智慧。

除法豎式；分小棒；化繁為簡(jiǎn)

正文：

“一位數(shù)除兩位數(shù)的筆算除法”是北京版教材小學(xué)數(shù)學(xué)三年級(jí)上冊(cè)《除法》單元中的內(nèi)容，學(xué)生之前已經(jīng)學(xué)習(xí)了“表內(nèi)豎式除法”和“除數(shù)是一位數(shù)的口算除法”，本節(jié)課主要學(xué)習(xí)“除數(shù)是一位數(shù)的非表內(nèi)豎式除法”。從對(duì)比教材，研磨課程標(biāo)準(zhǔn)，到確定學(xué)習(xí)目標(biāo)，經(jīng)歷三次試講與數(shù)次修改教學(xué)設(shè)計(jì)，在這個(gè)過程中，我產(chǎn)生了些許疑惑：豎式產(chǎn)生的必要性是什么？從二年級(jí)開始引入除法豎式，有學(xué)習(xí)的必要嗎？豎式的難點(diǎn)在哪里？怎樣教學(xué)才能讓學(xué)生更好地理解豎式的含義，更順暢地進(jìn)行計(jì)算，并最終從中體會(huì)到豎式的價(jià)值所在，帶著這些疑惑，我進(jìn)行了深入思考和不斷的追問。

一、知識(shí)的起點(diǎn)——豎式的產(chǎn)生及價(jià)值

現(xiàn)在資料表明，古代中國(guó)采用算籌來計(jì)算除法，后來用算盤來計(jì)算，這是比較早的程序性計(jì)算除法的方法。中世紀(jì)的歐洲，采用“帆船”除法，17世紀(jì)，歐洲出現(xiàn)了豎式除法，經(jīng)過逐漸演變和簡(jiǎn)化，成了我們現(xiàn)在使用的方法。

莊子說：“天下大事，比作于細(xì)。天下難事，必作于易?！碑?dāng)人們面對(duì)比較復(fù)雜的問題時(shí)，總是把它分成若干個(gè)可以解決的簡(jiǎn)單問題來解決。除法是小學(xué)數(shù)學(xué)中比較復(fù)雜的計(jì)算，人們常常將它按一定順序分解為一些簡(jiǎn)單的計(jì)算。人們?cè)谶M(jìn)行筆算除法的時(shí)候，總希望把一定順序計(jì)算的中間結(jié)果最終結(jié)果記錄下來，除法豎式就是一種簡(jiǎn)潔而有效的記錄方式。這就是除法豎式的本質(zhì)所在。[1]

教師在教學(xué)中如何把豎式的本質(zhì)價(jià)值凸現(xiàn)出來，是教學(xué)的精華所在，就此，我在思考：為何二年級(jí)就引入了豎式？能夠體現(xiàn)其價(jià)值嗎？這里引入，是否會(huì)造成對(duì)本節(jié)課的干擾？

二、學(xué)生的起點(diǎn)——表內(nèi)豎式有學(xué)習(xí)的必要嗎？

縱向?qū)Ρ冉滩模本┌娼滩牡谝淮我胴Q式是二年級(jí)上冊(cè)的表內(nèi)除法，主題圖為：

教學(xué)目標(biāo)是認(rèn)識(shí)豎式各位置名稱，滲透位值思想，從除法豎式產(chǎn)生需求的角度講，缺乏其必要性學(xué)生在計(jì)算的時(shí)候，往往早就知道了答案，就是在“畫”豎式，這一點(diǎn)，給今后學(xué)習(xí)有余數(shù)的除法豎式以及本節(jié)課的一位數(shù)除兩位數(shù)豎式造成了負(fù)面干擾。

北京版教材第二次引出除法豎式是二年級(jí)下冊(cè)的有余數(shù)除法，教學(xué)目標(biāo)是在表內(nèi)乘法口訣豎式的基礎(chǔ)上，進(jìn)行口訣試商，著重理解豎式計(jì)算中余數(shù)要比除數(shù)小的意義。主題圖為：

綜上所述，兩次豎式都沒有用到分物體情境引入，豎式產(chǎn)生的需求性低，屬于接受式學(xué)習(xí)。但除法豎式形式比較“古怪”，較加、減、乘法都不一樣，讓學(xué)生提前接觸，認(rèn)識(shí)其外觀和各部分名稱，不為是一種分散難點(diǎn)學(xué)習(xí)的好方法。

三、課堂的起點(diǎn)——分小棒背后所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想是什么？

橫向?qū)Ρ冉滩模晃粩?shù)除兩位數(shù)筆算除法均是由分物體引入，豎式和分小棒的過程緊密結(jié)合，以下是對(duì)各個(gè)版本教材的主題圖截圖：帶著這樣的理解，我進(jìn)行了第一次試講。

(一)不是不理解模型，而是太依賴模型 在第一次教學(xué)中，我先是讓學(xué)生動(dòng)手分小棒，再用語(yǔ)言描述分的步驟，最后用算式和豎式分別記錄分的過程，板演48÷2的書寫時(shí)，用ppt進(jìn)行同步展示，把分小棒的過程和豎式再次緊密聯(lián)系。

學(xué)生對(duì)豎式含義理解的較好，但獨(dú)立做題時(shí)，卻不知道如何書寫，這是怎么回事呢？經(jīng)過組內(nèi)老師和學(xué)校領(lǐng)導(dǎo)的精心指導(dǎo)，我意識(shí)到本節(jié)課過于重視算理的講解，而忽視了算法教學(xué)。豎式本身是非常抽象又簡(jiǎn)潔的符號(hào)，是一種經(jīng)過簡(jiǎn)化的、合理的推理書寫形式，除法豎式是四則運(yùn)算中最難的，因?yàn)樗\(yùn)用了一種邏輯推理的方法，需要試商，每一步都要通過相乘，相減來檢驗(yàn)出的情況，從計(jì)算的方法來說，綜合運(yùn)用了除、乘、減的運(yùn)算。其次，豎式的書寫格式與以往學(xué)習(xí)的加減乘豎式書寫有著很大的差別。[2]如果不給學(xué)生進(jìn)行細(xì)致的算法講解，學(xué)生做題時(shí)會(huì)存在很大的困難。

經(jīng)過改善，在第二次教學(xué)中，我把利用小棒情境描述豎式書寫的方式改成算法的講解，以48÷2這道豎式來說，教師引導(dǎo)學(xué)生這樣描述：“48÷2，4除以2商2，在商的十位上寫2，2×2=4，4-4=0，不用寫，再把個(gè)位上的8落下來，8除以2商4，在商的個(gè)位上寫4，2×4=8，8減8等于0，表示沒有剩余?！?/p>

通過兩次試講，運(yùn)用動(dòng)手分，幫助學(xué)生理解算理；動(dòng)口說，幫助學(xué)生理清算法。算理算法攻破了，教學(xué)環(huán)節(jié)之間的邏輯性再次引起了我的深思。

(二)誰是“主”，誰是“輔” 在拜讀過諸多優(yōu)秀教學(xué)設(shè)計(jì)后，我發(fā)現(xiàn)這節(jié)課的豎式引出多用“你能用豎式記錄(或表示)分小棒的過程嗎？”

思來想去，總覺哪里不對(duì)，仔細(xì)琢磨，方知教學(xué)的主線出現(xiàn)了問題：這節(jié)課到底是分小棒還是學(xué)豎式？誰是“主”，誰是“輔”，如果按照之前的教學(xué)設(shè)計(jì)，讓學(xué)生用算式和豎式分別記錄分小棒的過程，冥冥中豎式就是為了分小棒服務(wù)。經(jīng)過改善，我把“你能用豎式記錄(或表示)分小棒的過程嗎？”改成了“你能不能借助分小棒的過程，用豎式解決這道題呢”，看似是一個(gè)小的轉(zhuǎn)變，但滲透的學(xué)習(xí)目標(biāo)是不同的，給予學(xué)生的課堂結(jié)構(gòu)也是不同的，學(xué)生的反饋也就大大不同了。

從把分小棒的過程看成主線，到把解決問題的策略作為教學(xué)的主線，教學(xué)環(huán)節(jié)更加清晰化合理化。教學(xué)環(huán)節(jié)分為：看圖收集數(shù)學(xué)信息，提出問題，列算式，解決問題。在解決問題這個(gè)環(huán)節(jié)中，首先學(xué)生可以嘗試用口算解決；口算有困難，可以運(yùn)用分小棒的方法，并試著用算式來記錄分的過程；有能力的同學(xué)還可以采用豎式的方法，在列豎式時(shí)可以借助分小棒過程。這樣既突出了豎式的本質(zhì)是一種計(jì)算工具的價(jià)值特點(diǎn)，又尊重并順應(yīng)了學(xué)生的思維發(fā)展。

在理順教學(xué)的設(shè)計(jì)主線之后，我再次審視每一個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)，對(duì)于兩步豎式優(yōu)于一步豎式的處理方式上，感到不妥。選擇兩步豎式難道就是因?yàn)樗軌蚋逦捏w現(xiàn)分小棒的過程？我們的“主”又不分小棒，這樣解釋太牽強(qiáng)了。兩步豎式背后蘊(yùn)藏的數(shù)學(xué)思想到底是什么？相信這就是本節(jié)課的魂之所在，本質(zhì)所在。

(三)分小棒與化繁為簡(jiǎn)的數(shù)學(xué)思想 為什么我們要選擇兩步豎式？一步豎式看著更簡(jiǎn)單，不是更能體現(xiàn)數(shù)學(xué)的美嗎？怎樣才能給學(xué)生講明其中的道理？

蘇格拉底說過：“最有效的教育方法，不是告訴他們答案，而是向他們提問?！奔醋寣W(xué)生經(jīng)歷學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)后，發(fā)自內(nèi)心的贊同。就此，我開始了第三次教學(xué)，在學(xué)習(xí)48÷2的豎式時(shí)，針對(duì)學(xué)生一步豎式的情況，不做重點(diǎn)講解，只是讓他們各自發(fā)表觀點(diǎn)，把問題擱置下來。在處理48÷3的豎式時(shí)，我再提問“你們認(rèn)為這兩種計(jì)算方法，哪種更好？”

此時(shí)，大部分同學(xué)選擇兩步豎式。生1說：“我剛才借助分小棒列來豎式，并不是一下就分好的，我先分整捆再分剩下的，所以我覺得兩步豎式更好。”生2說：“一步豎式像口算似的，直接就出答案了，看不出他是怎么想的?！鄙?說：“剛才48÷2這道題簡(jiǎn)單，但是48÷3點(diǎn)有難，就應(yīng)該用兩步豎式，要不然數(shù)字更大了，你就不會(huì)用豎式算了?！?/p>

同學(xué)們精彩的發(fā)言使課堂得到升華，學(xué)生們?cè)趯?duì)比中體會(huì)到了兩步豎式的優(yōu)點(diǎn)，此時(shí)，我繼續(xù)追問：“剛才有同學(xué)提到，兩步豎式寫的更詳細(xì)，這樣詳細(xì)的記錄給你帶來了怎樣的幫助？”。學(xué)生思考了一會(huì)兒，有位同學(xué)高高把手舉起：“寫的越詳細(xì)，就可以把很難的除法，分成一個(gè)個(gè)我們會(huì)做的除法，最后算出結(jié)果?！?/p>

全班響起了熱烈的掌聲，我即刻寫下“化繁為簡(jiǎn)”的數(shù)學(xué)思想。學(xué)生此時(shí)的激動(dòng)勁兒，也讓我無比振奮，感受到了教師“導(dǎo)”學(xué)的快樂！

四、結(jié)束語(yǔ)

反觀三次教學(xué)，讓我對(duì)教學(xué)的本質(zhì)從懵懂變得清晰，從為了分小棒而列豎式，到整體布局課堂結(jié)構(gòu)，分清課堂主次地位，再到設(shè)計(jì)有效的數(shù)學(xué)活動(dòng)，突出重點(diǎn)，化解難點(diǎn)，讓學(xué)生在豎式學(xué)習(xí)中體會(huì)化繁為簡(jiǎn)的數(shù)學(xué)思想，整個(gè)過程彰顯數(shù)學(xué)本質(zhì)的美感！

沒有完美的課堂，教育不是一潭死水，它是流動(dòng)的，靈動(dòng)的，發(fā)展的。隨著反復(fù)研讀教材和文獻(xiàn)，我又產(chǎn)生了一個(gè)大膽的思考：對(duì)于48÷2這個(gè)環(huán)節(jié)，大部分學(xué)生都能口算，還有分小棒的必要性嗎？思考永無盡頭，研究永無止境，相信這就是教研的魅力！

[1]曾小平，韓龍淑.除法豎式的發(fā)展與教學(xué)[J].小學(xué)教學(xué)數(shù)學(xué)版，2011，11：46.

[2]潘躍青.淺談分層豎式的思維訓(xùn)練[J].教研前沿，2012，10：50.

[3]于正軍.“核心內(nèi)容”與“核心本質(zhì)”[J].教育研究與評(píng)論·小學(xué)教育教學(xué)，2015.52.

[4]朱潔芬.豎式教學(xué)，讓知識(shí)價(jià)值顯現(xiàn)[J].教育研究與評(píng)論·小學(xué)教育教學(xué)，2015.48.

[5]王玲玲.核心問題引領(lǐng)下的數(shù)學(xué)思考[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教師，2015，5：31.

南菜園小學(xué))

*密云區(qū)教委首屆“中國(guó)知網(wǎng)杯”優(yōu)秀校本課程及論文評(píng)選活動(dòng)論文。