汪慧玲

(咸寧職業(yè)技術學院 工學院，湖北 咸寧 437100)

基于方差分析與主成分分析下的教育指標評價應用
——以上海市2015年“綠色指標”為例

汪慧玲

(咸寧職業(yè)技術學院 工學院，湖北 咸寧 437100)

在統(tǒng)計學中，方差分析用于檢驗各因素間顯著性水平，主成分分析用于生成相互獨立的組合變量，便于實際分析需求。在新課程背景下，教育學中的理論研究與教學實踐反饋相結合，為完善教育理論體系，提供有力的數(shù)據(jù)基礎與理論保證。本文主要基于方差分析與主成分分析，結合教育實際案例，對相關教育評價指標體系作出科學評估與反饋。

方差分析；主成分分析；教育指標

作為統(tǒng)計學與數(shù)學應用的重要組成部分，方差分析與主成分分析廣泛應用于顯著性測評與影響因素管控等方面。近年來，隨著教育的不斷發(fā)展，各地的教育研究學者都相繼提出不同教育評價指標體系。本文主要基于數(shù)學中方差分析與主成分分析等方法，以上海市2015年提出的“綠色指標”為例，結合某小學實際案例分析，從數(shù)學應用出發(fā)，作出關于教育評價指標體系科學性的評價與檢驗，同時也為繼續(xù)發(fā)展和完善相關教育指標體系提供新的思路與方法。

一、關于方差分析與主成分分析

(一)方差分析

1.方差分析簡介

方差分析(Analysis of Variance)，簡稱ANOVA，又稱為“變異數(shù)分析”或者“F檢驗”，是R.A.Fisher發(fā)明的用于兩個及以上樣本均數(shù)差別顯著性檢驗的方法。由于各種因素的共同影響，研究所得的數(shù)據(jù)呈現(xiàn)波動狀，而造成波動的原因可以分為兩大類：一類是不可控的隨機因素，另一類是研究中的相關可控因素對結果形成的影響。

方差分析是從觀測變量的方差著手，去研究諸多控制變量中對觀測變量有顯著性影響的相關變量。方差分析可分為單因素方差分析與多因素方差分析。

2.方差分析的作用

方差分析的主要作用有：(1)均數(shù)差別的顯著性檢驗，(2)分離各有關因素并估計其對總變異的作用，(3)分析因素間的交互作用，(4)方差齊性檢驗，等等。

在實際研究中，針對一個復雜的事物體系，其中往往有許多因素相互制約又相互依存。方差分析的目的就是通過數(shù)據(jù)分析，找出對該事物體系有顯著影響的因素，各因素間的交互作用，以及顯著性水平等。方差分析在可比較數(shù)組中，將數(shù)據(jù)總的變差，并對變差的度量采用離差平方和，來按照各指定變差來源進行分解處理。

3.方差分析的基本步驟

(1)前提假定

1)各處理條件下的樣本隨機；

2)各處理條件下的樣本相互獨立；

3)各處理條件下的樣本分別來自正態(tài)分布總體；

4)各處理條件下的樣本具有齊效性。

(2)基本步驟

Step 1：建立假設檢驗(H0：各樣本總體均值相等，H1：各樣本總體均值不全等，檢驗水平α一般默認為0.05)；

Step 2：計算檢驗統(tǒng)計量F值；

Step 3：確定P值并作出結果評價。

(二)主成分分析

1.主成分分析簡介

主成分分析(Principal component analysis)是采取一種數(shù)學降維的方法，找出幾個綜合變量來替代原來眾多的原始變量。這些綜合變量盡可能的代表原始變量的信息表達，同時彼此間做到互不相關性。這種將多個原始變量轉(zhuǎn)化為少數(shù)幾個相互獨立的綜合變量的統(tǒng)計分析方法叫做主成分分析或者主分量分析法。

2.主成分分析的作用

假設X=(x1,x2,…，xp)T是一個p維的總體，X的期望E(X)和協(xié)方差矩陣cov(X)已知，則我們求解協(xié)方差矩陣的p個特征值，不妨記為：λ1≥λ2≥…≥λp≥0

3.主成分分析的基本步驟

Step 1：對原始數(shù)據(jù)作標準化處理，設樣本觀測數(shù)據(jù)矩陣為：

其中，

Step 2：計算樣本相關系數(shù)矩陣R，

其中，為簡便記，假定原始數(shù)據(jù)標準化后矩陣仍為X，此時有：

Step 3：用Jacobi方法求相關系數(shù)矩陣R的特征值(λ1,λ2,…，λp)與相應特征向量

ai=(ai1,ai2,…，aip),i=1,2,…，p；

Step 4：選擇重要的主成分，并寫出主成分表達式，其中：

Step 5：計算主成分得分矩陣F(k為主成分個數(shù))，則有：

Step 6：依據(jù)主成分得分數(shù)據(jù)，可進行進一步統(tǒng)計分析。

二、關于“綠色指標”體系

(一) “綠色指標”的總體概述

1.實施“綠色指標”評價體系的重要性

(1)“綠色指標”有利于發(fā)揮科學教育評價的正確導向作用，引導學校、家長和社會樹立全面的教育質(zhì)量觀，豐富學業(yè)質(zhì)量評價的內(nèi)涵，引導學校開展全面質(zhì)量觀指導下的教學與評價活動，減輕學生課業(yè)負擔，促進學生全面發(fā)展。

(2)“綠色指標”有利于構建教育內(nèi)部“標準—教學—評價”的良性循環(huán)系統(tǒng)，指導學校建立以校為本、基于過程的教育質(zhì)量綜合評價體系，營造有利于學生健康成長的良好氛圍，促進教育質(zhì)量持續(xù)提高。

2. “綠色指標”的主要內(nèi)容和測評手段

(1)指標內(nèi)容：包括學生學業(yè)水平指數(shù)、學生學習動力指數(shù)、學生學業(yè)負擔指數(shù)、師生關系指數(shù)、教育方式指數(shù)、學生社會經(jīng)濟背景對學業(yè)成績的影響指數(shù)、學生品德行為指數(shù)、身心健康指數(shù)、校長課程領導力指數(shù)與學生跨年度進步指數(shù)，共十個方面。本次數(shù)據(jù)評估，只選取前八個指數(shù)參與測評與分。

(2)測評手段：學業(yè)測試水平(小學生測試語文、數(shù)學，初中生測試語文、數(shù)學、外語等學科)、問卷調(diào)查(以學生為主，兼顧教師、校長)等。

(二)關于“綠色指標”的具體參數(shù)

“綠色指標”主要包括以下具體指數(shù)，并構成三層指標體系(指標-指數(shù)-因子)，如表1所示：

表1 綠色指標三層架構分類

三、基于數(shù)據(jù)的評價反饋

(一)主要流程

本次數(shù)據(jù)采集對象均來源于湖北省武漢市洪山區(qū)武珞路小學2015-2016學年第一學期三年級(共7個班級)與五年級(共6個班級)的全體在校學生。具體數(shù)據(jù)分為：(1)2015-2016學年第一學期三年級與五年級全體在校學生的期中測驗有效成績記錄，數(shù)據(jù)由校方提供，并將數(shù)據(jù)按照一定的百分比(原則上人數(shù)前20%為一類，后20%為一類，剩余為一類)(2)以上全體學生參與的《武珞路小學關于“綠色指標”的問卷調(diào)查表》其中的有效問卷數(shù)據(jù)記錄，問卷由校方代為分發(fā)收集，供于非直觀量化評價因子的數(shù)據(jù)采集與分析。

本部分基于武漢市某小學三年級段在2015-2016學年第一學期的學測成績與問卷調(diào)查結果的統(tǒng)計分析，運用“綠色指標”評價體系，對該年級師生作出新的一輪評價，并分析學生學業(yè)成績與其余指標間的顯著性水平[1]。

本部分主要采用方差分析與主成分分析法，采用的分析軟件主要有：IBM SPSS Statistics 20與MATLAB 2007b等。

(二)學生基本信息

1.年級基本概況

本年級共有學生334人，有效成績記錄332人，有效問卷調(diào)查數(shù)據(jù)316人。

2.成績基本信息統(tǒng)計

本次期中測試共有332人參加，語文平均為91.4分，成績及格率為100%。數(shù)學平均為92.6分，成績及格率為100%。其余信息詳見以圖2所示：

圖2 三年級期中語文成績箱式分布圖

3.非成績基本信息統(tǒng)計

本次問卷調(diào)查共有316人有效參與。問卷部分數(shù)據(jù)有缺損，不作為作廢標準。各題情況與初步分析見以圖3～4表示：

圖3 三年級作答情況統(tǒng)計圖(單選)

圖4 三年級作答情況統(tǒng)計圖(多選)

圖5 單因素方差分析

(三)方差分析

1.明確目的

我們通過方差分析，得出單純依靠成績衡量學生標準下的“好與壞”，在新型建立的“綠色指標”教育評價體系下的更多相關因素，以探討學生學業(yè)成績水平的綜合因素。

2.統(tǒng)計分析

我們對本年級學生學業(yè)水平指數(shù)(即成績因子)與問卷調(diào)查因素(如上所示)的關聯(lián)性加以分析，試圖找出成績與其它因素的相關性，并給出指導性建議[2]。我們采用各因素方差分析的方法，具體如圖5所示。

圖6 各因素主成分分析

3.相關分析

我們選擇的顯著性為0.05，即置信度為95%。關注圖表中的sig.指數(shù)，其中：

單選題01,04,12,13,15,18,19的sig<0.01，說明以上單選題與學生分類顯著相關；

單選題02,03的sig<0.05，說明以上單選題與學生分類有相關性。

4.相關結論

(1)在三年級中，學生成績的好壞，與學生的自信心，學生的自我認同度有關聯(lián)。通過對數(shù)據(jù)的分析，一般地，成績好的學生有較大自信，自我認同度高；成績中等的學生，自信心與自我認同度會較之下降；成績較差的學生，自信心與自我認同度較低；

(2)在三年級中，學生成績的好壞，與學習動力、往次成績對自身的影響因素有關；其中，成績較好的學生，學習動力越強，也較看重往次成績，對自身影響較大；反之亦然；

(3)在三年級中，學生成績的好壞，與家庭和諧因素有關；其中，學生成績較好，家庭較為和諧；反之，學生成績較差，家庭和諧程度也較為低迷；

(4)在三年級中，學生成績的好壞，與學生尊重與責任心有關，且成正相關：學生成績較好，相應尊重與責任心表現(xiàn)也越好；

(5)在三年級中，學生成績的好壞，還與學生鍛煉與幸福指數(shù)相關，且呈正相關：學生成績較好，相應的鍛煉積極性與幸福感表現(xiàn)也較好；反之亦然。

5.相關評價

通過進行方差分析，我們可以得出以下結論：

(1)學生學業(yè)成績(即分數(shù))的高低與“綠色指標”評價體系中的因素有相關性，部分指標顯出的顯著性較強；

(2)存在部分指標是各類學生都具有共性的，或者分布較為均勻的；

(3)我們在教育中，應重視顯著性較強的相關指標，在日常的教育中有所體現(xiàn)和側(cè)重，并建立更為科學合理的評價標準，因材施教。

(四)主成分分析

1.明確目的

我們通過主成分分析，可以優(yōu)化現(xiàn)有的“綠色指標”評價體系，使得評價指標更簡潔，更精準，更具有相互獨立性。

2.統(tǒng)計分析

我們對除學生學業(yè)水平指數(shù)(即成績因子)外的其余19個單選研究指數(shù)做主成分分析[3]，并得出主成分指標，以便進行進一步的有效研究。詳見上圖3-5所示。

此分析中不可允許NaN或者Inf，故我們采用平均取值的方法補齊為數(shù)不多的缺損值。

3.相關分析

主成分分析旨在找到分析問題的主要指標因素，在本年級數(shù)據(jù)中，由圖6可知，取前12個主成分，其累計貢獻率達85%，即其代表率達85%，即可符合要求。

四、結語

在當今“育人為本，教育為先”的背景下，用適合學生全面發(fā)展的教育評價體系來代替以往“唯成績論成敗”的評價標準，是一種勢在必行的趨勢和發(fā)展方向。面對各種教育評價體系的提出與實踐，我們更加需要用一種科學嚴謹?shù)膽B(tài)度，去反復的跟蹤論證它的科學性與可行性。

本文中主要運用的方差分析與主成分分析法，則為我們提供了對教育評價體系作出效能評估的有力方法，它使得我們?nèi)ピu價一種體系時，有理有據(jù)，從理論中來，到教學實踐中去，最后再反饋和修正機制，使得更加科學完善。

同時，關于“綠色指標”評價，應根據(jù)各個學校的實際情況，選擇主要影響因素來分析學生、教師、家庭、學校、社會等方面的相互影響性。對于“綠色指標”評價體系而言：一方面，要關注普遍傾向性明顯的作答情況，此說明學生與家庭的普遍訴求與愿望；另一方面，要重點關注某些因素(如學業(yè)水平因素)與其余某些因素之間的關系，以作為“綠色指標”的重要應用之一。針對后續(xù)規(guī)劃，我們可以進一步分析其余因素間影響，優(yōu)化問卷調(diào)查形式及內(nèi)容，保證進行的客觀性，持續(xù)關注效果反饋等。

將數(shù)學統(tǒng)計分析應用于教學評價中，無疑為我們得出的結論提供了強有力的保障，使得我們在教育改革的路上，走得自信，科學，可持續(xù)發(fā)展。

[1] 薛薇.統(tǒng)計分析與SPSS的應用(第4版)[M].北京:中國人民大學出版社,2014.90～97.

[2] 趙東方.數(shù)學模型與競賽[M].武漢:華中師范大學出版社,2014.50～70.

[3] Rick Durrett.Probability:Theory and Examples[M].Oxford:Cambridge University Press,2010.20～22.

責任編輯：熊 瑛

2017-01-12

2095-4654(2017)03-0148-05

O212.4

A