萬小波，張曉敏，黎明

航天東方紅衛(wèi)星有限公司，北京100094

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天琴計(jì)劃軌道構(gòu)型長(zhǎng)期漂移特性分析

萬小波，張曉敏*，黎明

航天東方紅衛(wèi)星有限公司，北京100094

為了實(shí)現(xiàn)天琴計(jì)劃航天器軌道構(gòu)型的長(zhǎng)期穩(wěn)定漂移并滿足軌道構(gòu)型的穩(wěn)定性指標(biāo)，文章應(yīng)用優(yōu)化算法搜索航天器初始最優(yōu)瞬時(shí)軌道要素。建立考慮攝動(dòng)情況下航天器軌道動(dòng)力學(xué)模型，對(duì)導(dǎo)致等邊三角形軌道構(gòu)型發(fā)生長(zhǎng)周期漂移的軌道要素進(jìn)行了分析，并且將這些要素作為軌道設(shè)計(jì)的待優(yōu)化參量，應(yīng)用粒子群(Particle Swarm Optimization，PSO)智能尋優(yōu)算法進(jìn)行優(yōu)化，應(yīng)用最終優(yōu)化得到的軌道要素進(jìn)行軌道構(gòu)型仿真。仿真結(jié)果表明，在不進(jìn)行軌道控制的情況下，4年內(nèi)軌道構(gòu)型呼吸角變化小于1.5°，臂長(zhǎng)變化小于1 500 km，臂長(zhǎng)變化速率小于10 km/s，初步滿足軌道構(gòu)型的穩(wěn)定性指標(biāo)。

天琴計(jì)劃；軌道構(gòu)型；長(zhǎng)期漂移；穩(wěn)定性；粒子群優(yōu)化算法

引力波是愛因斯坦廣義相對(duì)論的四大預(yù)言之一[1]，被認(rèn)為是時(shí)空的漣漪。直接證明引力波的存在意義重大，引力波的直接觀測(cè)是對(duì)愛因斯坦廣義相對(duì)論的最直接驗(yàn)證，同時(shí)提供了一種除電磁輻射和粒子輻射之外觀測(cè)宇宙的新手段或新方法，進(jìn)而發(fā)展引力波天文學(xué)。因此直接證明引力波的存在是歷代科學(xué)家多年的夙愿。

受地面系統(tǒng)噪聲及臂長(zhǎng)的限制，地基引力波探測(cè)系統(tǒng)只能探測(cè)到高頻的引力波信號(hào)[2]。因此在宇宙空間建設(shè)探測(cè)系統(tǒng)開展低頻引力波信號(hào)的探測(cè)成為科學(xué)家的首選，典型代表有歐洲航天局LISA/eLISA計(jì)劃[3]。中國(guó)科學(xué)家也提出了類似的引力波空間探測(cè)計(jì)劃，比較典型代表有天琴計(jì)劃[4]。天琴計(jì)劃是由中山大學(xué)為首的科學(xué)家團(tuán)隊(duì)發(fā)起的空間激光干涉引力波探測(cè)項(xiàng)目，該項(xiàng)目計(jì)劃在距離地球約105km高度的同一近圓軌道面內(nèi)放置航天器S1、S2、S3，各個(gè)航天器之間相位角相差120°，3顆航天器形成等邊三角形；在引力波探測(cè)期間，由于航天器運(yùn)行軌道受到各種攝動(dòng)因素的影響，該等邊三角形構(gòu)型會(huì)發(fā)生變化，然而引力波探測(cè)激光對(duì)準(zhǔn)子系統(tǒng)、激光穩(wěn)頻子系統(tǒng)、多普勒頻移測(cè)量子系統(tǒng)對(duì)等邊三角形構(gòu)型的穩(wěn)定性提出限制要求[5]，如果等邊三角形構(gòu)型穩(wěn)定性超出指標(biāo)要求，這些子系統(tǒng)的功能將下降或者無法工作，此時(shí)航天器需要經(jīng)過軌道機(jī)動(dòng)使得等邊三角形構(gòu)型滿足穩(wěn)定性指標(biāo)要求，但是在航天器進(jìn)行軌道機(jī)動(dòng)期間內(nèi)，引力波探測(cè)任務(wù)將被中斷，這很可能錯(cuò)過潛在的引力波源信號(hào)，因此，空間引力波探測(cè)任務(wù)要求等邊三角形軌道構(gòu)型在盡可能長(zhǎng)的時(shí)間內(nèi)滿足穩(wěn)定性指標(biāo)要求；綜上所述，對(duì)于空間引力波探測(cè)任務(wù)來說，設(shè)計(jì)和分析航天器的初始瞬時(shí)軌道要素，使得航天器組成的三角形軌道構(gòu)型在盡可能長(zhǎng)的任務(wù)期間內(nèi)滿足等邊三角形的穩(wěn)定性指標(biāo)要求是必不可少的工作。

航天器S1、S2、S3對(duì)應(yīng)不同的初始瞬時(shí)軌道要素，其形成的等邊三角形軌道構(gòu)型有著不同的長(zhǎng)周期漂移特性，而航天器軌道受到的攝動(dòng)是影響等邊三角形軌道構(gòu)型長(zhǎng)周期漂移特性的主要因素，與此前空間科學(xué)性衛(wèi)星試驗(yàn)計(jì)劃不同的是，比如重力測(cè)量衛(wèi)星,天琴計(jì)劃的軌道高度約為105km，遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于重力測(cè)量衛(wèi)星的軌道高度，在分析重力測(cè)量衛(wèi)星軌道攝動(dòng)時(shí)，主要考慮地球的攝動(dòng)項(xiàng)[6]，而在分析天琴計(jì)劃航天器軌道攝動(dòng)時(shí)主要考慮三體攝動(dòng)，忽略地球自身的攝動(dòng)。文獻(xiàn)[7]基于天琴計(jì)劃引力波探測(cè)任務(wù)要求，初步對(duì)上述等邊三角形的穩(wěn)定提出限制要求，本文主要通過設(shè)計(jì)和分析航天器初始瞬時(shí)軌道要素，從而對(duì)等邊三角形軌道構(gòu)型的長(zhǎng)周期漂移特性展開分析研究，為后續(xù)開展天琴計(jì)劃相關(guān)任務(wù)提供借鑒作用。

1 建立模型

1.1 問題描述

天琴計(jì)劃與其他空間激光干涉引力波探測(cè)計(jì)劃不同的是，天琴計(jì)劃探測(cè)確定的引力波源信號(hào)，該引力波源是RXJ0806.3 +1527，其在天球赤道慣性坐標(biāo)系的位置如圖1所示，圖1中S代表太陽，E代表地球，地球繞太陽運(yùn)行的黃道面、天球赤道面之間夾角為23°26′，S1、S2、S3表示3顆大尺度分布式航天器，航天器S1、S2、S3在同一軌道面內(nèi)以相位角相差120°形成等邊三角形。

在設(shè)計(jì)航天器S1、S2、S3初始軌道要素之前，首先必須知道3顆航天器平均軌道要素的數(shù)值大小；根據(jù)天琴計(jì)劃所要探測(cè)的引力波源特性和位置信息，文獻(xiàn)[8]給出航天器S1、S2、S3平均軌道要素的數(shù)值大小如表1所示。

由前述可知，S1、S2、S3航天器軌道在運(yùn)行時(shí)，三者形成等邊三角形構(gòu)型，在空間引力波探測(cè)期間，探測(cè)信號(hào)的精度和分辨率分別對(duì)兩干涉臂長(zhǎng)的差量、兩條干涉臂之間夾角即呼吸角的變化量，以及干涉臂兩端航天器相對(duì)速度的大小提出嚴(yán)格的要求，這3項(xiàng)指標(biāo)要求均反映了上述等邊三角形構(gòu)型的穩(wěn)定性，故稱之為表征等邊三角形穩(wěn)定性要素，如表2所示。

表1 航天器S1、S2、S3平均軌道要素

表2 表征等邊三角形穩(wěn)定性要素指標(biāo)要求

本文基于表1航天器S1、S2、S3平均軌道要素，以保證天琴計(jì)劃探測(cè)器在不進(jìn)行軌道控制的狀態(tài)下，盡可能長(zhǎng)時(shí)間的連續(xù)工作為目標(biāo)，分析了系統(tǒng)的長(zhǎng)周期漂移特性，確定了航天器初始瞬時(shí)軌道要素。

1.2 衛(wèi)星軌道動(dòng)力學(xué)模型

對(duì)于天琴計(jì)劃，10萬公里高的軌道，考慮的軌道攝動(dòng)因素應(yīng)包括地球J2項(xiàng)、月球和太陽引力攝動(dòng)項(xiàng)，以及太陽光壓攝動(dòng)項(xiàng)，但是引力波探測(cè)系統(tǒng)有一個(gè)無拖曳控制系統(tǒng)，專門用來消除系統(tǒng)受到的非保守力，因此太陽光壓不予以考慮?？紤]地球J2項(xiàng)、月球和太陽引力攝動(dòng)項(xiàng)，航天器i在地心赤道慣性坐標(biāo)系下軌道動(dòng)力學(xué)方程可以表示為[9]：

(1)

(2)

式中：Re為地球平均半徑；J2=1.082 64×10-3。

1.3 表征等邊三角形穩(wěn)定性要素計(jì)算公式

天琴計(jì)劃利用航天器S1、S2、S3形成一等邊三角形構(gòu)型，設(shè)該等邊三角形的3個(gè)頂點(diǎn)為S1、S2、S3；表征等邊三角形穩(wěn)定性要素有臂長(zhǎng)Lsisj變化量，兩個(gè)干涉臂之間夾角θsi的變化量，干涉臂長(zhǎng)變化速率vsisj；干涉臂長(zhǎng)Lsisj，兩個(gè)干涉臂之間的夾角θsi，干涉臂長(zhǎng)變化速率vsisj的計(jì)算公式為：

(3)

(4)

(5)

2 選擇待優(yōu)化參數(shù)

計(jì)算表征等邊三角形軌道構(gòu)型穩(wěn)定性要素有如下步驟：

1)已知航天器i初始軌道要素，由經(jīng)典軌道要素與直角法表示航天器運(yùn)動(dòng)之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系及旋轉(zhuǎn)矩陣[11]可得航天器i在初始時(shí)刻地心慣性坐標(biāo)系下的位置坐標(biāo)rio和速度坐標(biāo)vio；

2)由航天器i軌道動(dòng)力學(xué)微分方程式(1)和(2)，應(yīng)用經(jīng)典四級(jí)四階R-K法，可求得航天器i在tn時(shí)刻的位置坐標(biāo)ritn和速度坐標(biāo)vitn；其中航天器軌道動(dòng)力學(xué)微分方程中所考慮的攝動(dòng)項(xiàng)有地球扁率J2攝動(dòng)項(xiàng)，月球和太陽引力攝動(dòng)項(xiàng)；選用的時(shí)間系統(tǒng)TDB，月球和太陽的星歷JPL DE421[12]，積分初始時(shí)刻2 034.01.01，積分的時(shí)間跨度4年；

3)由式(2)計(jì)算得到的航天器i在tn時(shí)刻的位置ritn和速度vitn坐標(biāo)，帶入式(3)～(5)，可得表征等邊三角形穩(wěn)定性要素在tn時(shí)刻的數(shù)值大小，以此類推，可得表征等邊三角形穩(wěn)定性要素在不同時(shí)刻的數(shù)值。

由于等邊三角形軌道構(gòu)型的臂長(zhǎng)變化速度和呼吸角的變化線性近似依賴于干涉臂長(zhǎng)的變化[13]，以下取干涉臂長(zhǎng)的變化為研究對(duì)象；以表1中航天器S1、S2平均軌道要素作為航天器S1、S2的初始軌道要素，按照步驟1)～3)，計(jì)算得到在6個(gè)月內(nèi)航天器S1、S2形成的等邊三角干涉臂L12變化曲線如圖2所示。

干涉臂的變化有短周期漂移和長(zhǎng)周期漂移，短周期漂移是航天器軌道運(yùn)行周期時(shí)間范圍內(nèi)干涉臂有不規(guī)則的上下波動(dòng)變化；長(zhǎng)周期漂移是從整體趨勢(shì)看，隨著時(shí)間的推移，干涉臂長(zhǎng)有遞減或者遞增的趨勢(shì)，由圖2干涉臂L12的變化曲線可知，干涉臂L12短周期漂移對(duì)其臂長(zhǎng)變化影響不大，而長(zhǎng)周期漂移速度較快，因?yàn)樵诓坏揭粋€(gè)月的軌道運(yùn)行期內(nèi)，干涉臂L12的臂長(zhǎng)變化已超出初始臂長(zhǎng)的1%，干涉臂L13和L23也有類似的短周期和長(zhǎng)周期的漂移特性；天琴計(jì)劃任務(wù)壽命是3～5年，因此對(duì)軌道構(gòu)型有長(zhǎng)期穩(wěn)定漂移的特性要求，由上述分析可知，如果將表1中航天器平均軌道要素作為航天器初始瞬時(shí)軌道要素，軌道構(gòu)型穩(wěn)定性不滿足天琴計(jì)劃的任務(wù)要求，因此，需要重新選擇航天器初始軌道要素，降低干涉臂長(zhǎng)周期漂移速度，使得干涉臂的變化在盡可能多的漂移狀態(tài)下滿足等邊三角形穩(wěn)定性指標(biāo)要求。

導(dǎo)致圖2中干涉臂L12長(zhǎng)周期漂移不斷縮減的主要原因是航天器S1、S2的平均軌道要素半長(zhǎng)軸am不同，在上述外推法計(jì)算航天器軌道的過程中，航天器S1、S2瞬時(shí)軌道要素半長(zhǎng)軸at的變化曲線如圖3所示。

由圖3可知，由于軌道動(dòng)力學(xué)攝動(dòng)因素的影響，航天器S1、S2瞬時(shí)軌道要素半長(zhǎng)軸at處于不斷波動(dòng)的變化，二者不同，而航天器瞬時(shí)軌道要素半長(zhǎng)軸at可近似表示[14]：

(6)

(7)

(8)

(9)

由上述分析可知，航天器S1、S2軌道平均軌道要素半長(zhǎng)軸的不同是導(dǎo)致干涉臂L12長(zhǎng)周期遞減的主要原因，因此選取航天器S1、S2軌道初始瞬時(shí)軌道要素半長(zhǎng)軸作為待優(yōu)化的參數(shù)，這是因?yàn)楹教炱鞒跏架壍酪匕腴L(zhǎng)軸基本決定了航天器的平均軌道要素半長(zhǎng)軸的數(shù)值大小，本文通過優(yōu)化已選擇的待優(yōu)化參數(shù)，使得航天器S1、S2、S3形成等邊三角形構(gòu)型在航天器盡可能多的自由漂移狀態(tài)下滿足表2等邊三角形穩(wěn)定性的指標(biāo)要求。

3 基于PSO參數(shù)尋優(yōu)算法

(10)

式中：x表示空間粒子的位置；v表示粒子的速度，本文粒子位置x的參數(shù)為待優(yōu)化的S1、S2、S3航天器初始瞬時(shí)軌道要素半長(zhǎng)軸；ω為慣性權(quán)重，用來調(diào)節(jié)粒子速度大?。沪?，δ2為兩個(gè)學(xué)習(xí)因子，rand1和rand2為0-1之間的隨機(jī)數(shù)，用來描述種群內(nèi)部信息交換的學(xué)習(xí)程度；pi表示該粒子迄今為止最優(yōu)位置；pg表示該粒子群迄今為止最優(yōu)位置；下標(biāo)i表示粒子編號(hào)，下標(biāo)j表示粒子維度，即指粒子向量的長(zhǎng)度。

將PSO算法應(yīng)用到對(duì)航天器初始瞬時(shí)軌道要素半長(zhǎng)軸尋優(yōu)中需要定義合理的適配度函數(shù)；設(shè)干涉臂L21或L12為L(zhǎng)1，L13或L31為L(zhǎng)2，L23或L32為L(zhǎng)3，本文選取在一定的數(shù)值積分時(shí)間內(nèi)干涉臂L1、L2、L3各個(gè)變量的方差之和作為PSO尋優(yōu)算法的適配值函數(shù)H；設(shè)積分時(shí)間節(jié)點(diǎn)為t0,t1,…,tn-1，則Lij表示Li臂在積分時(shí)間節(jié)點(diǎn)tj處的數(shù)值大小，Ai表示干涉臂Li的平均值，表達(dá)式為：

(11)

(12)

對(duì)上述PSO優(yōu)化算法用Matlab編程語言實(shí)現(xiàn)，程序運(yùn)行一次只能得到兩個(gè)優(yōu)化的參數(shù)，以S1、S2航天器為例，在整個(gè)PSO優(yōu)化算法迭代的過程中，S1、S2航天器初始瞬時(shí)軌道要素半長(zhǎng)軸的收斂情況及適配值函數(shù)的變化趨勢(shì)分別如圖4所示。

最后得到S1、S2、S3航天器初始瞬時(shí)軌道要素半長(zhǎng)軸的最優(yōu)解為：

(13)

將表1中分布式航天器初始軌道要素半長(zhǎng)軸變換為經(jīng)過優(yōu)化得到的式(13)數(shù)據(jù)，航天器其他初始軌道要素不變，然后將變換后表1的數(shù)據(jù)帶入第2節(jié)計(jì)算表征等邊三角形穩(wěn)定性要素流程中，得到在4年天琴計(jì)劃任務(wù)期間內(nèi)表征等邊三角形穩(wěn)定性要素的變化曲線。

由上述計(jì)算的數(shù)據(jù)可得，在天琴計(jì)劃4年任務(wù)期間內(nèi)，干涉臂L1、L2、L3臂長(zhǎng)變化量δL均符合表2對(duì)干涉臂長(zhǎng)變化量提出的指標(biāo)要求。

由上述計(jì)算的數(shù)據(jù)可得航天器S1、S2、S3軌道構(gòu)型呼吸角在天琴計(jì)劃4年的任務(wù)期間內(nèi)變化量δθ滿足表2對(duì)呼吸角的指標(biāo)要求。

圖7為在天琴計(jì)劃4年的任務(wù)期間內(nèi)，干涉臂L1、L2、L3的臂長(zhǎng)變化速率變化曲線，圖中干涉臂L1最大臂長(zhǎng)變化速率v1max=5.86 m/s；干涉臂L2最大臂長(zhǎng)變化速率v2max=5.98 m/s；干涉臂L3最大臂長(zhǎng)變化速率v3max=6.11 m/s；由上述數(shù)據(jù)可知，干涉臂L1、L2、L3最大臂長(zhǎng)變化速率均小于9 m/s，滿足表2對(duì)干涉臂臂長(zhǎng)變化速率的指標(biāo)要求。

4 結(jié)束語

以中國(guó)空間激光干涉引力波探測(cè)天琴計(jì)劃為研究對(duì)象，依據(jù)航天器S1、S2、S3軌道構(gòu)型穩(wěn)定性的指標(biāo)要求，首次以數(shù)值方法初步進(jìn)行探測(cè)器軌道的設(shè)計(jì)與分析:

1)建立105km軌道高度的航天器軌道動(dòng)力學(xué)微分方程；

2)分析研究導(dǎo)致等邊三角形臂長(zhǎng)長(zhǎng)周期漂移的軌道要素，然后將此軌道要素作為航天器設(shè)計(jì)的待優(yōu)化參數(shù)；

3)基于粒子群(PSO)智能優(yōu)化算法對(duì)已選擇的待優(yōu)化參數(shù)進(jìn)行尋優(yōu)，最后將優(yōu)化得到的軌道要素進(jìn)行軌道仿真。結(jié)果表明等邊三角形的穩(wěn)定性在長(zhǎng)時(shí)間漂移下滿足指標(biāo)要求，證明了該方法的有效性。

本文的研究成果能夠?yàn)槲磥黹_展空間引力波探測(cè)提供建議與參考。

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(編輯：車曉玲)

Analysis of long-period drift characteristics for orbit configuration of the Tianqin Mission

WAN Xiaobo，ZHANG Xiaomin*，LI Ming

DFHSatelliteCo.LTD.，Beijing100094，China

In order to realize the long-term steady drift of Tianqin Mission′s orbital configuration and meet stability index, initial optimum instantaneous orbital elements were searched by the optimization algorithm. Firstly，orbital dynamics model considering perturbation was set up. Secondly,the orbital configuration of equilateral triangle drifted for long-period by the orbital elements′ variety was researched and the orbital elements leading to the orbital configuration of equilateral triangle drifted in a long-period were made as parameters to be optimized. Particle swarm intelligent optimization algorithm (PSO)was applied to optimize parameters selected for optimization. Finally,the simulation results show that the arm length changes less than 1 500 km，the breath angle changes less than 1.5 degrees and the velocity of the arm length variety changes less than 10 m/s in natural drifting of four years without orbital maneuver. The results meet the initial indicators of the orbital configuration.

Tianqin Mission；orbital configuration；long-term drift；stability；particle swarm optimization

10.16708/j.cnki.1000-758X.2017.0044

2017-03-17；

2017-04-18；錄用日期：2017-05-18；網(wǎng)絡(luò)出版時(shí)間：2017-05-31 09:59:12

http:∥kns.cnki.net/kcms/detail/11.1859.V.20170531.0959.005.html

萬小波(1990-)，男，碩士研究生，873806425@qq.com，研究方向?yàn)楹教炱鬈壍纼?yōu)化與設(shè)計(jì)

*通訊作者：張曉敏(1971-)，男，研究員，zhangxiaomin01@tsinghua.org.cn，研究方向?yàn)楹教炱鬈壍绖?dòng)力學(xué)與控制

萬小波，張曉敏，黎明. 天琴計(jì)劃軌道構(gòu)型長(zhǎng)期漂移特性分析[J].中國(guó)空間科學(xué)技術(shù)，2017，37(3)：110-116.

WANXB，ZHANGXM，LIM.Analysisoflong-perioddriftcharacteristicsfororbitconfigurationoftheTianqinMission[J].ChineseSpaceScienceandTechnology，2017，37(3)：110-116(inChinese).

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