郝亞文，李宇華

(山西大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山西 太原 030006)

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漸近周期的Kirchhoff-Schr?dinger-Poisson系統(tǒng)非平凡解的存在性

郝亞文，李宇華

(山西大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山西 太原 030006)

針對(duì)Kirchhoff系統(tǒng)和Schr?dinger-Poisson系統(tǒng)非平凡解的存在性研究較少的問(wèn)題，在漸近周期的假設(shè)下，利用山路引理證明了當(dāng)V、f是漸近周期函數(shù)時(shí)，Kirchhoff-Schr?dinger-Poisson系統(tǒng)非平凡解的存在性。

Kirchhoff-Schr?dinger-Poisson系統(tǒng)；山路定理；漸近周期；非平凡解

0 引言

近年來(lái)，許多學(xué)者研究了Kirchhoff系統(tǒng)

(1)

和Schr?dinger-Poisson系統(tǒng)

(2)

其中：系統(tǒng)(1)通過(guò)考慮振動(dòng)時(shí)改變繩子長(zhǎng)短的效果擴(kuò)展了D’Alembert波方程；系統(tǒng)(2)是描述非線性薛定諤方程與靜電場(chǎng)相互作用的駐波模型。系統(tǒng)(1)和系統(tǒng)(2)更詳細(xì)的物理背景可以參閱文獻(xiàn)[1-2]。 對(duì)于系統(tǒng)(1)解的研究結(jié)果，可以參閱文獻(xiàn)[3-6]。 對(duì)于系統(tǒng)(2)，在V(x)和f(x,u)的不同假設(shè)下，很多研究已經(jīng)證明了其解的存在性。例如，文獻(xiàn)[7]研究了系統(tǒng)(2)的徑向?qū)ΨQ解；文獻(xiàn)[8]研究了系統(tǒng)(2)基態(tài)解的存在性；文獻(xiàn)[9]研究了系統(tǒng)(2)正解的存在性；文獻(xiàn)[10]研究了系統(tǒng)(2)的多解性。

但是，在漸近周期的假設(shè)下，目前的研究結(jié)果相對(duì)較少。受到文獻(xiàn)[11-12]的啟發(fā)，本文將研究在漸近周期的假設(shè)下，系統(tǒng)

(3)

解的存在性。為了獲得本文的結(jié)論，先定義集合

其中：meas為L(zhǎng)ebesgue側(cè)度。

條件(f1)：存在一個(gè)有界開(kāi)區(qū)域D，使得

對(duì)x∈D一致成立。

(b)t在(-∞，0)不增，并且在(0，∞)不減。

對(duì)于勢(shì)函數(shù)V(x)，假設(shè)其滿足下面的條件。

本文的主要結(jié)果是：

定理1 假設(shè)條件(f1)～條件(f3)和條件(V)成立，則當(dāng)λ很小時(shí)，系統(tǒng)(3)具有非平凡解。

1 主要結(jié)果的證明

首先，給出一些記號(hào)和定義。在H1(R3)中，定義系統(tǒng)(3)相應(yīng)的泛函I:H1(R3)→R，

進(jìn)一步，由條件(f2)有：

引理2 假設(shè)條件(f1)～條件(f3)和條件(V)成立，則泛函I的Cerami 序列在H1(R3)中有界。

證明 設(shè){un}是泛函I的一個(gè)Cerami序列，則有：

(4)

上式可變形為：

(5)

于是，

(6)

取δ>0，使得

則把式(5)和式(6)代入式(4)，可得：

選擇ε充分小，當(dāng)n充分大時(shí)，

其中：C2為常數(shù)。這說(shuō)明{un}在L3(R3)有界，進(jìn)一步{un}在H1(R3)中有界。

引理3 假設(shè)條件(f1)～條件(f3)成立，則：

證明 (Ⅰ)令u∈H1(R3)，則由條件(f3)有：

則取ρ充分小，有：

為了證明定理1，定義

2 定理1的證明

(Ⅰ)u≠0，則u是系統(tǒng)(1)的解。

所以，v是泛函Φ的臨界點(diǎn)。

由Fatou引理[14]有：

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國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11301313);山西省自然科學(xué)基金項(xiàng)目(2015021007)

郝亞文(1990-),女,山西呂梁人,碩士生;李宇華(1981-),女,山西太原人,副教授，博士，碩士生導(dǎo)師,主要研究方向?yàn)榉蔷€性泛函分析.

2016-10-07

1672-6871(2017)03-0095-05

10.15926/j.cnki.issn1672-6871.2017.03.020

O177.91

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