劉時

[摘要]數學思想是數學的靈魂，是解題的航標燈。化歸與轉化思想是解決數學問題的一種基本思想，即把要解決的問題通過一系列的轉化與化歸，使其成為已解決的或較易解決的問題。化歸與轉化這種思維策略在數學學習中有著廣泛的應用，在具體的解題過程中發(fā)揮著重要的作用，教師要指導學和掌握好化歸轉化原則并在解題中靈活應用。

[關鍵詞]高中數學；化歸；轉化；應用

數學中的化歸與轉化思想方法，指在研究和解決有關數學問題時，通過某種轉化過程，歸結到一類已經解決或比較容易解決的問題，最終求得問題的解答的一種手段和方法。在高中數學學習中，掌握好化歸與轉化思想的特點，學會在解題時注意依據問題本身所提供的信息，利用動態(tài)思維，去尋求有利于問題解決的化歸與轉化的途徑和方法，對學好數學很有幫助。

一、化歸轉化的概念分析

化歸轉化法是數學學習中一種分析問題解決問題的基本思想方法?；瘹w轉化的原則是以已知的、簡單的、具體的、特殊的、基本的知識為基礎，將未知的化為已知的，復雜的化為簡單的，抽象的化為具體的，一般的化為特殊的，非基本的化為基本的，從而得出正確的解答。它是將一個非基本的問題通過分解、變形、代換，或運用平移、旋轉和伸縮等多種方式，化歸為一個熟悉的基本的問題，從而求出解答。簡而言之，化歸是一種目的性的轉化?；瘹w思想，是將一個問題由難化易，由繁化簡，由復雜化簡單的過程，它是轉化和歸結的簡稱。

在高中數學學習過程中，總會出現各種各樣的數學問題，掌握解題方法從而高效解題是數學學習的目標。只有把握精準的數學解題方法，才能解決多樣的數學問題。在高中數學學習階段，學生必須掌握化歸轉化思想，如數形結合、等價代換等，熟練運用化歸思想解題是學好數學的良好途徑。實施等價轉化這一化歸思想的時候，教師要在教材中挖掘化歸與轉化的思想，在教學設計中進行滲透，在實際教學過程中辯證地對待這一思想方法，把難解決、抽象的問題化歸與轉化成比較直觀的問題。

二、化歸與轉化思想的應用策略

事實上，數學中的轉化比比皆是，如未知向已知轉化，復雜問題向簡單問題轉化，新知識向舊知識的轉化，命題之間的轉化，數與形的轉化，空間向平面的轉化，高維向低維轉化，多元向一元轉化，高次向低次轉化等，這些都是轉化思想的體現。對于數學習題的解答，關鍵是如何順藤摸瓜，順利實現轉化。熟練、扎實地掌握基礎知識、基本技能和基本方法是轉化的基礎；豐富的聯想、機敏細微的觀察、比較、類比是實現轉化的橋梁。

1.熟悉化策略

當學生面臨的是一道以前沒有接觸過的陌生題目時，要設法把它化為曾經解過的或比較熟悉的題目，以便使學生充分利用已有的知識、經驗或解題模式，順利地解出原題。學生對于題目的熟悉程度，取決于對題目自身結構的認識和理解。從結構上來分析，任何一道解答題，都包含條件和結論（或問題）兩個方面。因此，要把陌生的題目轉化為熟悉的題目，教師可指導學生變換題目的條件、結論（或問題），從而順利完成解答。充分聯想回憶基本知識和題型，可以幫助學生熟悉更好地進行數學學習。按照波利亞的觀點，在解決問題之前，我們應充分聯想和回憶與原有問題相同或相似的知識點和題型，充分利用相似問題中的方式、方法和結論，從而解決現有的問題。對于同一道數學題，可以指導學生從不同的側面、不同的角度去認識，全方位、多角度分析題意。學生根據自己的知識和經驗，適時調整分析問題的視角，有助于更好地把握題意，找到自己熟悉的解題方向。數學學習中，同一素材的題目，常?？梢杂胁煌谋憩F形式，條件與結論（或問題）之間，也存在著多種聯系方式。因此，構造輔助元素，有助于改變題目的形式，溝通條件與結論（或條件與問題）的內在聯系，把陌生題轉化為熟悉題。數學解題中，構造的輔助元素多種多樣，常見的有構造圖形（點、線、面、體），構造算法，構造多項式，構造方程（組），構造坐標系，構造數列，構造行列式，構造等價性命題，構造反例，構造模型等。

2.簡單化策略

當學生面臨的是一道結構復雜、難以入手的題目時，教師要設法引導學生把它轉化為一道或幾道比較簡單、易于解答的新題，以便通過對新題的考查，啟迪解題思路，以簡馭繁，解出原題。簡單化是熟悉化的補充和發(fā)揮。一般說來，我們對于簡單問題往往比較熟悉或容易熟悉。因此，在實際解題時，這兩種策略常常是結合在一起進行的，只是著眼點有所不同而已。解題中，實施簡單化策略的途徑是多方面的，常用的有 尋求中間環(huán)節(jié)、分類考察討論、簡化已知條件、恰當分解結論等。具體進行解題時，可尋求中間環(huán)節(jié)，挖掘隱含條件。一些結構復雜的綜合題，就其生成背景而論，大多是由若干比較簡單的基本題，經過適當組合抽去中間環(huán)節(jié)而構成的。因此，從題目的因果關系入手，尋求可能的中間環(huán)節(jié)和隱含條件，把原題分解成一組相互聯系的系列題，是實現復雜問題簡單化的一條重要途徑。數學題解題的復雜性，主要在于它的條件、結論（或問題）包含多種不易識別的可能情形。對于這類問題，選擇恰當的分類標準，把原題分解成一組并列的簡單題，有助于實現復雜問題簡單化。有些數學題，條件比較抽象、復雜，不太容易入手。這時，不妨簡化題中某些已知條件，甚至暫時撇開不顧，先考慮一個簡化問題。這樣簡單化了的問題，對于解答原題，常常能起到穿針引線的作用。有些問題，解題的主要困難，來自結論的抽象概括，難以直接和條件聯系起來，這時，不妨猜想一下，能否把結論分解為幾個比較簡單的部分，以便各個擊破，解出原題。

3.直觀化策略

當學生面對的是一道內容抽象、不易捉摸的題目時，要設法把它轉化為形象鮮明、直觀具體的問題，以便憑借事物的形象把握題中所提及的各對象之間的聯系，找到原題的解題思路。有些數學題，內容抽象，關系復雜，給學生理解題意增添了困難，常常會由于題目的抽象性和復雜性，使正常的思維難以進行到底。對于這類題目，教師可以引導學生借助圖表的直觀性，利用示意圖或表格分析題意，使抽象內容形象化，復雜關系條理化，思維有相對具體的依托，便于學生深入思考，發(fā)現解題線索。有些涉及數量關系的題目，如果用代數方法求解，計算量偏大，可以讓學生借助圖形，給題中有關數量以恰當的幾何分析，拓寬解題思路，找出簡捷、合理的解題途徑。不少涉及數量關系的題目，與函數的圖象密切相關，靈活運用圖象的直觀性，常常能以簡馭繁，獲取簡便、巧妙的解法。

4.正難則反原則

當數學問題的正面討論遇到困難時，可考慮問題的反面，設法從問題的反面去探討，使問題獲解。（1）直接轉化法：把原問題直接轉化為基本定理、基本公式或基本圖形問題。（2）換元法：運用“換元”把式子轉化為有理式或使整式降冪等，把較復雜的函數、方程、不等式問題轉化為易于解決的基本問題。（3）數形結合法：研究原問題中數量關系（解析式）與空間形式（圖形）關系，通過互相變換獲得轉化途徑。（4）等價轉化法：把原問題轉化為一個易于解決的等價命題，從而達到化歸的目的。（5）特殊化方法：把原問題的形式向特殊化形式轉化，并證明特殊化后的問題、結論適合原問題。

掌握化歸轉化方法對于數學學習有著重要的意義。平時學習中，教師應努力培養(yǎng)訓練學生的化歸與轉化意識，讓學生對定理、公式、法則有本質的深刻理解，對典型習題進行總結和提煉，有意識地去發(fā)現事物之間的本質聯系，從而更好地學好數學。

參考文獻：

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[3]吳建平.數學解題中的化歸思想[J].青蘋果（高中版），2015，（06）.

（責任編輯 史玉英）