丁釗鵬，劉立新

（1.對(duì)外經(jīng)貿(mào)大學(xué)金融學(xué)院，北京100029；2.北京聯(lián)合大學(xué)，北京100101）

融資約束下CPPI策略風(fēng)險(xiǎn)分析

丁釗鵬1,2，劉立新1

（1.對(duì)外經(jīng)貿(mào)大學(xué)金融學(xué)院，北京100029；2.北京聯(lián)合大學(xué)，北京100101）

在融資約束之下，通過(guò)定義三種資產(chǎn)狀態(tài)，文章計(jì)算出投資組合價(jià)值在三者之間的轉(zhuǎn)移概率矩陣，并推演出各概率值與風(fēng)險(xiǎn)乘數(shù)、資產(chǎn)波動(dòng)率、期望收益率、無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率和投資者風(fēng)險(xiǎn)偏好諸要素之間的增減關(guān)系。以滬深300指數(shù)作為風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，在四類(lèi)典型波動(dòng)的市場(chǎng)，推算出融資約束下不同調(diào)整周期與風(fēng)險(xiǎn)乘數(shù)對(duì)應(yīng)的期末組合價(jià)值以及各狀態(tài)的期初期末轉(zhuǎn)移概率，并闡述了市場(chǎng)狀況與投資組合保險(xiǎn)策略的選擇關(guān)系以及風(fēng)險(xiǎn)頭寸與組合保險(xiǎn)失敗的聯(lián)系。

投資組合保險(xiǎn)；風(fēng)險(xiǎn)乘數(shù)；融資約束；轉(zhuǎn)移概率

0 引言

投資組合保險(xiǎn)策略，即投資機(jī)構(gòu)在保障資金安全的前提下，在各資產(chǎn)類(lèi)別之間動(dòng)態(tài)線性配置投資資金比重，以期獲得較高的市場(chǎng)收益率。

對(duì)于投資組合策略，一個(gè)基本的前提假設(shè)是：可用資金量不存在任何限制。但在CPPI策略中，倘若風(fēng)險(xiǎn)乘數(shù)過(guò)大，隨著市場(chǎng)的變化，一定時(shí)期，風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)投資額度理論上可能會(huì)高于當(dāng)期投資組合價(jià)值總額，因此，當(dāng)期資產(chǎn)不但悉數(shù)應(yīng)投向風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，尚且需要借助外部融資杠桿投向風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)。然而對(duì)于很多基金來(lái)說(shuō)，融資約束通常存在，甚至不允許外部杠桿借貸，況且，即使不存在融資約束，過(guò)高的杠桿融資成本也將使多數(shù)投資者望而卻步。本文擬在融資約束之下，通過(guò)定義三種資產(chǎn)狀態(tài)，利用轉(zhuǎn)移概率矩陣，推演出各概率值與風(fēng)險(xiǎn)乘數(shù)、資產(chǎn)波動(dòng)率、期望收益率、無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率和投資者風(fēng)險(xiǎn)偏好諸要素之間的增減關(guān)系，在融資約束下，以滬深2011—2014年四個(gè)有代表性的風(fēng)險(xiǎn)市場(chǎng)推算出不同調(diào)整周期與風(fēng)險(xiǎn)乘數(shù)所對(duì)應(yīng)的期末組合價(jià)值以及各狀態(tài)的期初期末轉(zhuǎn)移概率，并闡述了市場(chǎng)狀況、風(fēng)險(xiǎn)頭寸與組合保險(xiǎn)策略選擇之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)。

1 融資約束下的條件轉(zhuǎn)移概率

策略的基本理論公式和符號(hào)：

Vt:t時(shí)刻投資組合價(jià)值；

Ct:t時(shí)刻緩沖值；

Ft:t時(shí)刻要保額度；

Et:t時(shí)刻風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)投資價(jià)值；

St:t時(shí)刻風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)市場(chǎng)價(jià)格；

Dt:t時(shí)刻無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)市場(chǎng)價(jià)格；

G:投資者要求的期末要保額度價(jià)值；

m:風(fēng)險(xiǎn)乘數(shù)；

r:即期無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率。

按照CPPI策略，投資者根據(jù)風(fēng)險(xiǎn)偏好在期初設(shè)定風(fēng)險(xiǎn)乘數(shù)m以及t時(shí)刻所需要保額度Ft，風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)投資額度為風(fēng)險(xiǎn)乘數(shù)乘以緩沖值Ct=Vt-Ft，余下份額投向無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)。隨著市場(chǎng)上風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價(jià)格的變動(dòng)以及投資保險(xiǎn)期限逐步收縮，風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)與無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)二者之間的投資權(quán)重需要投資者動(dòng)態(tài)調(diào)配。此處的風(fēng)險(xiǎn)乘數(shù)（m＞1）對(duì)應(yīng)于投資者的金融杠桿，越高的風(fēng)險(xiǎn)乘數(shù)，代表投資者越風(fēng)險(xiǎn)偏好，投資者在風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)升值中具有更誘人的杠桿收益；反之，一旦風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)下跌，則投資組合價(jià)值損失成倍放大，在來(lái)不及重配資產(chǎn)并止損的情況下，投資組合將無(wú)從保險(xiǎn)。

定理1：按照Black-Scholes的假設(shè)，且無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)收益率、風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)漂移率及波動(dòng)率和都是固定值，可得投資組合價(jià)值將滿足：

倘若存在融資約束，即投資者投資于風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的頭寸受到外部融資的限制，那么風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)頭寸將定義為：

其中，a表示當(dāng)期組合價(jià)值用于風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)頭寸的上限比率，它刻畫(huà)了投資者的風(fēng)險(xiǎn)偏好程度。則可以得到，在任意投資組合調(diào)整周期Δt=ti-ti-1內(nèi)，總是存在三種不同的投資組合價(jià)值狀態(tài)：

定理2：從ti-1至ti這段時(shí)間區(qū)間，投資組合價(jià)值三種狀態(tài)之間存在一定的轉(zhuǎn)移概率，且令條件轉(zhuǎn)移概率矩陣為：

其中：

推論1：條件轉(zhuǎn)移概率矩陣：

d5皆依賴(lài)于該時(shí)間區(qū)間內(nèi)期初要保額度與投資組合價(jià)值

且由上面分析可知：d4＞d1＞d3＞d5，因此

上面的不等式表明：當(dāng)前一期投資組合價(jià)值超過(guò)要保額度時(shí)，下一期超過(guò)投資上限限額（轉(zhuǎn)移至狀態(tài)1）的概率必將大于不能保底的概率（轉(zhuǎn)移至狀態(tài)3），亦即，無(wú)論取什么樣的參數(shù)，當(dāng)期保險(xiǎn)失敗的條件概率永遠(yuǎn)不可能超過(guò)50%。

由d1、d3、d4、d5各自的定義，將之關(guān)于m、σ、μ、諸因素進(jìn)行相應(yīng)的敏感度分析，可以得到相互之間的增減關(guān)系如表1所示：

表1 各因素對(duì)d1、d3、d4、d5的影響

結(jié)合條件轉(zhuǎn)移概率的定義，可以得到各概率值與相應(yīng)要素之間的關(guān)系如下頁(yè)表2所示。

表2 各因素對(duì)轉(zhuǎn)移概率的影響

推論2：從表2可以看出：隨著風(fēng)險(xiǎn)乘數(shù)m的增大，狀態(tài)1與狀態(tài)2能夠保持或上升到狀態(tài)1的概率減少，雖然狀態(tài)1跌至狀態(tài)3的概率未變，但是狀態(tài)2跌至狀態(tài)3的概率卻上升了，因此，風(fēng)險(xiǎn)乘數(shù)若增加，缺口風(fēng)險(xiǎn)將會(huì)上升。

隨著風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)波動(dòng)率σ的增大，狀態(tài)1與狀態(tài)2保持之前狀態(tài)的概率均減少，但是轉(zhuǎn)移至狀態(tài)1與狀態(tài)3的概率均有所增加，因此波動(dòng)率使得未來(lái)的走向變得更加的不確定：或者更好，或者更壞。這并非單由波動(dòng)率可以決定，總體上說(shuō)，波動(dòng)率若增加，缺口風(fēng)險(xiǎn)會(huì)上升。

隨著風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)漂移率μ的增加，與波動(dòng)率σ的作用恰好相反，它會(huì)使得投資組合價(jià)值向狀態(tài)2集中，轉(zhuǎn)移向狀態(tài)1與狀態(tài)3的概率皆會(huì)縮小，從而價(jià)值狀態(tài)越趨穩(wěn)定，漂移率若增加，缺口風(fēng)險(xiǎn)會(huì)減少。

隨著無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)收益率r的增加，與風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)漂移率μ的作用恰好相反，它會(huì)使得投資組合價(jià)值以更大的概率向狀態(tài)1與狀態(tài)3轉(zhuǎn)移，而狀態(tài)2的概率減少。原因在于，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率是要保額度的增長(zhǎng)率，也是風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的機(jī)會(huì)成本，所以無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率若增加，缺口風(fēng)險(xiǎn)會(huì)增加。

隨著融資約束比率a的增加（限制減弱），則向上的收益空間更大，亦即向狀態(tài)1轉(zhuǎn)移的概率增大，從而降低了投資組合價(jià)值在狀態(tài)2中的概率，但是由于杠桿交易的作用同時(shí)也放大了從狀態(tài)1陡然下降到狀態(tài)3的概率，因此，融資約束比率若增加，缺口風(fēng)險(xiǎn)會(huì)上升。

a，故效果與之相似，投資更激進(jìn)，缺口風(fēng)險(xiǎn)也會(huì)更大。

推論3：令ti時(shí)刻的非條件狀態(tài)概率分別如下：

由上面的分析可知，該狀態(tài)概率是路徑依賴(lài)的

2 融資約束下CPPI策略實(shí)證分析

風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)采用滬深300指數(shù)，圖1為該指數(shù)2011—2014年的走勢(shì)。

圖1 滬深300質(zhì)素2011—2014年走勢(shì)圖

2011 年，滬深市場(chǎng)處于跌勢(shì)，日最大跌幅達(dá)到3.87%；2012年，滬深市場(chǎng)震蕩中收漲，日最大跌幅達(dá)到2.88%；2013年，滬深市場(chǎng)震蕩中收跌，日最大跌幅達(dá)到6.52%；2014年，滬深市場(chǎng)處于漲勢(shì)，日最大跌幅達(dá)到4.59%。選取這四年作為實(shí)證的原因，即在于這四年的滬深市場(chǎng)囊括了具有代表性的四類(lèi)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)波動(dòng)類(lèi)別。以一年作為組合投資期限，進(jìn)行不同市場(chǎng)的比較實(shí)證，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率則參考一年期國(guó)債收益率。

期初，假定組合價(jià)值為100，并以期初組合價(jià)值的90%作為期末的要保額度，亦即G=90。滬深股票交易是按成交金額的千分之三收取傭金，并按成交金額的千分之一收取印花稅，實(shí)證中假定風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)換手金額的千分之四作為總交易費(fèi)。

在不可融資限制下（a=1），以0.025為間隔選擇風(fēng)險(xiǎn)乘數(shù)m∈(1，10]，選擇組合調(diào)整周期△t=1，5，10，20，30，40（分別對(duì)應(yīng)日、周、兩周、四周、六周、八周），可以得到2160種組合。

可以計(jì)算出不可融資限制下不同調(diào)整周期與風(fēng)險(xiǎn)乘數(shù)對(duì)應(yīng)的期末組合價(jià)值，如圖2所示：

圖2 不可融資條件下期末組合價(jià)值

從最低期末組合價(jià)值比較可見(jiàn)，在市場(chǎng)下跌或震蕩收跌之時(shí)，不可融資的限制并未保證投資組合保險(xiǎn)的成功。

根據(jù)圖2，可以得到不可融資限制下最優(yōu)的風(fēng)險(xiǎn)乘數(shù)和調(diào)整周期，如表3所示：

表3 不可融資限制下最優(yōu)的固定風(fēng)險(xiǎn)乘數(shù)和調(diào)整周期

若存在外部融資約束，在下跌或震蕩收跌的市場(chǎng)，最好避免投資風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)；而對(duì)于上漲或震蕩收漲的市場(chǎng)，最優(yōu)策略卻是選擇較高的風(fēng)險(xiǎn)乘數(shù)和較長(zhǎng)的調(diào)整周期。較高的風(fēng)險(xiǎn)乘數(shù)可以通過(guò)較大的權(quán)重投資于風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)從而獲得較多的風(fēng)險(xiǎn)收益率，而較長(zhǎng)的調(diào)整周期則可以最大程度上避免因頻繁換手對(duì)應(yīng)的波動(dòng)回調(diào)和交易費(fèi)用對(duì)于收益的吞噬。

同時(shí)，在不可融資限制下，以0.025為間隔選擇風(fēng)險(xiǎn)乘數(shù)m∈(1，10]，選擇△t=1，5，10，20，30，40，可以得到2160種組合，按之前的定義，組合價(jià)值的三種狀態(tài)依次為：狀態(tài)1、狀態(tài)2、狀態(tài)3，從而計(jì)算得到各狀態(tài)的初始概率與轉(zhuǎn)移概率如表4所示：

表4 初始概率與轉(zhuǎn)移概率的計(jì)算結(jié)果（單位：%）

由表4可知：在下跌的市場(chǎng)（2011年）或震蕩收跌的市場(chǎng)（2013年），轉(zhuǎn)移概率相似，如果初始組合價(jià)值處于狀態(tài)1，期末將有一半的概率跌到狀態(tài)2，另一半概率跌到狀態(tài)3（保險(xiǎn)失敗），如果初始組合價(jià)值處于狀態(tài)2，則期末基本會(huì)維持在狀態(tài)2；在震蕩收漲的市場(chǎng)（2012年），如果初始組合價(jià)值處于狀態(tài)1，將有約1/3的概率期末維持狀態(tài)1剩下2/3的概率跌到狀態(tài)2，如果初始組合價(jià)值處于狀態(tài)2，則基本會(huì)維持在狀態(tài)2；而在上漲的市場(chǎng)（2014年），若初始組合價(jià)值處于狀態(tài)1，期末將會(huì)維持在狀態(tài)1，若初始組合價(jià)值處于狀態(tài)2，則將有約1/3的概率維持在狀態(tài)2還有2/3的概率期末上升至狀態(tài)1。

由計(jì)算可知，只要風(fēng)險(xiǎn)乘數(shù)大于7.9左右，則初始狀態(tài)就位于狀態(tài)1，它代表了使用了較高的金融杠桿，從而放大了風(fēng)險(xiǎn)頭寸。金融杠桿的使用，在震蕩收漲的市場(chǎng)（2012年）與上漲的市場(chǎng)（2014年）中可以保障本金安全前提下能取得較好的投資績(jī)效。然而，在下跌的市場(chǎng)（2011年）或震蕩收跌的市場(chǎng)（2013年）中高金融杠桿卻可能導(dǎo)致組合保險(xiǎn)失敗。

因此，投資失敗的主要原因是在市場(chǎng)下跌或震蕩下跌的情況下決策者過(guò)于激進(jìn)的風(fēng)險(xiǎn)偏好并選擇了過(guò)高的風(fēng)險(xiǎn)乘數(shù)，從而放大了保險(xiǎn)失敗的缺口風(fēng)險(xiǎn)。

對(duì)于投資者來(lái)說(shuō)，市場(chǎng)的趨勢(shì)是投資組合保險(xiǎn)失敗與否的重要因素。但是無(wú)論什么樣的市場(chǎng)，過(guò)度的風(fēng)險(xiǎn)頭寸都是投資組合保險(xiǎn)失敗的誘因，尤其在預(yù)期下跌或震蕩收跌的市場(chǎng)，風(fēng)險(xiǎn)乘數(shù)的設(shè)定存歿攸關(guān)。

3 結(jié)論

在存在融資約束之下，本文計(jì)算出投資組合價(jià)值在三種資產(chǎn)狀態(tài)之間的轉(zhuǎn)移概率矩陣，并推演出：風(fēng)險(xiǎn)乘數(shù)若增加，缺口風(fēng)險(xiǎn)將會(huì)上升；波動(dòng)率若增加，缺口風(fēng)險(xiǎn)會(huì)上升；漂移率若增加，缺口風(fēng)險(xiǎn)會(huì)減少；無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率若增加，缺口風(fēng)險(xiǎn)會(huì)增加；融資約束比率若增加，缺口風(fēng)險(xiǎn)會(huì)上升；若增加融資約束比率，投資更激進(jìn)，缺口風(fēng)險(xiǎn)也會(huì)更大。

本文利用滬深300指數(shù)在2011—2014年這四個(gè)典型波動(dòng)年份數(shù)據(jù)，計(jì)算出不可融資限制下最優(yōu)的風(fēng)險(xiǎn)乘數(shù)和調(diào)整周期，從而為市場(chǎng)狀況與投資組合策略的選擇提供了實(shí)證參考。通過(guò)這四年的金融數(shù)據(jù)實(shí)證計(jì)算出不同初始狀態(tài)的期末資產(chǎn)價(jià)值轉(zhuǎn)移概率，從中可知，組合保險(xiǎn)失敗的主要原因是在市場(chǎng)下跌或震蕩下跌的情況下決策者過(guò)于激進(jìn)的風(fēng)險(xiǎn)偏好從而選擇了過(guò)高的風(fēng)險(xiǎn)乘數(shù)，過(guò)度的風(fēng)險(xiǎn)頭寸導(dǎo)致了保險(xiǎn)失敗。

[1]Black F,Jones R.Simplifying Portfolio Insurance[J].Journal of Portfolio Management,1987,14,(1).

[2]Merton R C.Continuous-Time Finance[M].New York:Basil Blackwell,1990.

[3]Black F,Andre F.Theory of Constant Proportion Portfolio Insurance [J].Journal of Economic Dynamic and Control,1992,(16).

[4]Khuman A,Dietmar M,Nick C.Constant Proportion Portfolio Insurance:Statistical Properties and Practical Implications[R].University of Essex,Working Paper,2008.

[5]Weng C G.Constant Proportion Portfolio Insurance Under a Regime Switching Exponential Levy Process[J].Insurance:Mathematics and Economic,2013,(52).

[6]程兵，魏先華.投資組合保險(xiǎn)CPPI策略研究[J].系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)學(xué)，2005，25(3).

[7]杜少劍,陳偉忠.CPPI投資組合保險(xiǎn)策略的實(shí)證分析[J].財(cái)貿(mào)研究，2005，(1).

[8]黃麗清.CPPI策略缺口風(fēng)險(xiǎn)研究[D].上海：復(fù)旦大學(xué)，2009.

[9]徐競(jìng).基于馬爾科夫鏈的動(dòng)態(tài)CPPI投資策略研究及實(shí)證[J].重慶理工大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2012，26(4).

[10]周圣，史本山，段玉娟.基于離散時(shí)間交易下的CPPI策略[J].系統(tǒng)工程，2012，30(5).

（責(zé)任編輯/易永生）

F832

A

1002-6487（2017）11-0162-04

丁釗鵬（1978—），男，四川潼南人，博士研究生，講師，研究方向：金融工程、債券及衍生品。劉立新（1966—），男，河北安國(guó)人，教授，博士生導(dǎo)師，研究方向：金融工程、風(fēng)險(xiǎn)管理。