□陳國偉 余 兵

（長興縣金陵高級中學，浙江長興 313100）

數(shù)學變式教學在思維啟發(fā)處“變”出真風采

□陳國偉 余 兵

（長興縣金陵高級中學，浙江長興 313100）

作為一名合格的數(shù)學教師，要能夠有智慧讓學生“知其然且知其所以然”.在數(shù)學學習中，我們發(fā)現(xiàn)真理的主要工具是歸納和模擬.變在思維啟發(fā)處的變式訓練圍繞教學目標而設定，不斷引發(fā)學生自己去實踐、去發(fā)現(xiàn)，這比教師的反復強調與演示要強上千倍.

變式訓練；思維能力；啟發(fā)

問題是數(shù)學的心臟，數(shù)學教學離不開問題和解答，隨著大家對數(shù)學問題和解答研究的日益深入，數(shù)學變式教學作為一種行之有效的教學方式深受廣大教師所喜愛.變式教學的核心是一個“變”字，教學過程中可以“變”問題的條件和結論，也可以“變”問題的形式和背景，還可以“變”問題的解決方法.但無論怎么“變”，其問題的本質屬性不僅不會發(fā)生改變，還能讓問題的本質更加清晰、全面地展現(xiàn)在學生的面前.然而，教學過程中我們不難發(fā)現(xiàn)，很多教師運用的變式訓練僅僅是簡單地用“講一練三”來重復操練同一個問題，或是用“類似題組”來機械復制同一種解題方法.這些變式訓練在教學過程中確實能立竿見影地起到熟練解題的效果.但筆者認為，通過對同一問題的不斷操練而達到熟練解題，并不是變式教學的主要目的，我們的教學應以“變”字入手，合理運用變式培養(yǎng)學生的“應變”及“善變”能力，在學生的思維啟發(fā)處靈活設“變”，讓我們的數(shù)學教學“變”出真正的風采，本文就變式教學的幾種不同策略簡要介紹，以期拋磚引玉.

一、變在問題特殊處 培養(yǎng)學生的系統(tǒng)思維能力

數(shù)學是一種系統(tǒng)的整體的思維體系，數(shù)學教學尤其要注重數(shù)學問題的系統(tǒng)性和整體性，當學生碰到一些較為特殊的問題時，不妨引導學生想一想此類問題是否具有共性，我們能否得出進一步的推廣.

例 1已知函數(shù)當時，則滿足的所有x的值的和為_____.

本題考查三角函數(shù)的恒等變形及求值等問題，難度不大，但考慮到題中所給條件顯然是特殊值，很多學生會通過特殊角直接運算出所有的值然后再進行求和，如果教學中點到為止，我們就忽略了該題中運用數(shù)形結合及函數(shù)的對稱性解決問題的數(shù)學本質，不妨進行如下變式：

變式1滿足的所有x的值的和為____________.

變式2滿足的所有x的值的和為_____________.

變式3滿足的所有x的值的和為___________ _ .

如此將問題從特殊角轉化到非特殊角，將學生的思路從“蠻橫求解”引入運用對稱性的“巧妙解法”，減少運算量，突出數(shù)形結合的解題宗旨，如此以學生的認知過程為主線，將知識的探索發(fā)現(xiàn)過程進行必要的剪輯和改編，將問題的本質以知識鏈的方式展現(xiàn)，以達到培養(yǎng)學生系統(tǒng)思維能力的目的．

二、變在問題難點處 培養(yǎng)學生的辯證思維能力

數(shù)學問題難點的成因是多樣的，一方面它受制于學生原有的認知體系及經(jīng)驗水平，另一方面則源于教師的教學理念和解法指導.為此教師要善于在問題的難點處設“變”，通過位于難點處的變式訓練，讓學生體會問題難點的突破過程，引發(fā)學生掌握對問題解決的一般方法，讓學生自然而然地形成知識方法的遷移，這是變式教學培養(yǎng)學生辯證思維的重要手段.

例2（2016年高考浙江卷）如圖，設橢圓

（1）求直線y=kx+1被橢圓截得的線段長（用a,k表示）；

（2）若任意以點A(0 ,1)為圓心的圓與橢圓至多有3個公共點，求橢圓離心率的取值范圍.

本題形式簡潔而獨具匠心，較好地考查了學生運用數(shù)學知識分析和解決問題的能力．然而很多學生卻覺得無從下手，究其原因還在于題設中的條件“至多有3個公共點”給他們帶來太多的困擾.事實上此類問題在圓錐曲線中較為常見，教學過程中可利用變式訓練在類似背景處展現(xiàn)其問題本質，使學生在把握雙基的基礎上掌握常見的解題手段，更加深刻地理解問題本質并解決問題.

變式1若圓上有且只有兩個點到直線4x-3y=17的距離等于1，則半徑r的范圍是（ ）

A.(0 ,2 )B.(1 ,2 )C.(1 ,3) D.(2 ,3)

變式2已知直線l:2x+y-2=0與橢圓交1于A，B兩點，點P是橢圓上異于A,B的動點，則滿足三角形PAB的面積為的點P的個數(shù)為（）

A.1個 B.2個 C.3個 D.4個

三、變在概念鏈接處 培養(yǎng)學生的類比思維能力

在作業(yè)或考試中我們經(jīng)常會發(fā)現(xiàn)學生面對一些問題時無從下手，更有甚者“不知問題所謂”，這是由于學生的問題概念認知具有一定的局限性，當問題提出的概念高于學生的一般認知水平或模糊狀態(tài)時，學生就會感到不自然甚至無法接受.為此，教師應在問題的概念處設變，或縱向挖掘內涵、或橫向拓展外延、或近鄰比較剖析，運用變式訓練引導學生體會理解問題的核心概念，培養(yǎng)分析歸納和類比思維能力.

例3已知函數(shù)f()x=函數(shù)，若存在，使得成立，則實數(shù)a的取值范圍是______.

存在性和任意性是函數(shù)問題的一對孿生兄弟，教學切不可在單邊問題上解析，而是應該對照比較，讓學生通過其變式訓練深刻體會兩者之間的差異.

變式1若存在，使得g(x2)成立，則實數(shù)a的取值范圍是______.

變式2若對任意的x1,x2∈[0 ,1]，都有f(x1)＜g(x2)成立，則實數(shù)a的取值范圍是______.

變式3若對任意的x1∈[0 ,1]，存在x2∈[0 ,1]使得f(x1)＜g(x2)成立，則實數(shù)a的取值范圍是______.

變式4若存在x1∈[0 ,1]，對任意的x2∈[0 ,1]都有f(x1)＜g(x2)成立，則實數(shù)a的取值范圍是______.

四、變在方法本質處 培養(yǎng)學生的形象思維能力

數(shù)學形象思維是指用直觀形象和表象解決數(shù)學問題的邏輯思維，它對學生分析并解決問題具有重要的作用.教學中對于一些方法較為特殊、題型較為類似的問題，運用變式訓練把這些形象類似的問題串聯(lián)在一起，對于學生把握解題技巧，掌握思想方法往往能起到立竿見影的效果，并通過形象思維的培養(yǎng)進一步地理解此類問題的本質.

例4（2015年高考全國卷Ⅰ）Sn為數(shù)列{an}的前n項和.已知an＞0，an2+2an=4Sn+3.（1）求{}

an的通項公式；（2）設求數(shù)列{bn}的前n項和.

裂項相消是數(shù)列求和的一種典型技巧性的解題方法，教學中我們不僅要能讓學生掌握其方法步驟，還要能讓學生理解其問題本身所帶有的“屬性”及裂項相消方法的本質思維，為此我們不僅要在類似問題形式上下功夫，還要在揭示其本質上建立變式訓練，類似于或an=顯然并不是我們的教學重點，我們的變式應該從其本質入手除了運用上述例子的變式達到熟練掌握方法的同時，還應該對“裂項相消”的本質進行變式，如本例第（2）題中條件變?yōu)椤?，n≥2時，bn=( )-1n-1”求數(shù)列{bn}的前n項和.如此，將裂項相消應用于連續(xù)兩項和的相消方法，突出“如何才能相消”的數(shù)學解題策略，培養(yǎng)并提高學生形象思維能力.

五、變在方法推廣處 培養(yǎng)學生的發(fā)散思維能力

舉一反三、觸類旁通是數(shù)學教學孜孜以求的目標，如何才能讓學生懂一題而通一類，這就需要教師在教學設計上下功夫，運用變式題組將不同背景下的問題混編，讓學生的思維自然形成發(fā)散，體會“多題一解”的奧妙.

此題通過數(shù)形結合及雙曲線的定義轉化實現(xiàn)最值的求解，教學中加以延伸推廣，將問題發(fā)散至橢圓、拋物線等問題，可設置如下變式：

變式1已知點P為拋物線y2=4x上任一點，點F為其焦點，點M的坐標為(2 ,2)，則|PM|+ |PF|的最小值為______.

變式2已知點P為拋物線y2=2x上任一點，點P在y軸上的正投影為點A，點M|PM|+ |PA|的最小值為______.

變式3已知直線l1:4x-3y+11=0和直線l2:x=-1，拋物線y2=4x上一動點P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值為______.

變式4設F1,F2分別是橢圓則 1的左、右焦點，P為橢圓上任一點，點M的坐標為( )6,4，則 ||PM+ ||PF1的最大值為______.

變式5設F1,F2分別是橢圓的左、右焦點，P為橢圓上任意一點，點M的坐標為(2 ,1)，則| PM|+ |PF1|的最大值為______.

六、變在問題創(chuàng)新處 培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維能力

數(shù)學是思維的體操，是培養(yǎng)人類理性思維的重要載體，創(chuàng)新思維能力則是各種思維能力的核心，數(shù)學教學則是培養(yǎng)與開發(fā)學生創(chuàng)新思維的主陣地.其中一題多解或改變拓展問題背景是培養(yǎng)學生創(chuàng)新思維的主要手段.例如我們在利用平面向量基本定理擴展到平面向量的正交分解時，不妨將直角坐標系變式為60°或135°的“斜坐標系”等問題，在平面向量的基本運算法則不變的情況下，讓學生充分理解“平面向量基本定理”的意義，并將之推廣衍生，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維.又如我們在運用正余弦定理解決三角形問題時，不妨引入坐標法或向量法，讓學生在體會數(shù)形結合的魅力的同時拓展解題策略，體會解析幾何和向量作為“數(shù)”與“形”的橋梁的作用.

畢達哥拉斯曾經(jīng)說過：“在數(shù)學的天地里，重要的不是我們知道什么，而是我們怎么知道什么.”作為一名合格的數(shù)學教師，要能夠讓學生“知其然且知其所以然”，正如拉普拉斯所說：“在數(shù)學中，我們發(fā)現(xiàn)真理的主要工具是歸納和模擬.”變在思維啟發(fā)處的變式訓練圍繞教學目標而設定，不斷引發(fā)學生自己去實踐，去發(fā)現(xiàn)，這比教師的反復強調與演示要強上千倍.