◇江春蓮 鞏子坤 劉付茵

2013—2015年新加坡小學(xué)畢業(yè)離?？荚嚁?shù)學(xué)試卷分析

◇江春蓮 鞏子坤 劉付茵

近20年來(lái)，新加坡學(xué)生參加國(guó)際數(shù)學(xué)比較教育研究都取得了很好的成績(jī)，如在2016年公布的國(guó)際數(shù)學(xué)與科學(xué)趨勢(shì)研究（Trends in International MathematicsandScienceStudy，簡(jiǎn)寫(xiě)為T(mén)IMSS）和國(guó)際學(xué)生評(píng)估項(xiàng)目（Program for International Student Assessment，簡(jiǎn)寫(xiě)為PISA）中，新加坡均以絕對(duì)優(yōu)勢(shì)排在首位。本世紀(jì)初，以美國(guó)為代表的西方國(guó)家甚至直接引進(jìn)新加坡的數(shù)學(xué)教材。新加坡的教育體系最重要的特點(diǎn)是分層教育，從小學(xué)五年級(jí)起，學(xué)生就被分流，學(xué)習(xí)不同水平的課程，分層的依據(jù)是學(xué)生的學(xué)業(yè)成績(jī)。四年級(jí)結(jié)束時(shí)的分流考試只是讓那些學(xué)習(xí)一般水平課程比較吃力的學(xué)生學(xué)習(xí)更基礎(chǔ)水平的課程。小學(xué)畢業(yè)離?？荚嚕≒rimary School Leaving Examination，簡(jiǎn)寫(xiě)為 PSLE）則直接決定了學(xué)生就讀的中學(xué)、學(xué)習(xí)的課程水平和未來(lái)發(fā)展，所以競(jìng)爭(zhēng)比較激烈。江春蓮和許俊丹曾在2014年翻譯介紹過(guò)新加坡的PSLE試題，這次我們將對(duì)2013—2015年3年間PSLE數(shù)學(xué)試卷做更詳細(xì)的分析，并結(jié)合我國(guó)現(xiàn)今正在進(jìn)行的數(shù)學(xué)課程改革提出一些建議。

一、試卷結(jié)構(gòu)

新加坡2013—2015年的PSLE數(shù)學(xué)試卷結(jié)構(gòu)穩(wěn)定，都是由兩個(gè)測(cè)試組成，即測(cè)試一和測(cè)試二。測(cè)試一由15道選擇題和15道填空題組成，兩種題型都是前10道題每題1分，后5道題每題2分，總分40分，測(cè)試時(shí)間50分鐘。測(cè)試二由5道填空題和13道解答題組成，填空題每題2分，解答題每題3～5分不等，總分60分，測(cè)試時(shí)間100分鐘。

二、內(nèi)容分配

我們按照學(xué)習(xí)內(nèi)容領(lǐng)域?qū)⑺蓄}目分成了四類，即數(shù)與運(yùn)算、代數(shù)、幾何與測(cè)量、數(shù)據(jù)分析與概率，并將2013—2015年每年各類問(wèn)題所帶的分值加在一起（如表1）。不難發(fā)現(xiàn)，新加坡PSLE數(shù)學(xué)試題以數(shù)與運(yùn)算為主，其分值均占到了60%及以上；其次是幾何與測(cè)量，其分值約占30%；比較少的是代數(shù)（2%～4%）和數(shù)據(jù)分析與概率（3%）。自2001年以來(lái)，我國(guó)在新課程中增加了較多數(shù)據(jù)分析與概率的內(nèi)容，但新加坡沒(méi)有在這方面做更多的努力。

表1 新加坡PSLE數(shù)學(xué)試卷中各內(nèi)容領(lǐng)域問(wèn)題所帶的分值情況

三、試題特點(diǎn)

1.內(nèi)容涵蓋范圍廣。

新加坡PSLE數(shù)學(xué)試卷題目數(shù)量多，可以涵蓋的領(lǐng)域比較廣，從簡(jiǎn)單的數(shù)的計(jì)算（如2015年測(cè)試一第 16題：求 8020÷5的值）、數(shù)的比較（如2015年測(cè)試一第12題：將距離3.15 km 、、 3 km105 m按從短到長(zhǎng)的順序進(jìn)行排列）、分?jǐn)?shù)與小數(shù)的四則運(yùn)算（如 2014年測(cè)試一第 17題：求的值），到實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題（如 2015年測(cè)試二第9題：一場(chǎng)音樂(lè)會(huì)的門(mén)票，55%是按全價(jià)賣的，40%是按半價(jià)賣的，余下的20張是免費(fèi)送出去的。如果門(mén)票總共賣了7200元，問(wèn)門(mén)票的全價(jià)是多少）等都有。學(xué)生不僅需要掌握數(shù)學(xué)的基本概念，還需要熟悉各種不同情境下的應(yīng)用。

2.關(guān)注數(shù)學(xué)在實(shí)際生活中的應(yīng)用。

新加坡PSLE測(cè)試題中常常出現(xiàn)生活中的應(yīng)用問(wèn)題，如下面的階梯計(jì)價(jià)問(wèn)題。

（2015年測(cè)試一第27題）表2顯示的是一家清潔公司的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)：

表2

梅農(nóng)女士付了200元給清潔公司，問(wèn)：她付了多少小時(shí)的費(fèi)用？

3.問(wèn)題的復(fù)雜程度較高。

作為一種選拔性的考試，新加坡PSLE數(shù)學(xué)試卷的難度很大。關(guān)于數(shù)的問(wèn)題，常常圍繞較難的分?jǐn)?shù)、比和比例、效率等概念命制；關(guān)于幾何的問(wèn)題，則常常是幾個(gè)不同圖形的組合，難度自然較大。下面我們以2個(gè)涉及數(shù)的問(wèn)題和2個(gè)幾何問(wèn)題說(shuō)明其復(fù)雜程度。

數(shù)的問(wèn)題1：（2015年測(cè)試二第16題）佩怡和家妹買了一些植物，植物的價(jià)格如圖1所示。

圖1

（1）佩怡買了同樣盆數(shù)的大盆栽和小盆栽，但她花在大盆栽上的錢(qián)比花在小盆栽上的多175元，問(wèn)：她一共買了多少個(gè)盆栽？

（2）家妹花在大盆栽和小盆栽上的錢(qián)一樣多，問(wèn)：她買的植物中的幾分之幾是大盆栽？

簡(jiǎn)答：（1）大盆栽 6個(gè) 45元，小盆栽6個(gè) 20元，相差25元，175元的價(jià)格差是25元的7倍，所以佩怡一共買了（6+6）×7=84（個(gè)）盆栽。

（2）30元可以買4個(gè)大盆栽或9個(gè)小盆栽，所以家妹買的植物中大盆栽占。

數(shù)的問(wèn)題2：（2014年測(cè)試二第13題）林先生有長(zhǎng)、短尺子共540個(gè)。當(dāng)他賣掉相同數(shù)目的兩種尺子后，長(zhǎng)尺子剩下，短尺子剩下，問(wèn)：他一共剩下多少個(gè)尺子？

幾何問(wèn)題2：（2015年測(cè)試二第11題）如圖3，在一個(gè)長(zhǎng)28m的長(zhǎng)方形花園里，有一條寬2m的步道。步道由以W為圓心的四分之一圓環(huán)、以Z為圓心的半圓環(huán)和直線段組成，WX=YZ。子，所以還剩540－200×2=140（個(gè)）尺子。

幾何問(wèn)題1：（2015年測(cè)試二第6題）如圖2，四邊形CDEF是一個(gè)平行四邊形，A、F、C在一條直線上，B、F、E在一條直線上，且BA=BC，∠ABF= 30°，∠DEF=54°。

（1）求∠EFC；

（2）求∠FBC。

圖3

（1）求長(zhǎng)方形花園的寬；

（2）求步道的面積。（π取3.14）

四、啟示

在《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡(jiǎn)稱《課標(biāo)（2011）》）中，特別強(qiáng)調(diào)要培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感、符號(hào)意識(shí)、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運(yùn)算能力、推理能力和模型思想。如何檢測(cè)呢？新加坡PSLE試題提供了一些參考。

1.對(duì)數(shù)感的考查。

《課標(biāo)（2011）》把數(shù)感定義為關(guān)于數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關(guān)系、運(yùn)算結(jié)果估計(jì)等方面的感悟。建立數(shù)感有助于學(xué)生理解現(xiàn)實(shí)生活中數(shù)的意義，理解或表述具體情境中的數(shù)量關(guān)系。良好的數(shù)感可以體現(xiàn)在很多方面，如能大致估計(jì)一段路線的長(zhǎng)度、一個(gè)物體的質(zhì)量、一個(gè)平面圖形的面積等。新加坡PSLE試題在這方面有很好的嘗試。

（2015年測(cè)試一第6題）8個(gè)1元新加坡硬幣的總質(zhì)量大約是多少？

①6克 ②60克 ③600克 ④6000克

（2015年測(cè)試一第10和11題）請(qǐng)根據(jù)如下的信息回答問(wèn)題（1）和問(wèn)題（2）。

圖4

（1）哪個(gè)分?jǐn)?shù)是雞肉三明治的？

（2）哪個(gè)分?jǐn)?shù)是雞蛋三明治的？

2.對(duì)符號(hào)意識(shí)的考查。

由前面對(duì)PSLE試題內(nèi)容的分析可以看出，在新加坡的小學(xué)數(shù)學(xué)課程中，代數(shù)的內(nèi)容較少，所以對(duì)符號(hào)意識(shí)的考查僅限于用字母表示數(shù)量關(guān)系和給定字母的值后求某個(gè)含該字母的表達(dá)式的值。

（2015年測(cè)試一第4題）已知g=6，求9g－4+2g的值。

3.對(duì)空間觀念的考查。

《課標(biāo)（2011）》認(rèn)為：空間觀念主要是指根據(jù)物體特征抽象出幾何圖形，根據(jù)幾何圖形想象出所描述的實(shí)際物體；想象出物體的方位和相互之間的位置關(guān)系；描述圖形的運(yùn)動(dòng)和變化；依據(jù)語(yǔ)言的描述畫(huà)出圖形等。新加坡PSLE數(shù)學(xué)測(cè)試題，比較關(guān)注二維平面上的東南西北方位。

（2015年測(cè)試一第9題）如圖5所示，圖中表示出了一個(gè)旗桿在場(chǎng)地ABCD中的位置。問(wèn)：該場(chǎng)地的哪個(gè)角落在旗桿的東南方向？

①A ②B ③C ④D

圖5

4.對(duì)幾何直觀的考查。

《課標(biāo)（2011）》認(rèn)為：幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問(wèn)題。借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題變得簡(jiǎn)明、形象，有助于探索解決問(wèn)題的思路，預(yù)測(cè)結(jié)果。我們認(rèn)為幾何直觀主要指能根據(jù)所作的較準(zhǔn)確的幾何圖形判斷圖形的特殊性質(zhì)，如判斷兩直線之間的平行、垂直關(guān)系，或判斷角的相對(duì)大小等。下面給出新加坡PSLE試題中的三個(gè)例子。

（2015年測(cè)試一第2題）圖6中標(biāo)出了6個(gè)角，其中有多少個(gè)比直角大？

圖6

（2015年測(cè)試一第20題）如圖7，在一個(gè)方格圖中顯示了地圖上的五條線路。

（1）說(shuō)說(shuō)哪兩條線路互相平行。

（2）說(shuō)說(shuō)哪兩條線路互相垂直。

圖7

（2014年測(cè)試一第20題）圖8由一些完全一樣的三角形組成，其中四個(gè)被涂上了陰影。請(qǐng)?jiān)賹蓚€(gè)三角形涂上陰影，使得直線XY成為該圖形的對(duì)稱軸。

圖8

5.對(duì)數(shù)據(jù)分析觀念的考查。

盡管數(shù)據(jù)分析與概率在新加坡小學(xué)數(shù)學(xué)課程中所占比重不大，但每一年的PSLE數(shù)學(xué)試卷都有一道大題是與統(tǒng)計(jì)相關(guān)的，而且是以統(tǒng)計(jì)圖呈現(xiàn)數(shù)據(jù)的，學(xué)生需要仔細(xì)觀察統(tǒng)計(jì)圖，理解統(tǒng)計(jì)圖中的數(shù)量關(guān)系。

（2014年測(cè)試二第6題）下面的條形圖（如圖9）表示一家商店賣出的四種文件夾的數(shù)量，表3給出了這些文件夾的單價(jià)。

（1）壓夾文件夾的數(shù)量占賣出的文件夾總數(shù)量的幾分之幾？寫(xiě)成最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)形式；

（2）在已售出的這四種文件夾中，哪種文件夾賣得的錢(qián)數(shù)最多？最多是多少？

圖9

表3

6.對(duì)運(yùn)算能力的考查。

運(yùn)算能力的培養(yǎng)是小學(xué)數(shù)學(xué)課程的核心，學(xué)生不僅要學(xué)習(xí)整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)的四則運(yùn)算，還需要計(jì)算速度、靈活性等，因?yàn)檫@些是解決幾乎所有數(shù)學(xué)問(wèn)題都需要的能力。縱觀PSLE數(shù)學(xué)試卷，我們發(fā)覺(jué)新加坡對(duì)學(xué)生運(yùn)算能力的要求不高，在回答測(cè)試二試題的時(shí)候還可以使用計(jì)算器。

7.對(duì)推理能力的考查。

新加坡PSLE數(shù)學(xué)測(cè)試對(duì)數(shù)學(xué)推理能力的要求比較高，很多時(shí)候需要進(jìn)行轉(zhuǎn)換，如下面一個(gè)關(guān)于錢(qián)的問(wèn)題。

（2015年測(cè)試二第17題）三個(gè)女孩艾米、貝絲和辛迪有一樣多數(shù)目的硬幣。艾米和貝絲既有50分的，也有10分的，艾米有9個(gè)10分的，貝絲有15個(gè)10分的，辛迪只有50分的。

（1）在這三個(gè)女孩中，誰(shuí)的錢(qián)數(shù)最多？誰(shuí)的最少？

（2）艾米和貝絲的總錢(qián)數(shù)相差多少？

（3）貝絲用她所有的50分硬幣買了一些食物后，她就比辛迪少10元錢(qián)，問(wèn)：辛迪有多少個(gè)50分硬幣？

分析：我們可以將三個(gè)女孩的硬幣數(shù)目及錢(qián)數(shù)列成表4[設(shè)每個(gè)女孩的硬幣總數(shù)目都是（24+n）]。

表4

由表4不難發(fā)現(xiàn)，在硬幣總數(shù)目一樣的情況下，擁有50分硬幣越多的女孩，其錢(qián)數(shù)越多，所以辛迪的錢(qián)數(shù)最多，貝絲的錢(qián)數(shù)最少。艾米擁有的10分硬幣比貝絲少6個(gè)，則她擁有的50分硬幣就應(yīng)該比貝絲多6個(gè)，所以艾米比貝絲多50×6－10×6=240（分）。同理，貝絲比辛迪少 50×15－10×15=600（分）=6（元）。當(dāng)貝絲花完全部的50分硬幣后，她就比辛迪少10元，也就是說(shuō)，貝絲的50分硬幣只有4元錢(qián)，即貝絲只有8個(gè)50分硬幣，所以n=－1，所以辛迪有23個(gè)50分硬幣。

8.對(duì)模型思想的考查。

近年來(lái)，模型思想得到數(shù)學(xué)教育界的充分重視，各國(guó)也紛紛在數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中加進(jìn)數(shù)學(xué)建模的內(nèi)容，新加坡是在2012年的新課程中明確加入數(shù)學(xué)建模的內(nèi)容的。因?yàn)榉匠獭⒉坏仁?、函?shù)等不是新加坡小學(xué)數(shù)學(xué)課程的內(nèi)容，所以新加坡PSLE數(shù)學(xué)試卷主要通過(guò)一類找規(guī)律的問(wèn)題考查學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力，如下面的一個(gè)圖形變化規(guī)律的題目。

（2015年測(cè)試一第30題）孟云想要用棱長(zhǎng)為1cm的小方塊搭建臺(tái)階，圖10顯示了他已搭建的臺(tái)階，分別有2cm、3cm和4cm高。如果孟云一直這樣搭下去，當(dāng)用了140個(gè)方塊時(shí)，他搭的臺(tái)階有多高？

圖10

對(duì)新加坡學(xué)生來(lái)說(shuō)，要解決這樣的問(wèn)題，不需要建立任何代數(shù)式和方程，而只需列出表格，觀察其中方塊數(shù)的變化規(guī)律。

從上面的問(wèn)題可以看出，新加坡PSLE試題不僅有很豐富的背景情境，而且很強(qiáng)調(diào)解題策略。PSLE試題中有些問(wèn)題的背景和PISA的很像，這也是新加坡在近20年來(lái)致力于提高學(xué)生數(shù)學(xué)問(wèn)題解決能力和數(shù)學(xué)建模能力的一個(gè)體現(xiàn)。在新加坡的小學(xué)和初中的教學(xué)大綱上均列出了約12條可以引導(dǎo)學(xué)生思考問(wèn)題的解題策略。江春蓮的博士論文研究發(fā)現(xiàn)，盡管新加坡學(xué)生在其設(shè)計(jì)的速度問(wèn)題測(cè)試中的表現(xiàn)不及中國(guó)學(xué)生，但新加坡學(xué)生多種解題方法的成功使用使得新加坡學(xué)生在個(gè)別問(wèn)題上的表現(xiàn)優(yōu)于中國(guó)學(xué)生，而這些解決問(wèn)題的策略可以很好地幫助那些在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上有困難的學(xué)生更好地理解問(wèn)題，進(jìn)而找到問(wèn)題的解答方法。

我國(guó)基礎(chǔ)教育數(shù)學(xué)課程改革中，課程標(biāo)準(zhǔn)、教材進(jìn)行了較大的改革，一線教學(xué)也發(fā)生了很好的變化，但是，評(píng)價(jià)改革嚴(yán)重滯后：是否進(jìn)行學(xué)業(yè)水平測(cè)試，如何進(jìn)行選拔性測(cè)試，選拔性測(cè)試如何命題，如何在保證教育公平性的前提下促進(jìn)優(yōu)秀學(xué)生的發(fā)展，等等，這些問(wèn)題，值得我們好好思考。新加坡的PSLE數(shù)學(xué)測(cè)試，也許會(huì)給我們提供一些有益的借鑒。

［1］Mullis I.V.S.，Martin M.O.，F(xiàn)oy P.&Hooper M..TIMSS 2015 International Results in Mathematics［DB/OL］.http∶//timssandpirls.bc.edu/timss2015/international-results/.

［2］OECD.PISA 2015 results（Volume1）:Excellence and Equity in Education，PISA，OECD Publishing，Paris［DB/OL］.http∶//dx.doi.org/10.1787/9789264266490-en.

［3］江春蓮，許俊丹.新加坡小學(xué)畢業(yè)考試數(shù)學(xué)試卷［J］.小學(xué)教學(xué)（數(shù)學(xué)版），2014（2）.

［4］江春蓮.數(shù)學(xué)問(wèn)題解決——中新兩國(guó)學(xué)生解決速度文字題的策略和錯(cuò)誤［M］.北京：科學(xué)出版社，2016.

（作者單位：澳門(mén)大學(xué)教育學(xué)院，杭州師范大學(xué)理學(xué)院，澳門(mén)大學(xué)教育學(xué)院）