◇鄭毓信

為學生思維發(fā)展而教
——“數(shù)學核心素養(yǎng)”大家談（下）

◇鄭毓信

（上接2017年第4期第6頁）

二 “數(shù)學核心素養(yǎng)”之實踐性解讀

以下再對一線教師如何做好“數(shù)學核心素養(yǎng)”的實踐性解讀提出一些具體的建議。

首先，筆者近年來一直倡導(dǎo)一個立場，即面對任一新的理論或主張，我們都應(yīng)認真思考這樣三個問題：（1）這一理論或主張的實質(zhì)是什么？（2）這一理論或主張對于我們改進教學有哪些新的啟示和意義？（3）這一理論或主張有什么局限性或不足之處？

在此，筆者愿再次強調(diào)認真思考“核心素養(yǎng)給予我們的主要啟示是什么”的重要性，特別是，我們應(yīng)始終堅持自身的獨立思考，而不應(yīng)盲目地追隨潮流，并且應(yīng)當切實防止這樣的做法：人云亦云，甚至有意識地“穿靴戴帽”，用“核心素養(yǎng)”這一口號刻意地包裝自己，事實上卻沒有任何真切的感受或體會。例如，在當前我們隨意翻閱任何一本數(shù)學教學方面的專門刊物，恐怕都可以找出這樣的幾篇文章：盡管采用了“數(shù)學核心素養(yǎng)”這樣的醒目標題，但就其實際內(nèi)容而言，除了文首所直接引用的某些“專家”的論述，其余內(nèi)容可以說與“數(shù)學核心素養(yǎng)”毫不相干，更看不出相關(guān)作者通過對“核心素養(yǎng)”的學習究竟獲得了怎樣的啟示，又是如何將這些認識應(yīng)用到自己的教學工作之中的！

與此相對照，由以下實例可以看出我們做好自身工作的關(guān)鍵：“教育貴在執(zhí)著”，盡管其中所直接涉及的只是教育的“三維目標”而非“核心素養(yǎng)”——“從來沒想到，在北京一所不起眼的小區(qū)配套學校里，居然有一群人，對‘三維’目標的研究如此執(zhí)著，達8年之久（這一文章[14]發(fā)表于2011年）；他們從學科知識走到了知識樹，從知識樹走到了能力，從能力走到了高位目標，并解決了一系列教學困惑和問題。無論課改形勢發(fā)生什么變化，都沒有動搖他們的研究精神。10年過去了，這所普通學校迅速成長為海淀區(qū)第一方陣的佼佼者?！薄罢n改10年里，有的學校開始時熱情高漲，之后抱怨、觀望，不了了之，課堂沒有任何改變，教師幾無任何收獲，反生了改革疲勞感，助長了形式主義的風氣。有的學校深入下去做研究，但未能堅持，最終半途而廢?！薄斑M校附校（指‘北京市海淀區(qū)教師進修學校附屬實驗學校’）是這里面的‘勝利者’，勝在了‘執(zhí)著’二字?！盵14]

其次，筆者對上面所提到的由一線教師撰寫的那幾篇文章特別感興趣的主要原因是：希望借此了解一線教師是如何看待“數(shù)學核心素養(yǎng)”，又是如何在自己的教學實踐中予以落實的。

具體地說，盡管相關(guān)的認識不能說十分全面，甚至未能達到足夠的理論高度，但因為這些認識反映了他們的獨立思考，從而就有可能在教學中很好地加以落實。當然，這些工作的一個重要價值是：我們借此可以很好地了解實踐工作者對于“數(shù)學核心素養(yǎng)”的基本看法是什么，這些基本看法當然也應(yīng)引起理論研究者和各級教育領(lǐng)導(dǎo)的充分重視。

許衛(wèi)兵等老師在文章中共同強調(diào)一點：“為思維發(fā)展而教！”比如，“思維是數(shù)學能力之‘核’，思維也是數(shù)學素養(yǎng)之‘魂’！無論過去、現(xiàn)在，還是將來，數(shù)學課堂都應(yīng)該基于‘思維’教，圍繞‘思維’學，讓學生獲得良好的思維啟迪，能‘自覺地用數(shù)學的思維方法去觀察、分析社會，解決現(xiàn)實問題’，進而提升學習質(zhì)量、生活質(zhì)量乃至人生境界?！盵15]另外，我們顯然也可從同一角度理解夏海蓮等老師關(guān)于“深度教學”所提倡的：“培養(yǎng)學生的數(shù)學核心素養(yǎng)，顯然靠淺層次的課堂教學是無法順利完成的，只有教師深度地教，學生深度地學，不斷提升課堂教學的品質(zhì)，豐富課堂教學的思想內(nèi)涵，真正形成有效的數(shù)學活動，才有可能在提升學生的數(shù)學核心素養(yǎng)方面逐步獲得進展。”[16]

事實上，在筆者看來，這也正是20世紀 80年代以來國際上多次數(shù)學教育改革運動，包括相關(guān)的教學實踐，最為重要的經(jīng)驗：數(shù)學教育應(yīng)當致力于促進學生思維的發(fā)展。而實現(xiàn)這一目標最為基本的途徑是：以數(shù)學思維的分析帶動具體數(shù)學知識內(nèi)容的教學，從而將數(shù)學課真正“教活”“教懂”“教深”，即通過自己的教學向?qū)W生展現(xiàn)“活生生的”數(shù)學研究工作，而不是死的數(shù)學知識，并能幫助他們真正理解相關(guān)的內(nèi)容，而不是囫圇吞棗和死記硬背，使他們不僅能夠掌握具體的數(shù)學知識，也能領(lǐng)會內(nèi)在的思想方法。[17]

顯然，按照這樣的認識，我們可以對“數(shù)學核心素養(yǎng)”做出如下解讀：我們應(yīng)當通過數(shù)學教學幫助學生學會思維，并能逐步學會想得更清晰、更深入、更全面、更合理，包括由“理性思維”逐步走向“理性精神”。

就上述論點而言，我們應(yīng)特別強調(diào)以下幾點：

第一，相對于“幫助學生學會數(shù)學地思維”而言，“通過數(shù)學學會思維”應(yīng)當說是更為合理的一個主張。因為，數(shù)學思維顯然并非思維的唯一可能形式，各種思維形式，如文學思維、哲學思維、科學思維等，應(yīng)該說都有一定的合理性和局限性，從而，無論就社會進步還是個人發(fā)展而言，我們都不應(yīng)唯一地強調(diào)“學會數(shù)學地思維”，而應(yīng)更加重視“為思維發(fā)展而教”。

當然，我們又不應(yīng)因此否定對數(shù)學思維的研究和學習的重要性，如此一來，則對數(shù)學教育工作者如何做好這方面的工作提出了更高的要求，特別是，我們應(yīng)很好地處理數(shù)學思維與一般思維之間的關(guān)系。[18]

第二，“通過數(shù)學學會思維”，主要不是指“想得更快”又“與眾不同”，而是指“想得更清晰、更深入、更全面、更合理”。另外，思維的發(fā)展不僅與“思維能力”密切相關(guān)，還直接關(guān)系到思維的品質(zhì)，也就是說，與各種具體的數(shù)學思想方法相比，我們應(yīng)當更加重視提高學生的思維品質(zhì)，特別是思維的清晰性與嚴密（合理）性、思維的深刻性與全面性、思維的綜合（整合）性與靈活性以及思維的自覺性與創(chuàng)造性。

我們應(yīng)清楚地看到上述各個方面之間的辯證聯(lián)系，這也正是“理性思維”最為重要的內(nèi)涵之一。更明確地說，我們應(yīng)當努力追求這樣一個更高的目標：我們不僅應(yīng)當通過自己的教學幫助學生學會思維，還應(yīng)努力促成他們由理性思維逐步走向理性精神，從而真正成為一個高度自覺的理性人。

第三，從實踐的角度看，上述分析顯然也為我們具體判斷一堂數(shù)學課是否成功提供了一條基本的標準：無論教學中采取了怎樣的教學方法或模式，我們都應(yīng)更加關(guān)注相關(guān)的教學是否真正促進了學生更為積極地思考，并能逐步學會想得更清晰、更深入、更全面、更合理。

與此相對照，在當前，我們應(yīng)當努力糾正的一個現(xiàn)象是：我們的學生一直在做，一直在算，一直在動手，但就是不想！這樣的現(xiàn)象不應(yīng)再繼續(xù)下去了！

最后，還應(yīng)強調(diào)的是，就這方面的具體工作而言，應(yīng)當說還有很多問題需要我們深入研究。例如，當前十分重要的一項工作是：針對具體的教學內(nèi)容，我們?nèi)绾吻宄亟缍▽τ谛W數(shù)學教育而言最為重要的各種數(shù)學思想方法。例如，這事實上也是上述兩篇文章（即參考文獻[15]和[16]）的又一共同點，即對于“整體性觀念”與“結(jié)構(gòu)化思想”的突出強調(diào)，而這不僅是一種十分重要的數(shù)學觀點，還直接關(guān)系到學生思維品質(zhì)的提高。

三 案例分析：“在練習中培養(yǎng)學生的核心素養(yǎng)”

以下就從同一角度對上面所提到的第三篇文章[19]做出具體分析，希望讀者以此為例，更好地理解對數(shù)學思想方法做出清楚界定，并以此指導(dǎo)實際教學活動的重要性。

坦率地說，如果僅從字面上分析，這一文章中所提到的練習課應(yīng)當說與“培養(yǎng)學生的核心素養(yǎng)”這一目標仍有一定距離，其未能清楚地表明作者是如何以上述目標為指導(dǎo)從事這一教學活動的，包括具體設(shè)計出了這樣一個“具有思辨性的習題”：

一個正方形被分成了三個同樣大小的長方形（如圖 1），每個長方形的周長都是 32厘米，這個正方形的周長是多少？

圖1

以下就圍繞同一問題對這一教學活動做出進一步的分析，希望能清楚地表明基于“培養(yǎng)學生的核心素養(yǎng)”，我們應(yīng)當如何實施這一內(nèi)容的教學，特別是，在學生給出了某一解法以后，教師應(yīng)當如何做出評價；在學生思維出現(xiàn)“卡殼”時，又應(yīng)如何做出適當?shù)囊龑?dǎo)；什么可被看成促進學生思維進一步發(fā)展或深化的必要環(huán)節(jié)；等等。更為一般地說，我們?nèi)绾尾拍苁沟眠@一教學活動真正成為前述的“深度教學”，即能夠更有效地促進學生思維的發(fā)展。

第一，正如文中所指出的，生1在課堂上的表現(xiàn)（后面關(guān)于“序的思想”的論述可被看成對于生1所提供的解題方法的概述）應(yīng)當說十分出色：“生1的思路如此清晰，語言表達如此流利，說理如此到位，同學們情不自禁地為他鼓起掌來。”但是，就促進學生的思維發(fā)展而言，教師應(yīng)如何對此做出適當評價和進一步的引導(dǎo)呢？

不難想到，如果我們在此僅僅著眼于對上述問題的具體求解，就不可能充分發(fā)揮這一活動對于學生思維發(fā)展的積極作用，這里既包括生 1和另外一些已經(jīng)掌握了同一解法的學生，也包括各個事先并未想到這一方法，乃至在聽過了生1的介紹以后仍然“似懂非懂”的學生。當然，這事實上也正是筆者提出上述問題的主要原因，盡管全體學生都對生1的表現(xiàn)做了肯定，教師仍應(yīng)對此做出進一步的分析和引導(dǎo)，包括清楚地指明相應(yīng)的數(shù)學思想方法。

具體地說，該教師當時應(yīng)當特別強調(diào)一個數(shù)學思想：聯(lián)系的觀點。事實上，在學生具體從事解題活動前，我們或許就應(yīng)在這方面做出必要的引導(dǎo)。當然，也可以選擇在生1給出解答之后，再圍繞這一思想對相關(guān)的解題活動做出進一步分析。即教師在此可以明確提出這樣一個“解題策略”：面對任一較復(fù)雜的問題，我們都首先應(yīng)列舉出其中的各個相關(guān)成分（包括已知成分與未知成分），然后具體研究它們的相互關(guān)系。

就目前的問題而言，也就是指：（如圖2）

圖2

顯然，這方面的具體思考不僅有助于學生更好地理解所面對的問題，也可由此引發(fā)相關(guān)的解題思路，包括更好地理解生1所提供的解題方法。

從思維的角度看，教師在此或許還可特別提及以下兩個更為具體的“解題策略”：

（1）突出關(guān)鍵。我們應(yīng)當幫助學生逐步養(yǎng)成這樣一個思維習慣，即圍繞問題進行思考，更應(yīng)注意分析其中的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。例如，就當前的問題而言，如何找出長方形的長與寬之間的關(guān)系，顯然是一個特別重要的環(huán)節(jié)。

（2）序的思想。這可被看成前面所提到的“整體性觀念”的一個具體表現(xiàn)。就目前的問題而言，我們應(yīng)當按照一定順序一步一步地解決問題：第一步，找出長方形的長與寬之間的關(guān)系；第二步，依據(jù)所說的關(guān)系，由長方形的周長求出它的長和寬；第三步，依據(jù)“正方形的邊長等于長方形的長”，由正方形的邊長求得它的周長。

第二，這是課堂中出現(xiàn)的真實情況：在生1說出自己的解法并獲得全體同學肯定以后，“教室中安靜下來，學生把目光投向教師”。文章作者對這一現(xiàn)象做了如下解讀：學生“試圖從教師這兒尋求別的解法”。這一解讀也許有一定道理，但在筆者看來，這事實上也十分清楚地表明了“超出具體問題的求解，并從思維角度做出進一步分析和引導(dǎo)”的重要性。

相關(guān)教師在當時所采取的主要措施是：其一，“讓學生在問題解決過程中實現(xiàn)方法的多元性”；其二，“提醒學生借助畫圖或動手操作等策略輔助思考，開啟學生思維的‘閘門’”。[19]

我們在此為什么要特別提倡解題方法的多元化？另外，就目前的問題與教學對象而言，我們是否真有必要讓學生實際動手進行操作，如用小棒進行圖形的拆分、平移、旋轉(zhuǎn)、組合等？

筆者的看法是：

（1）從上述基本立場出發(fā)，我們可以得出這樣一個直接結(jié)論，即與單純的“動手”相比，我們應(yīng)當更加重視促進學生積極思考，包括很好地實現(xiàn)由“動手”向“動腦”的必要轉(zhuǎn)變。當然，就目前的論題而言，這并非指我們在教學中應(yīng)當完全排斥學生通過實際動手發(fā)現(xiàn)各種可能的解題方法，而主要是指教師應(yīng)當切實加強這方面的引導(dǎo)工作，從而使得“動手”真正起到促進學生思維的作用。

筆者認為，與單純強調(diào)“動手”相比，我們在教學中應(yīng)更加強調(diào)“數(shù)形結(jié)合”這樣一個數(shù)學思想，因為，無論是所謂的“畫圖”還是“動手操作”，其主要作用都是有助于我們更好地理解與把握各個對象之間的數(shù)量關(guān)系。

應(yīng)當指出的是，上面提到的“關(guān)系圖”（如圖2）事實上也可被看成一種直觀圖形，因為，這同樣為我們很好地理解與把握各個對象之間的關(guān)系，包括相應(yīng)的解題步驟，提供了直觀圖像。當然，與圖1相比，圖 2具有更大的啟示作用，從而十分清楚地體現(xiàn)了數(shù)學抽象的力量，因為，這一圖形的生成本身就是抽象思維的結(jié)果，或者說，其直接反映了主體思維的不斷深化。

相信讀者依據(jù)這一實例可以更好地理解華羅庚先生的這樣一個論述：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，割裂分家萬事休?！?/p>

（2）與簡單提倡“解題方法的多元化”相比較，我們在此應(yīng)更加重視學生思維的深化，即應(yīng)當通過適當?shù)膯栴}將學生的思維引向深入，而不只是簡單地滿足于“越多越好”。

例如，就當時的教學情境而言，我們或許可借助上述“關(guān)系圖”（如圖 2）有意識地提出這樣一個問題：從圖形上看，我們正是通過“迂回”即“繞道”長方形的長與寬和正方形的邊長最終由長方形的周長求得了正方形的周長，但是，我們是否可以開拓一條更為直接的解題途徑，即由長方形的周長直接求得正方形的周長？（如圖3）

圖3

就當時的現(xiàn)實情境而言，上述問題的提出顯然十分清楚地表明了在原來的問題已經(jīng)獲得解決的情況下我們?yōu)槭裁匆龀鲞M一步的研究，包括用畫圖與動手操作等方法進行新的探究。這可被看成為接下來的具體實踐指明了努力的方向：我們所希望的就是通過畫圖、拆分、拼合等，找出長方形的周長與正方形周長的內(nèi)在聯(lián)系。

第三，在學生得出了“正方形的周長等于長方形的周長的1.5倍”這一結(jié)論以后，我們還可將學生（至少是部分學生）的思維進一步引向深入。

具體地說，在建立了上述認識以后，就原先問題的求解而言，我們顯然只在最后一步用到了“長方形的周長是 32厘米”這個條件，也就是說，這個條件在整個解題過程中并不具有十分重要的作用。例如，如果將上述條件換成“長方形的周長是20或72厘米”，全部的解題過程顯然不會有任何重要的變化。

那么，究竟這一思考的真正意義是什么呢？其意義主要在于形成這樣一種思維方式：我們應(yīng)當努力發(fā)現(xiàn)“變化中不變的因素”，即事物的本質(zhì)或規(guī)律。

不難想到，上述研究事實上也是一個“一般化”的過程，或者說，是各種抽象活動的共同本質(zhì)。另外，從同一角度分析，我們顯然也可清楚地看出積極鼓勵學生通過拆分與拼合等手段發(fā)現(xiàn)解題思路的優(yōu)點：在不知不覺中將學生的關(guān)注點轉(zhuǎn)移到了長方形和正方形周長之間的關(guān)系上，而不再唯一地局限于如何能夠通過計算求得它們的具體數(shù)值，這直接保證了相關(guān)結(jié)果具有更大的普遍性，即在所說的分割方式下，正方形的周長一定是長方形周長的1.5倍。

進而，依據(jù)上述分析，我們顯然也可以應(yīng)用如下的“特殊化”方法更為簡單地解決原來的問題：不失一般性，我們在此可假設(shè)長方形的寬是 1（個單位），顯然，在這樣的條件下，我們可立即求得長方形的長（即正長形的邊長）是3（個單位）；這時求長方形和正方形的周長就十分容易了，它們分別是 8和 12（個單位）；最后，依據(jù)上述計算，我們可立即得出“正方形的周長是長方形周長的1.5倍”這一普遍性的結(jié)論，據(jù)此也可以由原來的條件（長方形的周長是 32厘米）直接求得正方形的周長。

雖然上述解題方法用到了“比”的概念，超出了三年級學生的學習范圍，但是在筆者看來，依據(jù)這一實例，我們可更好地理解筆者的這樣一個論點[20]：比、除法與分數(shù)在很大程度上可以被看成是完全對等的，那么，在已經(jīng)引進了除法和分數(shù)的基礎(chǔ)上，我們?yōu)槭裁匆獙ｉT引入“比”這樣一個概念？答案就在于：這體現(xiàn)了不同的研究視角，我們在此所關(guān)注的主要是兩個量（就目前的問題而言，指正方形與長方形的周長）之間的關(guān)系，而不十分在意它們的具體數(shù)值。

由此可見，這也正是上述研究的又一重要意義，即可以為學生將來的學習提供必要的準備。應(yīng)當指出，這事實上也正是“代數(shù)思維”的一個重要內(nèi)涵，即我們應(yīng)當將關(guān)注點由單純的計算轉(zhuǎn)向?qū)ο笾g的等量關(guān)系。[21]從而，上述研究也可以被看成為在小學數(shù)學教學中滲透代數(shù)思維提供了一個很好的契機。

最后，我們顯然可應(yīng)用“一般化”的思想對原來的問題做進一步的推廣，即：“一個正方形被分成 4個（或 5個、6個，乃至 n個）同樣大小的長方形，每個長方形的周長都是32厘米，這個正方形的周長是多少？”

愿廣大一線教師都能結(jié)合自己的教學在幫助學生學會思維這方面不斷取得新的進步，真正做到為學生的思維發(fā)展而教！

[14]余慧娟，錢麗欣.課改的“勝利者”——北京市海淀區(qū)教師進修學校附屬實驗學校教學研究特寫[J].人民教育，2011（6）.

[15]許衛(wèi)兵.以思維為核心的數(shù)學素養(yǎng)導(dǎo)向——基于課堂教學的視角[J].小學教學（數(shù)學版），2017（1）.

[16]夏海蓮，吳登文.在深度教學中培養(yǎng)學生的數(shù)學核心素養(yǎng)[J].小學教學（數(shù)學版），2017（1）.

[17]鄭毓信.數(shù)學方法論[M].南寧：廣西教育出版社，1991.

[18]鄭毓信.“數(shù)學與思維”之深思[J].數(shù)學教育學 報，2015(1).

[19]陳為強.在練習中培養(yǎng)學生的核心素養(yǎng)——“長方形和正方形的周長”教學片段與思考[J].小學教學（數(shù)學版），2017（1）.

[20]鄭毓信.小學數(shù)學概念與思維教學[M].南京：江蘇鳳凰教育出版社，2014.

[21]章勤瓊等.小學階段“早期代數(shù)思維”的內(nèi)涵及教學——墨爾本大學教授麥克斯·斯蒂芬斯訪談錄[J].小學教學（數(shù)學版），2016（11）.

（作者系南京大學哲學系教授，博士生導(dǎo)師，本刊顧問）