劉延芳， 劉 宏， 孟 瑤

(1. 機(jī)器人系統(tǒng)與技術(shù)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室(哈爾濱工業(yè)大學(xué))， 哈爾濱 150001；2. 哈爾濱工業(yè)大學(xué) 航天工程系， 哈爾濱 150001；3. 上海宇航系統(tǒng)工程研究所，上海 201109)

負(fù)載不確定的柔性機(jī)械臂自適應(yīng)自抗擾控制

劉延芳1，2， 劉 宏1， 孟 瑤3

(1. 機(jī)器人系統(tǒng)與技術(shù)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室(哈爾濱工業(yè)大學(xué))， 哈爾濱 150001；2. 哈爾濱工業(yè)大學(xué) 航天工程系， 哈爾濱 150001；3. 上海宇航系統(tǒng)工程研究所，上海 201109)

為解決末端具有不確定負(fù)載的柔性機(jī)械臂的位置控制問題，設(shè)計(jì)了自適應(yīng)自抗擾控制器. 采用奇異攝動(dòng)理論將多柔性連桿機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)分解為快時(shí)標(biāo)和慢時(shí)標(biāo)兩個(gè)子系統(tǒng). 針對(duì)快時(shí)標(biāo)子系統(tǒng)設(shè)計(jì)線性二次型控制器，用于快速抑制柔性連桿的振動(dòng)，將快時(shí)標(biāo)狀態(tài)變量轉(zhuǎn)移到慢流形上;針對(duì)慢時(shí)標(biāo)子系統(tǒng)，設(shè)計(jì)自抗擾控制器，用于跟蹤期望角度. 針對(duì)末端負(fù)載的不確定性，采用迭代最小二乘算法估計(jì)末端負(fù)載的質(zhì)量,并在自抗擾控制器中進(jìn)行補(bǔ)償. 結(jié)果表明：末端負(fù)載的不確定量達(dá)到預(yù)估負(fù)載質(zhì)量的200%時(shí)，在15 rad/s范圍內(nèi)，角度控制的均方差0.08 rad，明顯優(yōu)于不對(duì)末端負(fù)載進(jìn)行補(bǔ)償?shù)那闆r. 在末端負(fù)載和機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)速度都發(fā)生變化時(shí)，所提出的自適應(yīng)自抗擾控制器具有一定的魯棒性.

多柔性連桿機(jī)械臂；自抗擾控制；負(fù)載不確定性；自適應(yīng)控制；迭代最小二乘算法

多柔性連桿機(jī)械臂(multiple-flexible-link manipulator, MFLM)由于具有質(zhì)量輕、慣量低等優(yōu)點(diǎn)，在未來空間站建設(shè)、空間操控和在軌服務(wù)等任務(wù)中擔(dān)任著重要的角色[1-4]，同時(shí)也是實(shí)現(xiàn)裝備制造等產(chǎn)業(yè)智能化的重要設(shè)備[5-6]. 然而，機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)過程中，臂桿的柔性導(dǎo)致振動(dòng)，影響定位精度；剛體運(yùn)動(dòng)與結(jié)構(gòu)振動(dòng)高度耦合，呈現(xiàn)出強(qiáng)非線性；關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力矩需要同時(shí)實(shí)現(xiàn)關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動(dòng)和振動(dòng)控制，屬于欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)；負(fù)載隨著任務(wù)不同而不同，存在不確定性. 本文針對(duì)采用柔性臂桿的機(jī)械臂的角度運(yùn)動(dòng)和振動(dòng)抑制的控制器設(shè)計(jì)問題開展研究.

內(nèi)外環(huán)的控制器設(shè)計(jì)是柔性機(jī)械臂常用的控制器設(shè)計(jì)方法. 內(nèi)環(huán)通過臂桿彎曲反饋消除其振動(dòng)，外環(huán)采用角度反饋跟蹤期望軌跡. 比例微分(proportional derivative, PD)、比例微分積分(proportional integral derivative，PID)、自適應(yīng)算法、積分阻抗技術(shù)、廣義比例積分等被廣泛用于內(nèi)環(huán)和外環(huán)的控制器設(shè)計(jì)[7-9]；基因?qū)W習(xí)算法[10]、逆模型控制[11]、力控制[12]、采用壓電元件的主動(dòng)振動(dòng)控制[13]、H控制[14]等也都在MFLM的控制上得到了一定的應(yīng)用. 由于結(jié)構(gòu)振動(dòng)相對(duì)于關(guān)節(jié)的剛體轉(zhuǎn)動(dòng)要快很多，采用奇異攝動(dòng)理論將整個(gè)復(fù)雜系統(tǒng)分解為快時(shí)標(biāo)和慢時(shí)標(biāo)兩個(gè)相對(duì)簡(jiǎn)單的子系統(tǒng)，在柔性關(guān)節(jié)[15-18]、柔性臂桿[19-21]等機(jī)械臂的控制中得到了應(yīng)用. 考慮到很難獲得MFLM的精確動(dòng)力學(xué)模型，自抗擾控制(active disturbance rejection control，ADRC)[21-23]通過擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器(extended state observer，ESO)擴(kuò)展一個(gè)狀態(tài)實(shí)現(xiàn)對(duì)內(nèi)部和外部干擾的估計(jì)和補(bǔ)償，采用反饋控制器實(shí)現(xiàn)一定的魯棒性能. ADRC通過質(zhì)量矩陣可以實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的自解耦. 但是，末端負(fù)載的不確定性導(dǎo)致質(zhì)量矩陣的不確定，引起ADRC的性能下降. 頻域辨識(shí)和模態(tài)濾波器廣泛用來解決柔性連桿機(jī)械臂末端負(fù)載的不確定性[24-26].

本文在對(duì)MFLM系統(tǒng)進(jìn)行時(shí)標(biāo)分解的基礎(chǔ)上，內(nèi)環(huán)快時(shí)標(biāo)子系統(tǒng)采用線性二次型(linear quadratic regulator，LQR)控制器，實(shí)現(xiàn)振動(dòng)的快速抑制；外環(huán)慢時(shí)標(biāo)子系統(tǒng)設(shè)計(jì)了ADRC控制器，同時(shí)采用迭代最小二乘(recursive least-squares，RLS)算法實(shí)現(xiàn)對(duì)末端負(fù)載的估計(jì)和補(bǔ)償.

1 系統(tǒng)建模

如圖1所示，MFLM具有n個(gè)柔性連桿、n個(gè)關(guān)節(jié)和1個(gè)末端負(fù)載. 臂桿i的長(zhǎng)度為li，密度為ρi，剛度為EIi；關(guān)節(jié)i的驅(qū)動(dòng)力矩為τi，角位置記作θi. 關(guān)節(jié)認(rèn)為是集中質(zhì)量，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等效到臂桿上，末端負(fù)載的質(zhì)量為mi. 采用Euler-Lagrange方法和假設(shè)模態(tài)法[21,25]，得到MFLM的動(dòng)力學(xué)模型為

(1)

圖1 MFLM示意

式(1)可以進(jìn)一步表示為

選擇攝動(dòng)參數(shù)為

(2)

將μ=0代入并整理，得到慢時(shí)標(biāo)子系統(tǒng)為

(3)

下標(biāo)‘s’表示慢時(shí)標(biāo)子系統(tǒng)的物理量.

在獲得快時(shí)標(biāo)系統(tǒng)時(shí)，認(rèn)為慢時(shí)標(biāo)系統(tǒng)的物理量為常量，定義快時(shí)標(biāo)子系統(tǒng)變量為zf:=z-zs，控制量為τf:=τ-τs,式(2)中快時(shí)標(biāo)子系統(tǒng)可以寫為

其中σ=t/μ為快時(shí)標(biāo)標(biāo)度.

2 控制器設(shè)計(jì)

圖2給出了控制器結(jié)構(gòu)示意圖，控制力矩為

τ=τs+τf.

其中，慢時(shí)標(biāo)控制量τs通過ADRC控制器給出，快時(shí)標(biāo)控制量τf通過LQR控制器給出，末端負(fù)載的質(zhì)量通過RLS算法估計(jì)并反饋至ADRC控制器.

2.1 末端負(fù)載的估計(jì)

考慮到末段負(fù)載的不確定性，將質(zhì)量矩陣重新表達(dá)為兩部分

M(θ,q)=M0(θ,q)+CM(θ,q)mn.

(4)

圖2 控制器結(jié)構(gòu)示意圖(DL: 解耦器, BLC: 邊界層修正)

將式4)-5)帶入到式(1)中可得

ΦTmn=η,

其中：

考慮到在某些情況下,Φ≈0，同時(shí)為了充分利用舊數(shù)據(jù)信息，采用迭代最小二乘算法估計(jì)負(fù)載質(zhì)量

在應(yīng)用中，角度信息可以通過編碼器測(cè)得，臂桿彎曲信息可以通過應(yīng)變片測(cè)量，對(duì)于角度的導(dǎo)數(shù)和各階模態(tài)坐標(biāo)需要通過估計(jì)得到. 這里采用跟蹤微分器(tracking differentiator, TD):

式中：x1、x2是狀態(tài)變量，u是控制輸入，h0和r分別是濾波因子和速度因子，fh(x1,x2,r,h0)定義如下:

2.2 外環(huán)自抗擾控制器

慢時(shí)標(biāo)子系統(tǒng)(3)可以表達(dá)為

(6)

其中

表示總的干擾，包含內(nèi)部不確定性和外部干擾；

(7)

選擇虛擬控制為

).

λ(s)=s2+m+βi1s2+m-1+…+βi(2+m-1)s+βi(2+m)=(s+ω0)2+m，

由此可以得到所有的增益系數(shù).

式中,epi=θdi-θi. 因此，設(shè)計(jì)kpi和kdi,使上述系統(tǒng)穩(wěn)定且有期望的響應(yīng).

fal(x,α,δ)=

得到控制器為

2.3 內(nèi)環(huán)LQR控制器

將快時(shí)標(biāo)子系統(tǒng)表達(dá)為狀態(tài)空間的形式為

其中

采用最優(yōu)控制技術(shù)進(jìn)行振動(dòng)抑制，目標(biāo)函數(shù)選擇為

式中Qf和Rf為權(quán)重系數(shù)矩陣. 采用標(biāo)準(zhǔn)的LQR設(shè)計(jì)，快時(shí)標(biāo)系統(tǒng)的控制輸出為

其中:

3 仿真研究

3.1 仿真參數(shù)

在仿真算例中，考慮具有兩節(jié)柔性臂桿的機(jī)械臂，每節(jié)臂桿考慮兩階模態(tài)，相應(yīng)的參數(shù)見表1. 仿真采用Simulink，通過四階Runge-Kutta法求解，仿真步長(zhǎng)0.000 5 s.

表1 仿真參數(shù)

Qf=diag(100,10,10,10,10,10,10,10),

Rf=diag(100,10).

機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)軌跡設(shè)計(jì)為

其中ai和ωi為期望的最終角位置和轉(zhuǎn)動(dòng)速度.

3.2 末端負(fù)載的估計(jì)性能

RLS參數(shù)設(shè)置為P0=2 000和mp0=m2，其中m2是預(yù)估負(fù)載質(zhì)量. 真實(shí)的負(fù)載質(zhì)量為8.25 kg，因此，負(fù)載的不確定量為ΔMp=2m2=5.5 kg. 末端負(fù)載估計(jì)器的性能如圖3所示.

圖3 對(duì)末端負(fù)載的估計(jì)性能

其中黑色實(shí)線表示真實(shí)的負(fù)載質(zhì)量，藍(lán)色點(diǎn)劃線表示預(yù)估負(fù)載質(zhì)量，紅色點(diǎn)線為負(fù)載估計(jì)器估計(jì)得到的負(fù)載質(zhì)量. 從圖3中可以看出，負(fù)載估計(jì)器以預(yù)估負(fù)載質(zhì)量作為估計(jì)初值，當(dāng)負(fù)載不確定量較大時(shí)，初始誤差比較大，但估計(jì)值會(huì)向負(fù)載真值方向迅速變化，出現(xiàn)短暫的超調(diào)，并快速收斂到真值，收斂到5%誤差的時(shí)間<0.2 s. 出現(xiàn)較大超調(diào)的主要原因是：運(yùn)動(dòng)初始階段，關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動(dòng)的角度和角速度、臂桿振動(dòng)的模態(tài)坐標(biāo)值都很小，Φ≈0，對(duì)負(fù)載質(zhì)量的估計(jì)近似奇異，誤差較大. 通常，為了避免激起臂桿的振動(dòng)，機(jī)械臂操縱負(fù)載機(jī)動(dòng)的過程很緩慢，因此，可以認(rèn)為負(fù)載估計(jì)收斂速度足夠快.

3.3 小末端負(fù)載不確定時(shí)的性能

當(dāng)末端負(fù)載的不確定性比較小時(shí)，如ΔMp=0.2m2=0.55 kg，系統(tǒng)的響應(yīng)如圖4所示. 其中，設(shè)計(jì)軌跡參數(shù)為ω1=ω2=1 rad/s、a1=π/3 rad、a2=π/4 rad. 為了方便，AADRC和ADRC分別表示ADRC控制器中采用和沒采用RSL算法估計(jì)負(fù)載質(zhì)量并進(jìn)行補(bǔ)償. 作為對(duì)比，仿真中同時(shí)給出文獻(xiàn)[15]中的計(jì)算力矩控制器(Computed torque controller, CTC)的響應(yīng). 從圖4中可以看出，如果負(fù)載的不確定性比較小，AADRC和ADRC的性能基本一致. 這主要是由于ADRC控制器本身就有一定的干擾抑制能力. 采用CTC時(shí)，θ1和θ2都出現(xiàn)了明顯的超調(diào)，且穩(wěn)定時(shí)間較長(zhǎng).

圖4 角度跟蹤響應(yīng)(ω1=ω2=1 rad/s，ΔMp=0.55 kg)

當(dāng)機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)速度增加時(shí)，如ω1=ω2=5 rad/s，第1節(jié)連桿的響應(yīng)基本一致，而第2節(jié)連桿的響應(yīng)卻明顯不同. 從圖5中可以看到，采用ADRC時(shí)，θ2的超調(diào)量大于采用AADRC的，振動(dòng)衰減的速度也比較慢. 進(jìn)一步比較圖4和圖5，機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)速度的增加也導(dǎo)致了角度的超調(diào)量的增加. 采用CTC時(shí)，θ1和θ2的超調(diào)也隨著角速度增加而增加.

3.4 大末端負(fù)載不確定時(shí)的性能

當(dāng)末端負(fù)載不確定量增加時(shí)，如ΔMp=5.5 kg，系統(tǒng)的響應(yīng)如圖6所示. 即使是在機(jī)械臂低速運(yùn)動(dòng)時(shí)(ω1=ω2=1 rad/s)，第2節(jié)臂桿的響應(yīng)也明顯不同. 在對(duì)末端負(fù)載進(jìn)行估計(jì)和補(bǔ)償后，θ2迅速趨于穩(wěn)定. 如果只采用ADRC，則θ2存在明顯的振蕩. 但是，末端負(fù)載不確定性的增加對(duì)第1節(jié)臂桿的影響很小. 負(fù)載不確定性的增加也導(dǎo)致CTC的性能惡化，特別是θ2，超調(diào)量達(dá)到了30%.

如果機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)速度增加，單獨(dú)采用ADRC的響應(yīng)性能更加惡化，如圖7所示. 比較圖6和圖7，采用ADRC控制，在負(fù)載不確定增加時(shí)，隨著機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)速度的增加，θ1的響應(yīng)也明顯的不同. 如果負(fù)載質(zhì)量不確定性得到補(bǔ)償，機(jī)械臂速度增加對(duì)系統(tǒng)性能沒有明顯影響. 采用CTC時(shí)，θ2的響應(yīng)性能也進(jìn)一步惡化，然而θ1并沒有出現(xiàn)超調(diào)，但相比于其他兩個(gè)控制器，有一定的滯后，這說明在這樣的參數(shù)下，關(guān)節(jié)1的控制器構(gòu)成了欠阻尼系統(tǒng).

3.5 不同速度下系統(tǒng)響應(yīng)分析

其中，tf是仿真時(shí)長(zhǎng)，N是采樣數(shù)量. 從圖中可以看出，無論采用AADRC、ADRC，還是CTC，θ1和θ2的均方差都隨ω增加而增加. 這主要是由于隨著運(yùn)動(dòng)速度的增加，超調(diào)量也增加. 采用ADRC，θ1的均方差隨著負(fù)載不確定性的增加并不明顯，θ2的均方差變化顯著，特別是運(yùn)動(dòng)速度較大時(shí). 采用CTC時(shí)，在負(fù)載質(zhì)量不確定度較小時(shí)，θ1的均方差比采用ADCRC和AADRC時(shí)大，但隨著負(fù)載不確定性的增加而減小，在負(fù)載不確定性較大時(shí)，其性能優(yōu)于ARDC，但不如AADRC；θ2的均方差隨著負(fù)載不確定性的增加迅速增加，增速比ADRC略緩. 總體看來，在負(fù)載質(zhì)量得到估計(jì)和補(bǔ)償，即采用AADRC時(shí)，系統(tǒng)響應(yīng)對(duì)負(fù)載的變化和速度變化具有魯棒性.

圖5 角度跟蹤響應(yīng)(ω1=ω2=5 rad/s，ΔMp=0.55 kg)

圖6 角度跟蹤響應(yīng)(ω1=ω2=1 rad/s，ΔMp=5.5 kg)

圖7 角度跟蹤響應(yīng)(ω1=ω2=5 rad/s，ΔMp=5.5kg)

圖8 不同速度下的跟蹤響應(yīng)

4 結(jié) 論

1)針對(duì)多柔性臂桿機(jī)械臂的控制問題，本文提出了一種新的控制器結(jié)構(gòu). 首先采用奇異攝動(dòng)理論將系統(tǒng)分解為快時(shí)標(biāo)和慢時(shí)標(biāo)兩個(gè)子系統(tǒng). 慢時(shí)標(biāo)子系統(tǒng)采用自適應(yīng)自抗擾控制，快時(shí)標(biāo)子系統(tǒng)采用線性二次型控制器.

2)自適應(yīng)自抗擾控制器采用微分跟蹤器獲得期望角度的角速度和角加速度，采用狀態(tài)擴(kuò)張估計(jì)器獲得估計(jì)真實(shí)的角速度和角加速度及干擾，采用迭代最小二乘算法估計(jì)負(fù)載的不確定性，采用非線性比例微分控制器保證系統(tǒng)的魯棒性.

3)仿真結(jié)果表明，無論采用AADRC，還是采用ADRC，末端負(fù)載的不確定性對(duì)臂桿振動(dòng)和關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動(dòng)的控制精度的影響隨關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動(dòng)速度的增加而變得更加明顯. 關(guān)節(jié)2的轉(zhuǎn)動(dòng)角度控制精度和臂桿2的振動(dòng)受末端負(fù)載的不確定性的影響比關(guān)節(jié)1和臂桿1更為明顯.

4)采用迭代最小二乘算法估計(jì)負(fù)載的不確定性并進(jìn)行補(bǔ)償后，AADRC相比于ADRC，對(duì)末端負(fù)載不確定性的變化和關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動(dòng)速度的變化都具有更好的魯棒性.

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(編輯 楊 波)

Adaptive active disturbance rejection control of flexible manipulators with uncertain payload

LIU Yanfang1,2, LIU Hong, MENG Yao3

(1. State Key Laboratory of Robotics and System (Harbin Institute of Technology), Harbin 150001, China;2. Dept.of Aerospace Engineering, Harbin Institute of Technology, Harbin 150001, China;3. Aerospace System Engineering Shanghai, Shanghai 201109, China)

An adaptive active disturbance rejection control is proposed for flexible manipulators with uncertain payload. The two-time scale model of the multiple-flexible-link manipulator is derived via singular perturbation technique. For the fast subsystem, a linear quadratic regulator controller is designed. It depresses the oscillation of flexible links and drives the states to the slow manifold quickly. For the slow subsystem, an adaptive active disturbance rejection controller is proposed to track the desired angular position. A recursive least-squares algorithm is utilized to estimate the payload mass and compensate for the uncertainty. Simulation results show that the mean squire error is less than 0.08 rad even when the payload uncertainty up to 200% of the pre-estimation of the payload mass, which is superior to the case without compensation for the payload uncertain. Thus, the proposed control scheme guarantees a robust performance in presence of uncertain payload and under different maneuver speeds.

multiple-flexible-link manipulator； active disturbance rejection control； payload uncertainty； adaptive control； recursive least-squares

2016-05-16

中國博士后科學(xué)基金(2014M560255)；機(jī)器人技術(shù)與系統(tǒng)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開放研究項(xiàng)目(SKLRS-2013-ZD-05)；黑龍江省博士后基金(LBH-Z14107)

劉延芳(1986—)，男，博士，講師; 劉 宏(1966—),男，長(zhǎng)江學(xué)者特聘教授，博士生導(dǎo)師

劉延芳，lyf04025121@126.com

TP244

A

0367-6234(2017)07-0012-08