江蘇省無錫市太湖格致中學 (郵編：214125)江蘇省無錫市水秀中學 (郵編：214125)

拉長知識探究過程 注重數(shù)學思維感悟

江蘇省無錫市太湖格致中學陳鋒(郵編：214125)江蘇省無錫市水秀中學張杭嫣(郵編：214125)

1 問題提出

《義務教育數(shù)學課程標準(2011年版)》的主要變化是從“雙基”到“四基”，突出了對數(shù)學“基本活動經(jīng)驗”的相關要求.這就要求我們教師在課堂教學中要放慢教學節(jié)奏，舍得花時間讓學生體驗探究知識的形成過程；讓學生有足夠的時間和空間經(jīng)歷觀察、實驗、猜測、計算、推理、驗證等活動過程，逐步積累活動經(jīng)驗、感悟數(shù)學思想、形成思維能力．下面，結合自己的教學實踐，來談一點自己對通過拉長知識探究過程促進學生數(shù)學思維能力發(fā)展的體會．

2 基于拉長知識探究過程的操作策略

2.1 概念、定義的探究——放慢節(jié)奏，感悟本質屬性

李邦河院士的“數(shù)學，根本上是玩概念的”，說明概念對數(shù)學教學的重要性.在概念教學中，有部分教師只是簡單直接地將有些概念、定義告知學生的，讓學生強化記憶，然后就可以配合大量的課堂練習來達到鞏固的效果，這樣做僅僅是對概念的表層記憶，可能對學生短期記憶有效，但真的經(jīng)得起時間的檢驗嗎？學生能從本質上真正的理解這個定義嗎？答案是不言而喻的．

案例1反比例函數(shù)的概念探究：

一輛汽車從南京開往上海，表示出下面式子中的數(shù)量關系.

(1)若汽車行使速度為60千米/時，汽車行使的路程S隨時間t的變化而變化；

(2)若汽車先按(1)的速度行使了50千米，再按80千米/時繼續(xù)行使，汽車行使的路程S隨時間t的變化而變化；

(3)南京到上海的路程為300千米，時間t隨速度v的變化而變化.

探究一時間t是速度v的函數(shù)嗎?

對比函數(shù)定義，你認為時間t是速度v的函數(shù)嗎?答案是肯定的．

探究二時間t是速度v的一次函數(shù)嗎?答案顯然是否定的，那么時間t和速度v之間又會存在怎樣的函數(shù)關系呢?

你有什么辦法能更直觀地展示出時間t是如何隨著速度v的變化而變化的嗎?如果學生遇到困難，教師可引導函數(shù)的不同表示方法，找到表格的直觀工具．

速度v(千米/時)…608090100120…時間t(小時)…5154103352…

通過表格， 再次強化函數(shù)定義，明確時間t是速度v的函數(shù)．直觀感受速度增大，時間就減少的關系，體會與小學階段所學兩個量成反比這一知識點間的聯(lián)系．

探究三你還能找到生活中那些量之間存在類似上題中時間t和速度v之間的函數(shù)關系呢?學生思考后舉例：

(1)面積為54的矩形的長與寬；

(2)乘積為200的兩個數(shù)……

效能分析在上述反比例函數(shù)概念的探究中，教師沒有將學生當作接受知識的容器，而是基于學生對一次函數(shù)和正比例函數(shù)的理解.通過三個的自主探究過程，從學生對函數(shù)概念的表層理解，到認知沖突，再深入到了反比例函數(shù)本質屬性的理解，可能這樣的概念探究比直接告知概念學生要多花幾分鐘時間．但是，這三個遞進式的探究過程，讓學生經(jīng)歷對反比例函數(shù)概念的感悟和理解的過程，做到“知其然，更知其所以然”，學生可以充分理解并揭示概念的本質屬性，有利于學生的思維延伸和拓展．策略引申張文質先生認為“教育是慢的藝術”，我們必須在教學過程中，放慢定義的生成過程，放大知識的形成過程，加強新知識與已有知識的聯(lián)接與對比過程，注重知識的“生長點”與“延伸點”，引導學生經(jīng)歷猜想、操作、思考、歸納等體驗性過程，并及時對方法、結論進行總結，就可以不斷激發(fā)學生思維的靈感.在思考中不斷提升已有的知識與結論，形成增長點，從而自然引發(fā)新的定義與結論，并能逐步使學生積累思維的活動經(jīng)驗落到實處．

2.2 公式、法則的探究——放手拓展，提升學習能力

數(shù)學中的公式和法則是數(shù)學對象之間的規(guī)律性反映，它們都是思維的結果，是智慧的結晶，這一特征注定了它們只能以“靜態(tài)”的形式呈現(xiàn)在教材上.因此在公式教學時，教師的任務絕不僅僅是把“靜態(tài)”的結論告訴學生，而是要引導學生探究公式與法則的由來，弄清楚這個公式是怎么產(chǎn)生的，能用來解決哪些問題，從而做到“舉一反三，融會貫通”．

案例2多邊形內角和的公式探究

上節(jié)課我們學習了三角形的內角和為180°，你知道四邊形的內角和是多少嗎?你是如何得到的呢?

圖1

學生輕松地就能說出四邊形內角和360°，并回答：因為正方形每個角是90°，所以四邊形內角和360°．在辨析過這個問題后，鼓勵學生繼續(xù)思考，方法也不難得到：把四邊形轉化成三角形，如圖1充分體現(xiàn)出了數(shù)學中化未知為已知的基本思想.但如果教師希望思維之花能繼續(xù)綻放出更絢爛的花朵，就可以繼續(xù)留足充分的時間給學生，他們將會回報你足夠多的精彩!

圖2

圖3

圖4

圖5

圖6

圖7

圖8

教師繼續(xù)鼓勵學生：你還能找到其他證明四邊形內角和360°的方法嗎?提醒學生：在自己的紙上畫一畫，試一試，15分鐘后，我們又得到了以下的七種證明方法．

圖2：連結BD并延長至E，利用外角得∠ADE=∠ABD+∠A，∠CDE=∠CBD+∠C，故∠A+∠ABC+∠C+∠ADC=∠ADE+∠CDE+∠ADC=360°．

圖3：在BC上取點E，連結AE、DE，由三角形內角和180°可得∠BAD+∠B+∠C+∠ADC=180°×3-180°=360°.

同理可得，當點E取在四邊形內和四邊形外時，就出現(xiàn)了圖4和圖5的情況．

圖6：過點D作DE∥BC，由平行的性質可得∠AED=∠B，∠EDC+∠C=180°，故∠A+∠B+∠C+∠ADC=∠A+∠AED+∠C+∠EDC+∠ADE=180°+180°=360°．

圖7：延長BA、CD交于點E，故∠BAD+∠B+∠C+∠ADC=540°-180°=360°．

圖8：同圖7，只是在分割的過程中多轉了幾個彎，并出現(xiàn)了特殊的直角三角形與矩形．

效能分析這一探究過程花費了15分鐘的時間，在經(jīng)歷了上述八種多邊形內角和的公式探究過程，學生充分地體會到了證明四邊形內角和為360°的基本思路：把未知的四邊形內角和轉化為已知的三角形內角和來完成求解過程．這15分鐘的探究正是學生能力提升所需要的理性思維的時間與空間，在這15分鐘中，學生在圖1的基礎上，繼續(xù)深度思考，思維得以碰撞，火花得以靈現(xiàn)，最后有了這8種探究的成果，你還怕他們不會完成多邊形的內角和的課題探究嗎？你還愁他們在以后的幾何學習過程中不能勇于探索嗎？因此，放手讓學生參與才是硬道理．有效課堂，并不在于課堂上到底講了多少道題目，而在于學生究竟得到了多大的發(fā)展．只有放手學生參與，學生的思維才會真正盡情綻放，學生的能力才能真正大放異彩．策略引申美國華盛頓國立圖書館的墻壁上寫著：我聽見了，但可能忘掉；我看見了，就可能記住；我做過了，便真正理解了．由此可見，讓學生親身經(jīng)歷實驗操作是多么重要！學生在“做數(shù)學”的氛圍中主動學習數(shù)學知識，在“做”的過程中積極思考問題，引發(fā)直觀猜想，并激發(fā)學生探究的欲望，學生探究的空間被無限放大．從而在“做數(shù)學”的過程提升動手能力、思維能力、發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題等各方面的能力．這樣的教學，更有利于學生主動地掌握知識和形成能力．

2.3 定理、命題的探究——聯(lián)系前后，培養(yǎng)思維能力

定理是幾何基礎知識重要的組成部分．定理或結論的得出是有根有據(jù)的，其推出一般都遵循著從特殊到一般的認知規(guī)律．因此，定理教學的重點與難點就是定理的推出與證明，而推理證明也恰是鍛煉、培養(yǎng)學生邏輯推理能力的一條重要途徑．在定理的探究過程中不僅僅是要使學生記住定理，更會用定理去解題，還應通過啟迪和引導，使學生參與到定理的形成過程中去.

案例3三角形相似的判定定理探究

我們已經(jīng)學習了(1)兩角對應相等，兩三角形相似；(2)兩邊對應成比例且夾角相等，兩三角形相似，你猜測還會有什么判定方法呢?

類比相似三角形與全等三角形的關系，學生能很自然地猜想到：三邊對應成比例，兩三角形相似．

探究一這個結論正確嗎?

在教師適當?shù)膯l(fā)與前面相似三角形已有的學習經(jīng)驗的組合作用下學生會自然想到在已知和求證架起一座橋梁——構造△DMN與△ABC全等，與△DEF相似，從而自然解決問題．

效能分析在這一定理的探究過程中，教師采用了“從特殊到一般”的教學方法.基于學生已知的全等三角形的判定定理，先引導學生探究相似三角形與全等三角形的關系，再探究出相似三角形的判定定理.在操作與探究中通過合情推理先直觀地猜測結論，在此基礎上進一步提高要求，如何進行嚴密的邏輯推理最終形成定理結論呢？此時，前面兩節(jié)課中已經(jīng)遇到的“構造法”在教師適當?shù)膯l(fā)下進入學生的視線，輕松突破難點．這樣的探究設計合乎學生已有認知經(jīng)驗和思維發(fā)展規(guī)律的教學流程，按學生認知結構規(guī)律進行教學，體現(xiàn)數(shù)學定理的形成與發(fā)展的過程，從而使學生思維能力得到有效的培養(yǎng)和發(fā)展．策略引申《課標(2011年版)》明確指出：“教學活動是師生積極參與、交往互動、共同發(fā)展的過程．”從中可以看出，有效教學，必須把教師的教落實到學生的學上去．課堂，如果學生不積極參與，最后又怎談得上學習效果的提升呢？所以，教師的所有教學行為，在最后都反映在學生的學習成果上．數(shù)學教學的根本任務不僅在于向學生傳授知識，更重要的是培養(yǎng)學生的思維能力．初中數(shù)學定理的教學，尤其是初始階段，即使是學生很熟悉的簡單定理的教學，也不能不重視定理的形成過程，要遵循特殊到一般，具體到抽象的認知規(guī)律，從而達到培養(yǎng)學生的數(shù)學推理能力、邏輯思維能力和創(chuàng)新意識，體現(xiàn)數(shù)學定理的形成與發(fā)展的過程的目的．3對拉長知識探究過程的操作思考

數(shù)學學習的過程，常常是看似很深奧的知識，通過努力構思前后教學活動之間的關聯(lián)，加強知識體系上的前后一致，研究方法上的“基本套路”的延續(xù)強化，就可以化難為易；同時也會有些看似很淺顯易懂的內容，只有深入到的“其內部”，努力使隱性的活動經(jīng)驗顯性化，將探究中所獲得的經(jīng)驗外顯為可觀察、可總結、可檢測的數(shù)學學習能力，才能發(fā)現(xiàn)其中別有洞天．無論是化難為易還是深入淺出，只有讓學生親身經(jīng)歷這些“驚心動魄”的過程，這才是有效的．在探索的過程中學生認真體會著數(shù)學中發(fā)現(xiàn)、類比、化歸、建模等基本思想，也努力感悟著猜想、試驗、探索、歸納等重要的數(shù)學方法，當這些思想與方法在我們的課堂上慢慢積累，在問題解決的過程中徐徐推進時，他們從最初的朦朧狀態(tài)走向明朗，再到自覺運用，這既是學習的過程，也是經(jīng)驗的積累．久而久之，學生學會了自覺地積累經(jīng)驗，學會敢想敢問從而具備勇于創(chuàng)新的精神，真正做到理解和掌握知識技能，體會和運用思想方法，積累和沉淀學習經(jīng)驗、形成和發(fā)展個性能力，變“學會”為“會學”！

數(shù)學課堂是數(shù)學思維靈動的課堂，而只有注重探究式教學，才能讓學生在數(shù)學的海洋中盡情享受．在概念、命題等數(shù)學知識的教學中，只有拉長探究過程，通過數(shù)學思想、方法的滲透去“浸潤”數(shù)學知識，學生才能真正理解，也只有關注概念等知識的形成過程并注重方法與思想的總結與提升，才能讓學生真正感悟博大精深的數(shù)學思想．讓我們靜心沉浸于每節(jié)課上探究的量變，耐心等待時間、經(jīng)驗累積帶來的質變，讓我們一起靜待花開的聲音吧！

2017-04-05)