馮聰， 張鷲， 吳逢鐵， 王碩琛

(1. 華僑大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院, 福建 廈門(mén) 361021;2. 華僑大學(xué) 福建省光傳輸與變換重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 福建 廈門(mén) 361021)

產(chǎn)生長(zhǎng)距離Mathieu光束的方法

馮聰1,2， 張鷲1,2， 吳逢鐵1,2， 王碩琛1,2

(1. 華僑大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院, 福建 廈門(mén) 361021;2. 華僑大學(xué) 福建省光傳輸與變換重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 福建 廈門(mén) 361021)

設(shè)計(jì)一套提高M(jìn)athieu光束無(wú)衍射距離的光學(xué)系統(tǒng),并進(jìn)行數(shù)值模擬.根據(jù)傳統(tǒng)的方法，利用軸棱錐聚焦橢圓高斯振幅調(diào)制的平面波產(chǎn)生Mathieu光束；同時(shí),基于凹透鏡對(duì)光束的發(fā)散特性，將其放置在軸棱錐的前方，使Mathieu光束的無(wú)衍射距離得到提高.使用Mathcad軟件進(jìn)行模擬，并將新系統(tǒng)與傳統(tǒng)方法對(duì)比.結(jié)果表明：利用凹透鏡系統(tǒng)，可以得到無(wú)衍射距離大、質(zhì)量較高的Mathieu光束. 關(guān)鍵詞： Mathieu光束； 凹透鏡； 光學(xué)系統(tǒng)； 光路優(yōu)化

無(wú)衍射光束的概念是由Durnin等[1]在1987年首次提出，這是一種在自由空間傳播過(guò)程中橫向光場(chǎng)分布不隨傳播距離發(fā)生變化且光場(chǎng)能量集中的光束.由于光束具有無(wú)衍射和自重建的特性成為國(guó)內(nèi)外學(xué)者研究的熱點(diǎn)[2-3]，被廣泛應(yīng)用在激光成像[4]、光學(xué)微操作[5]和安全質(zhì)量檢測(cè)[6]等領(lǐng)域.事實(shí)上，Durnin提出的無(wú)衍射Bessel光束只是無(wú)衍射光束家族中的一員[7]，是自由空間波動(dòng)方程在圓柱坐標(biāo)下的一組特解.2005年，Gutierrezvega等[8]提出自由空間的標(biāo)量波動(dòng)方程能在直角坐標(biāo)系、圓柱坐標(biāo)系、橢圓坐標(biāo)系和拋物線(xiàn)坐標(biāo)系4組坐標(biāo)系下進(jìn)行分離變量求得無(wú)衍射解，分別對(duì)應(yīng)Cosine光束、Bessel光束、Mathieu光束和Parabolic光束.目前，對(duì)Bessel光束的研究較多，而對(duì)Mathieu光束等研究較少.2014年，李冬等[9]提出一種基于軸棱錐產(chǎn)生零階無(wú)衍射Mathieu光束的新方法，并研究了Mathieu光束的自重建特性[10].越來(lái)越多的研究證明，Mathieu光束可以被用于光學(xué)微操作和光通信等領(lǐng)域[11-12].隨著不斷研究，產(chǎn)生Mathieu光束的方法也越來(lái)越多.例如，計(jì)算機(jī)相位全息法[13]、環(huán)縫透鏡組方法[14]和柱透鏡-軸棱錐法[9].其中，相位全息法操作繁瑣，成本高；環(huán)縫透鏡法光能利用率低；而柱透鏡-軸棱錐法不僅方便簡(jiǎn)單，成本低，且光能利用率高.無(wú)衍射光束的無(wú)衍射距離往往由軸棱錐的底角大小所限制，在超過(guò)無(wú)衍射距離后，光束就失去了中心不發(fā)散的特性，所以提高M(jìn)athieu光束的無(wú)衍射距離在實(shí)際應(yīng)用中顯得非常重要.減小軸棱錐底角的大小增加了光學(xué)元件的加工難度并提高了成本，限制了Mathieu光束的實(shí)際應(yīng)用.因此，通過(guò)優(yōu)化光路提高無(wú)衍射距離便尤為重要.文中根據(jù)凹透鏡對(duì)光束的發(fā)散特性，將凹透鏡加入柱透鏡-軸棱錐系統(tǒng)中，設(shè)計(jì)一套新的光學(xué)系統(tǒng)，用Mathcad模擬仿真，并利用實(shí)驗(yàn)進(jìn)行驗(yàn)證.

1 Mathieu光束理論分析

自由空間中的標(biāo)量波動(dòng)方程可以表示為

用Whittaker解[15]可以表示為

(1)

式(1)中:kt是平面波的徑向波矢分量，kt=ksinθ;kz是軸向波矢分離，kz=kcosθ,θ是波矢與z軸的夾角，波數(shù)k=2π/λ；A(φ)是理想無(wú)衍射光的復(fù)角譜分布.

由式(1)可知：當(dāng)A(φ)取不同的值時(shí)，可以得到不同的衍射光場(chǎng).在橢圓坐標(biāo)系中，當(dāng)A(φ)取零階角Mathieu分布ce0(φ;q)時(shí)，對(duì)式(1)積分后，獲得零階Mathieu光分布為

(2)

圖1 產(chǎn)生Mathieu光束的實(shí)驗(yàn)原理圖Fig.1 Experimental schematic for obtaining Mathieu beam

采用柱透鏡調(diào)制高斯光束得到橢圓高斯振幅調(diào)制的平面波，將其近似為零階角Mathieu函數(shù)振幅調(diào)制的平面波，從而獲得Mathieu光束.實(shí)驗(yàn)原理圖，如圖1所示.

橢圓高斯振幅調(diào)制的平面波可以表示為

(3)

讓橢圓高斯振幅調(diào)制的平面波入射到軸棱錐上，根據(jù)菲涅爾衍射積分理論，軸棱錐后的無(wú)衍射光場(chǎng)分布可以表示為

(4)

式(4)中:n為軸棱錐的折射率;γ是軸棱錐的底角;R為孔徑光闌半徑.

2 無(wú)衍射距離計(jì)算與光路設(shè)計(jì)

圖2 計(jì)算無(wú)衍射距離的幾何模型Fig.2 Geometrical model for calculatingnon-diffracting distanced

Mathieu光束的形成是通過(guò)軸棱錐聚焦橢圓高斯振幅調(diào)制的平面波，與Bessel光束的唯一區(qū)別是入射到軸棱錐上的平面波具有不同的振幅調(diào)制模式，故計(jì)算Mathieu光束的最大無(wú)衍射距離與計(jì)算Bessel光束的無(wú)衍射距離的幾何模型一致.計(jì)算無(wú)衍射距離的幾何模型，如圖2所示.圖2中：帶有橢圓高斯振幅調(diào)制的平面波入射到軸棱錐上，經(jīng)軸棱錐聚焦會(huì)在后方形成無(wú)衍射光束，菱形ABCD便代表無(wú)衍射Mathieu光束產(chǎn)生區(qū)域.由幾何光學(xué)可知，最大無(wú)衍射距離AD的大小為Zmax=R/((n-1)γ).當(dāng)R為2 mm，折射率為1.47;當(dāng)γ為1°時(shí)，Zmax=243 mm.

由此可知，最大無(wú)衍射距離與光斑半徑R成正比，與軸棱錐底角γ成反比，與透鏡折射率成反比.對(duì)于給定的軸棱錐，底角γ和折射率n即給定，光斑半徑R越大，最大無(wú)衍射距離Zmax也越大.根據(jù)凹透鏡對(duì)平面波的擴(kuò)散作用，加入平凹透鏡，當(dāng)平面波照射在凹透鏡上，得到發(fā)散的球面波，軸棱錐聚焦的光束的光斑半徑也將擴(kuò)大，通過(guò)這種方式提高無(wú)衍射距離.

當(dāng)球面波經(jīng)過(guò)軸棱錐聚焦后，無(wú)衍射距離變?yōu)閆2[16]，即

(5)

式(5)中:R2為入射到平凹透鏡后形成球面波的半徑;z0為球面波到軸棱錐的距離.

根據(jù)幾何光學(xué)可知，平凹透鏡曲率半徑為r，厚度為d，折射率為n，則像方焦距為

(6)

當(dāng)平凹透鏡與軸棱錐相距50mm時(shí)，曲率半徑r=200mm，R2=2.47mm，z0=475.5mm，帶入式(5)，可得Z2=638mm.

3 模擬及實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

圖3 產(chǎn)生長(zhǎng)距離Mathieu光束的凹透鏡系統(tǒng)Fig.3 Concave lens system for generating long-distance Mathieu beams

為了驗(yàn)證加入凹透鏡的新系統(tǒng)對(duì)最大無(wú)衍射距離的影響，并與原本柱透鏡軸棱錐系統(tǒng)(圖1)相比，設(shè)計(jì)出新的Mathieu光束產(chǎn)生光路.在原系統(tǒng)的基礎(chǔ)上加入平凹透鏡，將平凹透鏡置于光闌與軸棱錐之間，使平凹透鏡與軸棱錐距離為50 mm.凹透鏡系統(tǒng)，如圖3所示.

利用Mathcad軟件對(duì)新系統(tǒng)和原系統(tǒng)分別進(jìn)行光強(qiáng)分布模擬，參數(shù)如下：He-Ne激光器波長(zhǎng)為632.8 nm；柱透鏡焦距為135 mm；擴(kuò)束準(zhǔn)直系統(tǒng)中的透鏡f1焦距為15 mm；透鏡f2焦距為190 mm；光闌半徑為2 mm；凹透鏡和軸棱錐折射率都為1.47；平凹透鏡的曲率半徑為200 mm；軸棱錐底角為1°.

從光線(xiàn)傳播的角度來(lái)看，柱透鏡是非對(duì)稱(chēng)光學(xué)元件.當(dāng)光路中存在柱透鏡時(shí)，該系統(tǒng)為非軸對(duì)稱(chēng)光學(xué)系統(tǒng)，可用4×4變換矩陣描述非軸對(duì)稱(chēng)光學(xué)系統(tǒng)[17]，在近軸近似條件下,空間域中的廣義惠更斯-菲涅爾衍射積分為

(7)

對(duì)傳統(tǒng)柱透鏡-軸棱錐系統(tǒng)進(jìn)行模擬，結(jié)果如圖4所示.按照?qǐng)D3所示設(shè)計(jì)光路，將凹透鏡加在軸棱錐之前，使凹透鏡與軸棱錐距離50mm.對(duì)這個(gè)新系統(tǒng)進(jìn)行模擬，結(jié)果如圖5所示.

(a) z=90 mm (b) z=130 mm (c) z=170 mm (d) z=210 mm (e) z=243 mm圖4 傳統(tǒng)系統(tǒng)獲得不同位置的模擬光場(chǎng)分布Fig.4 Light field distributions at different locations simulated by traditional systems

(a) z=90 mm (b) z=240 mm (c) z=370 mm (d) z=500 mm (e) z=640 mm圖5 新系統(tǒng)獲得不同位置的模擬光場(chǎng)分布Fig.5 Light field distributions at different locations simulated by new systems

由圖5可知：Mathieu光束在觀(guān)察面的光強(qiáng)分布呈帶狀分布，在橫向方面呈周期性分布，且中心光強(qiáng)比較高，在縱向分布較為集中，整體類(lèi)似一個(gè)x型；加入凹透鏡后的新系統(tǒng)在原本最大無(wú)衍射距離243 mm處并沒(méi)有發(fā)散，無(wú)衍射特性明顯，證明了凹透鏡能夠提高無(wú)衍射距離；最終發(fā)現(xiàn)在640 mm處，Mathieu光束的無(wú)衍射特性丟失，與式(5)所得結(jié)果近似.

根據(jù)圖1,3設(shè)計(jì)光路，對(duì)上述模擬進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證.同樣的，使用He-Ne激光器波長(zhǎng)為632.8 nm，柱透鏡焦距為135 mm，擴(kuò)束準(zhǔn)直系統(tǒng)中的透鏡f1焦距為15 mm，透鏡f2焦距為190 mm，光闌半徑為2 mm，凹透鏡和軸棱錐折射率均為1.47，平凹透鏡的曲率半徑為200 mm，軸棱錐底角為1°.利用電荷耦合元件(CCD)記錄在軸棱錐后不同距離處光強(qiáng)分布圖，如圖6所示.由圖6可知：隨著距離增加，衍射光場(chǎng)過(guò)渡到Mathieu光束光場(chǎng)分布;在距離243 mm時(shí)，光束丟失了無(wú)衍射特性.因此，可以認(rèn)為Mathieu光束的無(wú)衍射距離為243 mm，與模擬結(jié)果近似.

(a) z=90 mm (b) z=130 mm (c) z=170 mm (d) z=210 mm (e) z=243 mm圖6 傳統(tǒng)系統(tǒng)產(chǎn)生的Mathieu光束Fig.6 Mathieu beam at different locations by traditional systems

(a) z=90 mm (b) z=240 mm (c) z=370 mm (d) z=500 mm (e) z=640 mm圖7 加入軸棱錐后新系統(tǒng)產(chǎn)生的Mathieu光束Fig.7 Mathieu beam at different locations by new systems

加入軸棱錐后產(chǎn)生的Mathieu光束,如圖7所示.由圖7可知：在距離為640 mm處，Mathieu光束已近乎消失，所以認(rèn)為新系統(tǒng)產(chǎn)生Mathieu光束的無(wú)衍射距離為640 mm.進(jìn)而證明，加入凹透鏡可使無(wú)衍射光束的質(zhì)量更好，傳播距離更遠(yuǎn).

4 結(jié)束語(yǔ)

在前人設(shè)計(jì)的柱透鏡-軸棱錐系統(tǒng)產(chǎn)生Mathieu光束的基礎(chǔ)上，結(jié)合凹透鏡的幾何光學(xué)性質(zhì)，設(shè)計(jì)模擬并通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了一套可以提高M(jìn)athieu光束衍射距離的光學(xué)系統(tǒng).經(jīng)過(guò)巧妙的改動(dòng)，對(duì)Mathieu光束的傳輸質(zhì)量有顯著的提高，且光路簡(jiǎn)單，凹透鏡成本低廉，方便獲取.此外，還可以根據(jù)不同的需求設(shè)置參數(shù)，采用不同的凹透鏡，獲得不同性質(zhì)的Mathieu光束.相對(duì)于其他提高M(jìn)athieu光束的方法，該系統(tǒng)簡(jiǎn)單高效，在實(shí)際生活中也具有極高的應(yīng)用前景.

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(責(zé)任編輯： 錢(qián)筠 英文審校： 吳逢鐵)

Method of Obtaining Long-Distance Mathieu Beam

FENG Cong1,2, ZHANG Jiu1,2,WU Fengtie1,2, WANG Shuochen1,2

(1. College of Information Science and Engineering, Huaqiao University, Xiamen 361021, China;2. Fujian Key Laboratory of Optical Beam Transmission and Transformation, Huaqiao University, Xiamen 361021, China)

We have designed and simulated an optical system to increase non-diffracting distance of Mathieu beam. According to the traditional method, we focused a plane wave modulated by elliptical Gaussian amplitude to get the Mathieu beam. And based on the divergence characteristics to the beam by using the concave lens, the concave lens was placed in front of the axicon to increase the non-diffracting distance of Mathieu beam. The simulation was carried out by using software Mathcad, the new system and the traditional method was compared. Results show that the Mathieu beam with longer distance and higher quality can be obtained by the new system.

Mathieu beam; concave lens; optical system; optical path optimization

10.11830/ISSN.1000-5013.201704018

2017-01-04

吳逢鐵(1958-)，男，教授，博士，主要從事光束傳輸與變換、短脈沖技術(shù)及非線(xiàn)性光學(xué)的研究.E-mail:fengtie@hqu.edu.cn.

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61178015)； 國(guó)家自然科學(xué)青年基金資助項(xiàng)目(61605049); 福建省科技重大項(xiàng)目(2016H6016)

O 436.1

A

1000-5013(2017)04-0541-05