安徽省合肥市第四十六中學(xué) (郵編：230601)

安徽省中考數(shù)學(xué)“第14題現(xiàn)象”引發(fā)的思考

安徽省合肥市第四十六中學(xué)許紅(郵編：230601)

從2010年以來，安徽省中考數(shù)學(xué)第14題一直是多選型填空題，其立意新穎、可信度高、綜合性強(qiáng)、深入考查了學(xué)生的多種能力，具有一定的選拔功能.歷年來這道是學(xué)生失分率較高的一題，往往也是全卷最難的一題，尤其是幾何綜合題，我們不妨稱之為“第14題現(xiàn)象”.我們通過對(duì)近三年安徽省中考數(shù)學(xué)第14題進(jìn)行深入分析、探究,發(fā)現(xiàn)其存在著某些"共性",現(xiàn)總結(jié)如下，供日常教學(xué)或中考復(fù)習(xí)參考.

1 試題解析

圖1

例1 (2014年第14題)如圖1，在ABCD中，AD=2AB，F(xiàn)是AD的中點(diǎn)，作CE⊥AB，垂足E在線段AB上，連接EF、CF，則下列結(jié)論中一定成立的是______．(把所有正確結(jié)論的序號(hào)都填在橫線上)

③S△BEC=2S△CEF；④∠DFE=3∠AEF．

圖2

解析這是一道以平行四邊形為題材背景，結(jié)合全等三角形、等腰三角形以及直角三角形構(gòu)建而成的一道綜合題.要求學(xué)生能夠運(yùn)用數(shù)學(xué)的眼光分辨出圖中的基本圖形，以及它們之間的關(guān)系，從而進(jìn)行有關(guān)的操作、計(jì)算、證明與探究，揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)，這對(duì)于培養(yǎng)、訓(xùn)練學(xué)生的空間觀念、動(dòng)手操作、合情推理和探究能力等具有重要的作用.

②如圖2，通過作輔助線(延長(zhǎng)EF，交CD延長(zhǎng)線于M)證△AEF與△DFM全等得FE=MF，由CE⊥AB，得∠BEC=90°，由平行四邊形性質(zhì)得到AB∥CD，所以∠ECD=∠BEC=90°，又CF是Rt△ECM斜邊EM上的中線，所以FC=FM，故選項(xiàng)②正確；③在②的基礎(chǔ)上很容易可得EF=FM，根據(jù)中線的性質(zhì)可以得到S△ECM=2S△EFC=2S△CFM,

圖3

顯然MC>BE，所以S△BEC<2S△EFC,故選項(xiàng)③是錯(cuò)誤的；④在①、②的基礎(chǔ)上得DF=DC,CF=FM，所以∠DCF=∠DFC=∠M，又由AB∥CD得∠AEF=∠M=∠DFC，根據(jù)三角形外角定理可得∠EFC=∠DCF+∠M=2∠AEF，所以∠DFE=3∠AEF.

本題也可以根據(jù)角度換算得到結(jié)果，如：

設(shè)∠FEC=x，則∠FCE=x，∠DCF=∠DFC=90°-x，

根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得∠EFC=180°-2x，則∠EFD=90°-x+180°-2x=270°-3x，

又∠AEF=90°-x，所以∠DFE=3∠AEF，故選項(xiàng)④正確．

例2 (2015年第14題)已知實(shí)數(shù)a、b、c滿足a+b=ab=c，有下列結(jié)論：

③若a=b=c，則abc=0；④若a、b、c中只有兩個(gè)數(shù)相等，則a+b+c=8.

其中正確的是__________(把所有正確結(jié)論的序號(hào)都選上).

解析本題以三個(gè)實(shí)數(shù)滿足一個(gè)連等式為背景命制而成，綜合考查等式的基本性質(zhì)、分式與整式的運(yùn)算、解一元一次方程等相關(guān)知識(shí)，對(duì)學(xué)生的能力要求較高.

對(duì)于選項(xiàng)③，把條件a=b=c代入條件等式a+b=ab=c，可得關(guān)于a的等式2a=a2=a，解得a=0，故選項(xiàng)③正確.

對(duì)于選項(xiàng)④，由條件，可按三種情況討論，即a=b或b=c或a=c，分別代入等式a+b=ab=c，均可得a+b+c=8，故選項(xiàng)④正確．

圖4

例3 (2016年第14題)如圖，在矩形紙片ABCD中，AB=6，BC=10，點(diǎn)E在CD上，將△BCE沿BE折疊，點(diǎn)C恰落在邊AD上的點(diǎn)F處；點(diǎn)G在AF上，將△ABG沿BG折疊，點(diǎn)A恰落在線段BF上的點(diǎn)H處，有下列結(jié)論：

①∠EBG=45°；②△DEF∽△ABG；

其中正確的是__________．(把所有正確結(jié)論的序號(hào)都選上)

解析本題以矩形為背景，通過折疊構(gòu)建軸對(duì)稱圖形來解決問題，由于折疊前后折疊部分圖形的形狀、大小不變，因此利用軸對(duì)稱性，可以將問題轉(zhuǎn)化為線段和角的相等關(guān)系，再利用勾股定理或相似來求解.

對(duì)于選項(xiàng)②，如圖4，由條件得CE=FE，BF=BC=10，又由于∠DFE=∠ABF≠∠ABG≠∠AGB，所以△ABG與△DEF不相似，所以②是錯(cuò)誤的；

對(duì)于選項(xiàng)④，設(shè)AG=x，則GH=x，GF=8-x，在Rt△HGF中，根據(jù)勾股定理計(jì)算得AG=GH=3，GF=5，所以AG+DF=GF，所以④正確．

2 對(duì)課堂教學(xué)的啟示

縱觀近年安徽省中考數(shù)學(xué)試卷，作為選擇型填空題的第14題，是全卷難度較大的一題，主要是這一題的綜合性較強(qiáng)，考查面廣，對(duì)學(xué)生的知識(shí)、技能與能力都有很高的要求.雖然我們知道，在中考時(shí)，有許多學(xué)生是憑著感覺在“蒙”！但中考作為選拔性考試，有這么一道對(duì)學(xué)生能力要求較高的試題還是非常必要的！這樣的題目在日常教學(xué)中應(yīng)該讓學(xué)生當(dāng)作非選擇型填空題來嘗試解答，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深入探究，讓學(xué)生能夠觸及知識(shí)和方法的本質(zhì)，使他們知其所以然.

(1)從理解數(shù)學(xué)本質(zhì)的角度進(jìn)行概念教學(xué)

數(shù)學(xué)概念是構(gòu)建數(shù)學(xué)理論的基石，是推導(dǎo)數(shù)學(xué)定理和數(shù)學(xué)法則的邏輯基礎(chǔ)，也是提高解題能力的前提.在教學(xué)中要注重概念產(chǎn)生的背景，揭示概念形成的過程，達(dá)到對(duì)概念的實(shí)質(zhì)性理解，實(shí)現(xiàn)真正的內(nèi)化.通過近幾年安徽省中考數(shù)學(xué)第14題的分析，考查內(nèi)容雖然側(cè)重點(diǎn)有所不同，但以數(shù)學(xué)核心概念和主干內(nèi)容為載體考查學(xué)生的數(shù)學(xué)能力與數(shù)學(xué)素養(yǎng)始終是主要目標(biāo).教學(xué)中教師要幫助學(xué)生分析概念的內(nèi)涵與外延，相近概念及性質(zhì)的區(qū)別和聯(lián)系，關(guān)注概念、性質(zhì)中獨(dú)特的成分，以促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)的記憶和理解.

(2)重視數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累和數(shù)學(xué)思想方法的滲透

按照《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2012年版)》的要求，要重視“四基”，安徽卷第14題很好地體現(xiàn)了這種要求.2012年、2013年、2015、2016年第14題對(duì)學(xué)生的思維水平要求較高，僅僅通過“題海戰(zhàn)術(shù)”是無法達(dá)到考查要求的.試題對(duì)轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想、方程思想、建立模型思想均有不同程度的考查.因此，在教學(xué)中千萬不能將解決問題作為教學(xué)的結(jié)束，而應(yīng)努力把數(shù)學(xué)思想方法的滲透與數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累貫穿教學(xué)全過程，使學(xué)生在學(xué)習(xí)中提高能力.

(3) 培養(yǎng)學(xué)生的演繹推理與合情推理的能力

新課標(biāo)中提出 “學(xué)生通過義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、證明等數(shù)學(xué)活動(dòng)，發(fā)展合情推理能力和初步的演繹推理能力.”因此，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，既要強(qiáng)調(diào)思維的嚴(yán)密性，結(jié)果的正確性，也要重視思維的直覺探索性和發(fā)現(xiàn)性，即應(yīng)重視數(shù)學(xué)合情推理能力的培養(yǎng).縱觀近幾年的第14題，四個(gè)結(jié)論中有的可以利用直覺思維、圖形反例進(jìn)行判斷，有的要通過嚴(yán)格推理進(jìn)行判斷，平時(shí)教學(xué)中要同等重視演繹推理與合情推理能力的培養(yǎng).

(4) 教師重視自身解題能力的提高

一位深受學(xué)生歡迎的數(shù)學(xué)教師，首先必須是一位解題能手，最好能成為一位解題專家.若一位教師，面對(duì)學(xué)生提出的問題，總是不能現(xiàn)場(chǎng)解答，而是過后才能給學(xué)生講解，那么時(shí)間一長(zhǎng)就會(huì)在學(xué)生中威信掃地，教師沒了權(quán)威，教學(xué)效果可想而知.解題水平高的教師，面對(duì)學(xué)生提出的問題總是信心十足，敢于現(xiàn)場(chǎng)給予解答，師生共同經(jīng)歷如何思考、如何修正錯(cuò)誤思路、如何找到正確思路的探索過程，長(zhǎng)此以往，不僅樹立了教師的權(quán)威，更為重要的是學(xué)生學(xué)會(huì)了怎樣解題.教師解題水平高的標(biāo)志之一，就是面對(duì)一個(gè)復(fù)雜的問題，會(huì)分析問題，會(huì)優(yōu)化問題解決的策略，往往能用一種簡(jiǎn)單的方法給予簡(jiǎn)捷的解答.所以，教師不僅會(huì)“通法”，而且要會(huì)“巧解”.

縱觀歷年安徽省中考數(shù)學(xué)第14題，可以預(yù)見未來幾年仍會(huì)延續(xù)這種趨勢(shì)，因?yàn)樗⒅乜疾閷W(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解、數(shù)學(xué)思想方法的掌握，而且其對(duì)數(shù)學(xué)思考的深度、探究與創(chuàng)新的水平及應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題的能力有更高要求，從而發(fā)揮甄別與選拔功能.

《數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)》介紹

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2017-03-22)