蘇燕

[摘 要] 從學(xué)生的角度來看數(shù)學(xué)概念的構(gòu)建過程，可以彌補(bǔ)教師視角所帶來的一些不足. 關(guān)注數(shù)學(xué)概念構(gòu)建過程中的先前經(jīng)驗(yàn)、思維方式與思維水平三個(gè)關(guān)鍵因素，可以有效地把握學(xué)生的概念構(gòu)建情況，從而能夠促進(jìn)數(shù)學(xué)概念的有效教學(xué).

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)概念；概念構(gòu)建；思維

概念是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)概念的形成過程是什么樣的？對于這個(gè)問題的回答關(guān)系到學(xué)生能否有效地獲得準(zhǔn)確的概念認(rèn)知.傳統(tǒng)教學(xué)視野中，數(shù)學(xué)概念的教學(xué)過程常常是濃縮的，因?yàn)樾枰獜闹袛D出時(shí)間用以習(xí)題訓(xùn)練；而由于濃縮了學(xué)習(xí)時(shí)間，因此概念的學(xué)習(xí)過程基本上是由教師主導(dǎo)的，因而學(xué)生的自主參與就顯得有些不足，這客觀上會(huì)影響學(xué)生對概念的內(nèi)化. 基于這樣的現(xiàn)狀，筆者以為需要從學(xué)生視角研究概念的構(gòu)建過程，尤其是從學(xué)生思維的角度，去分析學(xué)生是如何認(rèn)識、理解一個(gè)數(shù)學(xué)概念的. 函數(shù)是高中階段極為重要的概念之一，筆者在教學(xué)中以函數(shù)概念為研究對象，仔細(xì)分析學(xué)生在函數(shù)概念習(xí)得過程中的思維情況，形成了豐富的認(rèn)識與思考.

[?] 不可忽視的先前經(jīng)驗(yàn)

將學(xué)生的學(xué)習(xí)視作學(xué)生自己的事，是建立學(xué)生視角的重要理念，而這跟建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論是高度一致的. 建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論的一個(gè)重要觀點(diǎn)，就是學(xué)生的先前經(jīng)驗(yàn)是學(xué)生建構(gòu)知識的基礎(chǔ)，而先前經(jīng)驗(yàn)與傳統(tǒng)學(xué)習(xí)心理學(xué)中的前概念有類似的地方，其都以學(xué)生原有的知識基礎(chǔ)、生活經(jīng)驗(yàn)等為研究對象，都以其對新知識學(xué)習(xí)的作用為研究重心. 在高中函數(shù)概念建構(gòu)的過程中，先前經(jīng)驗(yàn)是不可忽視的，尤其是其發(fā)揮作用的機(jī)制是需要研究的.

首先需要說明的是，高中階段函數(shù)概念的構(gòu)建并不是某一課時(shí)的事，從開始接觸函數(shù)概念到其后一系列函數(shù)的構(gòu)建，都是對函數(shù)概念的認(rèn)識不斷深化的過程，也可以視作函數(shù)概念不斷豐富、立體化的過程.在這個(gè)過程中，學(xué)生的原有知識與經(jīng)驗(yàn)等，會(huì)不斷地發(fā)揮先前經(jīng)驗(yàn)的作用. 具體可以從如下幾點(diǎn)來闡述：

第一，一般意義上的概念學(xué)習(xí)，需要從概念自身的本質(zhì)屬性的多少來形成對概念的認(rèn)識. 其中，本質(zhì)屬性越多，則概念掌握相對要容易一些. 就高中階段的函數(shù)概念學(xué)習(xí)而言，由于學(xué)生在此前已經(jīng)接觸過從解析式、圖像等角度認(rèn)識函數(shù)概念，因此從字面理解的角度來看，函數(shù)并不陌生. 但是需要注意的是，高中階段的函數(shù)概念是從集合、變量以及對應(yīng)法則的角度來定義的，這個(gè)屬性對于學(xué)生來說并不是非常熟悉——盡管此前已經(jīng)學(xué)過集合概念，盡管對應(yīng)法則在函數(shù)概念建立的過程中會(huì)被教師多次強(qiáng)調(diào)，但學(xué)生的認(rèn)知困難主要發(fā)生在定義方式上，從經(jīng)驗(yàn)性的解析式認(rèn)知，到集合與對應(yīng)法則的角度轉(zhuǎn)換，對于學(xué)生來說是一個(gè)挑戰(zhàn). 實(shí)際上也就是說從先前經(jīng)驗(yàn)的角度來看，就是學(xué)生原有的關(guān)于函數(shù)的認(rèn)知，難以成為支撐此時(shí)函數(shù)概念構(gòu)建的基礎(chǔ). 但是如果這個(gè)難點(diǎn)被突破，那后面的其他具體的函數(shù)概念，如指數(shù)、對數(shù)函數(shù)等，學(xué)起來反而相對要容易得多，因?yàn)榈侥莻€(gè)時(shí)候，此前已經(jīng)熟悉的從解析式、圖像、定義域、值域、單調(diào)性等角度描述函數(shù)，對學(xué)生而言已經(jīng)成為一個(gè)相對熟悉的模式，即已經(jīng)成為相對熟悉的先前經(jīng)驗(yàn)，是可以發(fā)揮其對新概念的支撐作用的. （這里亦可以從上位概念與下位概念的關(guān)系來理解，限于篇幅，茲不贅述.）

第二，從學(xué)生具體構(gòu)建函數(shù)概念的過程來看，學(xué)生的先前經(jīng)驗(yàn)仍然發(fā)揮著重要的支撐作用. 經(jīng)驗(yàn)表明，即使從變量與對應(yīng)法則等角度明確了高中階段函數(shù)概念的理解之后，學(xué)生對函數(shù)的認(rèn)識更多的依然停留在經(jīng)驗(yàn)階段，當(dāng)問學(xué)生什么是函數(shù)的時(shí)候，更多的學(xué)生仍然愿意從具體的事例角度來給出答案，而不是從高中階段函數(shù)定義的角度給出解釋. 記得有一次高三復(fù)習(xí)階段，筆者口頭向?qū)W生提問關(guān)于函數(shù)概念的理解時(shí)，仍然有三分之一左右的學(xué)生，通過列舉所學(xué)過的不同函數(shù)來說明他們對函數(shù)概念的理解，而對于最基本的定義則似乎忘到了九霄云外. 這至少說明一個(gè)問題，那就是高中階段的數(shù)學(xué)概念教學(xué)，不能奢望學(xué)生一接觸定義就能實(shí)現(xiàn)思維的轉(zhuǎn)變，一定要給學(xué)生以較長的時(shí)間，讓他們慢慢實(shí)現(xiàn)這個(gè)轉(zhuǎn)變，所謂概念建立的艱難，正在于此（當(dāng)然，這里也有另一個(gè)原因，那就是在函數(shù)概念的運(yùn)用過程中，實(shí)際上確實(shí)是以具體的函數(shù)來作為研究對象的，直接從定義角度考查學(xué)生的理解的情形較少，導(dǎo)致學(xué)生對函數(shù)概念的理解必然建立在具體函數(shù)的基礎(chǔ)之上，而不是從定義角度形成深刻理解）.

第三，從默會(huì)知識的角度看函數(shù)概念建立過程中先前經(jīng)驗(yàn)的作用. 先前經(jīng)驗(yàn)在支撐某一個(gè)具體的數(shù)學(xué)概念的時(shí)候，常常是以默會(huì)知識的形式發(fā)揮作用的，也就是學(xué)生還沒有意識到，但事實(shí)上已經(jīng)發(fā)生了. 比如說在從“函數(shù)是數(shù)集到數(shù)集的映射”這一表述上理解函數(shù)概念的時(shí)候，學(xué)生嘴里說的是這么一句話，但思維中可能就是一個(gè)具體的函數(shù)實(shí)例，在經(jīng)由思維完成對應(yīng)概念的加工過程中，所表述出來的這句話，更多的是默會(huì)知識作用的結(jié)果，而不是真正的對函數(shù)定義的理解，這常常容易讓教師認(rèn)為是死記硬背，其實(shí)對于學(xué)生來說這其實(shí)是先前經(jīng)驗(yàn)通過默會(huì)知識支撐起的對概念的淺層次理解，不宜與機(jī)械記憶畫等號.

[?] 值得重視的思維方式

思維方式對概念建立有著極為重要的影響，縱觀數(shù)學(xué)史可以發(fā)現(xiàn)，對于同樣的一種數(shù)學(xué)關(guān)系，不同思維方式下描述往往是不同的. 舉一個(gè)簡單的例子，對于勾股定理，西方人往往會(huì)從一般性規(guī)律的角度去尋求描述，而中國人則從具體事例的角度給出“勾三股四弦五”的表述. 在學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的過程中，也需要重視思維方式所發(fā)揮的作用.

研究表明，高中學(xué)生在建立概念的過程中，常常有這樣的兩種表現(xiàn)：一種表現(xiàn)是部分學(xué)生喜歡從文字定義的角度學(xué)習(xí)概念，而另一種學(xué)生則喜歡借助于具體實(shí)例或構(gòu)建新的圖形（包括思維導(dǎo)圖）來理解概念. 這實(shí)際上就是思維方式的不同，前者說明學(xué)生喜歡以抽象思維的形式建立概念，而后者則顯然是形象思維的產(chǎn)物. 教育心理學(xué)研究表明，擅長抽象思維的學(xué)生所依靠的思維對象就是文字之類的對象，而形象思維者則需要結(jié)合具體的表象（如果沒有現(xiàn)成的表象，他們就會(huì)創(chuàng)造表象）來輔助理解概念. 實(shí)際教學(xué)中，教師如果能夠關(guān)注到不同學(xué)生的思維方式，那對數(shù)學(xué)概念的教學(xué)將會(huì)起到十分明顯的促進(jìn)作用.