吳金華，何軍

（上海交通大學(xué)船舶海洋與建筑工程學(xué)院，上海200240）

基于Gumbel Copula的高可靠性結(jié)構(gòu)系統(tǒng)分析

吳金華，何軍

（上海交通大學(xué)船舶海洋與建筑工程學(xué)院，上海200240）

提出了一種基于Gumbel Copula的高可靠性結(jié)構(gòu)系統(tǒng)失效概率計算方法.該方法采用移位廣義對數(shù)正態(tài)分布（SGLD）來估計結(jié)構(gòu)反應(yīng)的邊緣分布，采用Copula函數(shù)來估計系統(tǒng)反應(yīng)的聯(lián)合分布函數(shù)，而Copula函數(shù)的參數(shù)估計采用矩方法.采用本文發(fā)展的方法，分析了地震作用下六層鋼框架結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的可靠度，結(jié)果表明該方法不僅可以給出精確的結(jié)構(gòu)反應(yīng)邊緣分布和聯(lián)合分布表達(dá)式，而且具有較高的數(shù)值精度和計算效率.

Copula函數(shù)；系統(tǒng)可靠度；移位廣義對數(shù)正態(tài)分布；概率分布；參數(shù)估計

結(jié)構(gòu)系統(tǒng)可靠度分析是結(jié)構(gòu)安全評估及設(shè)計的基礎(chǔ)，高可靠性問題是可靠度分析中的核心問題.針對這一問題的研究，人們已經(jīng)發(fā)展出了多種方法，包括一次二階矩方法、二次二階矩方法、稀疏網(wǎng)格法、響應(yīng)面法以及神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法等[1-6].這些方法適用于處理低維度的可靠度問題，對于高維結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的可靠度，其精度和效率均無法達(dá)到工程要求.目前，常用的系統(tǒng)可靠度分析方法主要有數(shù)值模擬方法和邊界法.數(shù)值模擬方法包含蒙特卡洛方法、重要抽樣法[7]、子集模擬法[8-9]、線抽樣法[10]、方向抽樣法[11]等.這些方法的計算精度需要通過抽樣次數(shù)來保證，對于高可靠性問題，其效率低下.邊界法主要包含二階窄邊界法[12]、三階窄邊界法[13]、線性規(guī)劃邊界法[14]等，此3種方法由于各自應(yīng)用范圍和效率的缺陷，均無法滿足高可靠性結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的分析要求.

基于以上現(xiàn)狀，對于高可靠性結(jié)構(gòu)系統(tǒng)可靠度分析還缺少非常有效的方法.本文提出了一種基于Gumbel Copula模型的系統(tǒng)可靠度分析方法，該方法采用SGLD模型估計結(jié)構(gòu)反應(yīng)的邊緣分布，采用矩方法估計Copula模型的參數(shù).一個6層鋼框架結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的地震響應(yīng)分析說明了本文所建立方法的有效性和精確性.

1 Copula函數(shù)及其模型建立

Copula由Sklar[15]提出，是一種將多維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布用其一維邊緣分布表示的函數(shù).Copula函數(shù)最早被應(yīng)用于金融分析領(lǐng)域，近年來逐漸被應(yīng)用于結(jié)構(gòu)可靠度和工程抗震、氣象和水文、統(tǒng)計和環(huán)境等諸多領(lǐng)域.多元Copula函數(shù)的定義如下：

定義1n維Copula是定義域?yàn)閇0，1]n，值域?yàn)閇0，1]的函數(shù)，即C[0，1]n→[0，1]，且滿足下列條件：

1）對任意u∈[0，1]n，如果存在某個分量uk=0（k=1，2，…，n），則C（u）=0；

2）對任意u∈[0，1]n，如果存在u1=…=uk-1=uk+1=un=1，則C（u）=1；

3）對于定義域[0，1]n中的任意2個向量，令

如果a≤b，那么VC（[a，b]）≥0.其中VC（[a，b]）稱為[a，b]的C容積.

定義2（n維Sklar定理）[15]設(shè)H是邊緣分布為u1，u2，…，un的n維聯(lián)合分布函數(shù)，那么一定存在一個Copula函數(shù)C，對于任意的x∈Rn，有

如果u1，u2，…，un是連續(xù)的，那么C是唯一的；否則，C在Ran（u1）×…×Ran（un）上是唯一的.反之，如果u1，u2，…，un是分布函數(shù)，則C（u1（x1），u2（x2），…，un（xn））是一個聯(lián)合分布，且其邊緣分布為u1，u2，…，un.

構(gòu)造Copula函數(shù)有很多方法，包含幾何方法、代數(shù)方法、用Archimedean族[15]的生成元構(gòu)造等.其中單一參數(shù)的Archimedean Copula函數(shù)構(gòu)造簡單，適用性強(qiáng)且具有較好的性質(zhì)，是工程結(jié)構(gòu)可靠度分析中非常適用的方法，尤其是Gumbel Copula對串聯(lián)系統(tǒng)具有較好的適用性[16].

Gumbel Copula的表達(dá)式如下：

式中：ui，i=1，2，…，n表示結(jié)構(gòu)反應(yīng)的邊緣分布函數(shù)；θ是Gumbel Copula的模型參數(shù).

由式（3）可知，Copula函數(shù)的建模包含2個過程，即邊緣分布模型的建立和Copula函數(shù)的參數(shù)估計.下面詳細(xì)介紹這2個過程.

2 Copula函數(shù)的邊緣分布建模及參數(shù)估計

2.1 Copula函數(shù)的邊緣分布建模

由于移位對數(shù)正態(tài)分布模型可以用來考慮不同的偏態(tài)系數(shù)的函數(shù)，指數(shù)冪分布模型可以用來考慮不同的峰度系數(shù)的函數(shù)，通過結(jié)合移位對數(shù)正態(tài)分布模型和指數(shù)冪分布模型可以得到廣義移位對數(shù)正態(tài)分布（SGLD）模型，該模型可以考慮廣闊的偏態(tài)-峰度系數(shù)空間，進(jìn)而模擬各種不同的函數(shù)類型[17].

本文采用SGLD模型來估計結(jié)構(gòu)系統(tǒng)反應(yīng)的邊緣分布，其PDF表達(dá)式如下：

其中：σ、r為型參數(shù)；b為位置參數(shù)；θ為尺寸參數(shù).

廣義對數(shù)正態(tài)分布的CDF表達(dá)式如下：

2.2 SGLD模型的參數(shù)估計

SGLD模型的參數(shù)估計常采用矩方法，該方法具有較高的精度，應(yīng)用廣泛.SGLD的CDF表達(dá)式中Y的均值μy、方差偏態(tài)系數(shù)γy和峰度系數(shù)κy可以通過其原始矩E[Yk]求得.

這里，σ、r為未知的模型參數(shù).由于偏態(tài)系數(shù)γy和κy峰度系數(shù)都是型參數(shù)σ、r的函數(shù)，且Y=（X-b）/θ的變量變換并不改變偏態(tài)系數(shù)峰度系數(shù)的數(shù)值，因此可以得到如下關(guān)系式：

該關(guān)系式可以表達(dá)如下：

其中，μ為未知向量[σ、r]T.由于γX和κX可通過對隨機(jī)變量的樣本進(jìn)行統(tǒng)計得到，通過求解式（9）可以得到未知變量σ、r.

在σ、r已知的情況下，通過如下關(guān)系式可以求解θ、b：

這里，μY和σY可以由型參數(shù)σ、r代入式（6）求得；μX和σX可以通過對隨機(jī)變量進(jìn)行樣本統(tǒng)計得到.下面主要問題是求解μ.

為求得向量μ，用牛頓迭代方法求解式（9），迭代公式：

其中

3 Copula函數(shù)的參數(shù)估計

Gumbel Copula是一種工程中常用的Copula函數(shù)，對于本文采用的單一參數(shù)多變量Gumbel Copula，主要需要估計其參數(shù).由文獻(xiàn)[18]可知，矩方法對阿基米德型Copula的參數(shù)估計具有較好的適用性，矩方法的基本思想是對于已知的充足樣本數(shù)，讓基于樣本的Kendell’s tau與基于總體的Kendell’s tau相等，進(jìn)而通過等式計算求解出Copula參數(shù).相比于傳統(tǒng)的最大似然法，基于Kendell’s tau的參數(shù)估計方法更簡單和靈活，具有更高的效率，對于單參數(shù)阿基米德型Copula具有很好的適用性[16].本文中阿基米德型Copula參數(shù)估計所需樣本可由用于SGLD模型估計參數(shù)時的反應(yīng)樣本得到.

對于n維Gumbel Copula Cθ（u），u=（u1，u2，…，un），其樣本一致性系數(shù)Kendell’s tau的計算公式為[79]：

若樣本數(shù)N已知，該公式可以簡化如下：

對于n維Gumbel Copula C（θu），u=（u1，u2，…，un），其總體的Kendell’s tau在n維串聯(lián)系統(tǒng)模型中的計算公式如下：

4 基于Copula函數(shù)串聯(lián)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的聯(lián)合失效概率

對于n維串聯(lián)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)[19]，系統(tǒng)中任意一個元件的失效均會導(dǎo)致整個系統(tǒng)失效，其失效概率的計算公式如下：

式中：xi表示串聯(lián)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)中第i個元件的反應(yīng)值；δi表示第i個元件反應(yīng)的極限值.由Copula函數(shù)的定義[15]可知，上式可用Copula函數(shù)表述如下：

5 算例研究

為了檢驗(yàn)本文所提出方法的計算精度和效率，本算例考慮一個如圖1所示的遭受水平方向地震作用的6層抗彎鋼框架.結(jié)構(gòu)構(gòu)件的截面形式如表1所示，各樓層的水平地震荷載如圖1所示.假設(shè)水平地震荷載為相互獨(dú)立的對數(shù)正態(tài)分布隨機(jī)變量，其均值從頂部的750 kN線性變化到底部的0，而變異系數(shù)均為δF= 0.2.假設(shè)所有構(gòu)件的彈性模型E為對數(shù)正態(tài)分布隨機(jī)變量，均值μE=200 kN/mm2，變異系數(shù)δE=0.1.在本例中，7個基本輸入隨機(jī)變量分別為水平地震荷載F1，…，F(xiàn)6及彈性模量E.構(gòu)件的失效概率定義為相應(yīng)框架柱層間位移比θ大于層間位移比限值θC的概率，構(gòu)件的功能函數(shù)為：

其中的θ（F1，…，F(xiàn)6，E）代表構(gòu)件的層間位移比.對于該串聯(lián)結(jié)構(gòu)體系，假設(shè)任意一個框架柱失效結(jié)構(gòu)就失效，則結(jié)構(gòu)失效概率可表示為

其中的θi，i=1，2，…，24代表第i根框架柱的層間位移比.

圖1 六層鋼框架結(jié)構(gòu)分析模型Fig.1 A six-story steel-frame structure model

由基于3 000個樣本的矩方法可以估計出結(jié)構(gòu)反應(yīng)邊緣分布的SGLD模型尾部分布的近似值.圖2繪出了由反應(yīng)X5和X6的尾部分布（SGLD）以及由基于30 000個樣本由Monte Carlo方法得到的尾部分布值.圖2表明：在X5和X6分布的中段，由矩方法得到的SGLD給出的超越概率與Monte Carlo結(jié)果幾乎一致，而在X5和X6分布的尾部，基于30 000個樣本的Monte Carlo方法不能給出相應(yīng)的超越概率，但由矩方法得到的SGLD可以給出相當(dāng)合理的結(jié)果.因此，基于矩方法的SGLD模型是可用于本結(jié)構(gòu)反應(yīng)分布的尾部估計的.

圖2 反應(yīng)X5和X6的尾部分布Fig.2Tail distributions of X5and X6

表1 框架構(gòu)件截面形式Tab.1 Section for frame members

通過估計SGLD模型參數(shù)的3 000個樣本可以計算Gumbel Copula的參數(shù)值，其中，τ?n=0.738 0，θ=10.42.由此，可以確定結(jié)構(gòu)反應(yīng)聯(lián)合分布的Gumbel Copula，并得到本例所考慮結(jié)構(gòu)體系的微小失效概率.結(jié)構(gòu)體系微小失效概率的計算結(jié)果見圖3，圖3還給出了由基于30 000個樣本的Monte Carlo方法的計算結(jié)果.圖3中坐標(biāo)系的橫軸表示各層的彈性位移比限值，縱軸表示結(jié)構(gòu)微小超越概率.圖3表明：由Gumbel Copula得到的失效概率與Monte Carlo模擬結(jié)果幾乎完全吻合，說明Gumbel Copula是結(jié)構(gòu)可靠度分析的可靠方法，其計算效率是Monte Carlo方法的5～10倍.

圖3 結(jié)構(gòu)體系的微小失效概率Fig.3 Small failure probabilities of the structure

6 結(jié)論

本文建立了一種基于Copula函數(shù)和SGLD模型的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)可靠度分析方法，通過一個6層鋼結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的可靠度分析，驗(yàn)證了本文所建立方法的有效性和精確性.

本項(xiàng)研究的主要結(jié)論為：

1）結(jié)構(gòu)系統(tǒng)反應(yīng)的分布尾部可由SGLD模型來近似，而矩方法可以精確地估計SGLD模型參數(shù).

2）Gumbel Copula可被用于高維結(jié)構(gòu)系統(tǒng)可靠度評估中的聯(lián)合失效概率計算，該方法的計算精度比Monte Carlo方法高，其計算效率是Monte Carlo方法的5～10倍.

3）本文方法需要利用一定容量的反應(yīng)樣本來估計的SGLD模型和Copula模型的參數(shù)，反應(yīng)樣本可由Monte Carlo方法生成，樣本容量可以在3 000～5 000之間.

4）本文方法適用于大多數(shù)具有確定性解的工程結(jié)構(gòu)可靠度分析，同時對其他類型Copula函數(shù)的應(yīng)用具有重要的參考價值.

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[責(zé)任編輯 楊屹]

Estimation of the reliability of structural system based on Gumbel Copula

WU Jinhua，HE Jun

（College of Naval Architecture,Ocean and Civil Engineering,Shanghai Jiaotong University,Shanghai 200240,China）

This paper aims to propose a method to estimate the failure probability of high reliability structural system based on Gumbel Copula.The marginal distributions of responses of structures are modeled by the shifted generalized lognormal distribution(SGLD)and the joint distribution is obtained by Copula functions.The parameter of Copula functions required can be estimated by the moment method.With this method,the estimation of reliability of a six-story steel frame structure system under earthquake loads shows that the marginal distribution expressions and joint distribution expressions of responses of structure system can be accurately given by the proposed method and the numerical precision and calculation effectiveness are high.

Copula function;the reliability of structural system;the shifted generalized lognormal distribution;probability distribution;parameter estimation

O241/O242

A

1007-2373（2017）03-0094-06

10.14081/j.cnki.hgdxb.2017.03.017

2016-12-26

上海市自然科學(xué)基金（16ZR1417300）；教育部留學(xué)回國人員啟動基金（14Z102050011）.

吳金華（1990-），男，碩士研究生，wjhsjtu@yeah.net.通訊作者：何軍（1968-），男，副教授，博士，junhe@sjtu.edu.cn.