姜洪超

[摘 要] 高中數(shù)學(xué)教師不能在課堂上照本宣科，我們的教師要善于發(fā)掘教材中的隱性資源，從而更好地促進(jìn)學(xué)生發(fā)展. 本文從數(shù)學(xué)教材中隱性資源的內(nèi)涵出發(fā)，聯(lián)系具體案例，探討了隱性資源在實(shí)際教學(xué)中的滲透.

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué)；隱性資源；案例分析

眾所周知，只會(huì)照本宣科的教師不是一個(gè)稱職的教師，我們的教師要善于對教材進(jìn)行深度發(fā)掘，發(fā)現(xiàn)其中的隱性資源，從而更加有效地促進(jìn)學(xué)生的發(fā)展. 高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們?nèi)绾巫龅竭@一點(diǎn)呢？以下是筆者的思考.

[?] 數(shù)學(xué)教材中隱性資源的內(nèi)涵

筆者認(rèn)為，數(shù)學(xué)教材的隱性資源是教師在理解和分析教材的基礎(chǔ)上，對潛在知識(shí)進(jìn)行拓展研究，并提煉而成的. 隱性資源是相對于顯性資源來講的，從當(dāng)前的高中教材來講，顯性資源就是教材上有關(guān)概念和定理的推導(dǎo)和講解，以及相應(yīng)的習(xí)題資源；隱性資源則是對知識(shí)的形成、發(fā)展以及實(shí)踐起到潛在作用的數(shù)學(xué)思想和方法，當(dāng)然還包括數(shù)學(xué)的美學(xué)價(jià)值.從知識(shí)的形態(tài)來講，顯性資源主要是紙面上的內(nèi)容，或是教材通過引導(dǎo)讓學(xué)生直接總結(jié)出的內(nèi)容；隱性資源則是以教材內(nèi)容為基礎(chǔ)，需要學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中進(jìn)行體驗(yàn)的過程以及領(lǐng)悟的思想.

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，一切有利于學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)展和數(shù)學(xué)思想培養(yǎng)的潛在因素和條件都應(yīng)該是數(shù)學(xué)課程的隱性資源. 教師要將其滲透進(jìn)數(shù)學(xué)教學(xué)，就必須通讀并理解教材，厘清知識(shí)間的來龍去脈，把握知識(shí)的本質(zhì)，領(lǐng)會(huì)其中的教育功能和人文價(jià)值.

[?] 案例分析：球的表面積

下面，筆者以“球的表面積”的教學(xué)為例，介紹一下如何發(fā)掘其隱性課程資源，并將其運(yùn)用于教學(xué).

1. 教材分析

從顯性角度來看，球的表面積公式出現(xiàn)在人教版高中數(shù)學(xué)A版必修二1.3.2中的第二部分. 教材首先通過分割求積的方式對球的體積公式進(jìn)行推導(dǎo)，并通過對該方法的類比，對表面積公式進(jìn)行探究，即將球體分割成小型錐體進(jìn)行求和，再結(jié)合體積與表面積的關(guān)聯(lián)進(jìn)行推導(dǎo)，從而獲得表面積的公式，這其中滲透著微元與極限的思想. 教材編寫者為了幫助學(xué)生以最為簡便的方式進(jìn)行理解，同時(shí)又充分保留數(shù)學(xué)教材的邏輯性，為學(xué)生呈現(xiàn)出最為簡潔的證明和推導(dǎo)，但是卻回避介紹數(shù)學(xué)家艱辛的探索過程.

從隱性角度來講，本課應(yīng)該力求完善歷史史料，為學(xué)生還原科學(xué)家的探索研究過程，讓學(xué)生在領(lǐng)會(huì)球的表面積公式推導(dǎo)的同時(shí)，也能深刻感悟公式的緣起，從中領(lǐng)會(huì)“化整為零、化零為整”的研究方法. 此外，教師還要有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生通過觀察來探索事物之間的內(nèi)在關(guān)系，并從中積累發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的能力，由此來提升學(xué)生理性思維的素質(zhì).

2. 教學(xué)目標(biāo)分析

從課程標(biāo)準(zhǔn)出發(fā)，我們可以從三個(gè)維度來分析本課的教學(xué)目標(biāo).

（1）知識(shí)與技能維度：讓學(xué)生了解球表面積公式的推導(dǎo)過程；理解球的表面積公式.

（2）過程與方法維度：通過推導(dǎo)表面積公式的過程，讓學(xué)生初步領(lǐng)會(huì)微元和極限的思想，并對“分割→求和→化簡”的流程形成較為清晰的認(rèn)識(shí)，為后階段導(dǎo)數(shù)的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)；讓學(xué)生體驗(yàn)由合情推理到邏輯演繹的過程，從中體會(huì)數(shù)學(xué)分析的嚴(yán)謹(jǐn)性，對學(xué)生的邏輯推理能力和空間想象能力進(jìn)行培養(yǎng).

（3）情感態(tài)度與價(jià)值觀：讓學(xué)生通過對數(shù)學(xué)學(xué)史的研究，培養(yǎng)他們發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的信心；通過對數(shù)學(xué)家探究真理過程的體驗(yàn)，感悟前人科學(xué)探索的心路歷程，由此深刻品味數(shù)學(xué)思維和方法的獨(dú)特美感.

3. 重難點(diǎn)分析

本課的教學(xué)重點(diǎn)是引導(dǎo)學(xué)生了解并推導(dǎo)球表面積公式的思想方法；難點(diǎn)是讓其領(lǐng)會(huì)“分割→求和→化簡”分析過程中的數(shù)學(xué)思想.

4. 教學(xué)過程

（1）復(fù)習(xí)導(dǎo)入，提出問題

教師引導(dǎo)：通過前面階段的學(xué)習(xí)，我們已經(jīng)掌握圓錐、圓柱、圓臺(tái)的表面積求解方法，我們是否可以通過相同的方法對球的表面積公式進(jìn)行求解呢？

設(shè)計(jì)思路：在提出問題的同時(shí)，也引導(dǎo)學(xué)生尋找知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)性，啟發(fā)他們通過知識(shí)的相似性來探求問題的解決方案.

（2）實(shí)驗(yàn)探究，合情推理

實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)：將一根長繩繞著半球的大圓表面走一圈，以恰好能將大圓面鋪滿為宜，將所用的繩子截取下來. 然后將所截取的繩子鋪滿除掉大圓面的半球表面，如果繩子尚有多余，則繼續(xù)鋪，直到將繩子全部用完.

在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生相互協(xié)作，細(xì)心操作，最終有以下實(shí)驗(yàn)結(jié)果，截取的繩子恰好在半球面上鋪好了兩層，從而可得除掉大圓面以外的半球體表面的面積正好是大圓面積兩倍，由此形成猜想：S球=4πr2.

設(shè)計(jì)思路：實(shí)驗(yàn)不僅是物理、化學(xué)等學(xué)科的發(fā)展基礎(chǔ)，它同樣對數(shù)學(xué)學(xué)科的發(fā)展能起到推動(dòng)作用，讓學(xué)生在實(shí)驗(yàn)操作中感悟知識(shí)的形成過程，這有助于學(xué)生養(yǎng)成“做中學(xué)”的習(xí)慣.

（3）回顧歷史，驗(yàn)證猜想

教師引導(dǎo)：在日本數(shù)學(xué)發(fā)展史上，人們將立方體視為“方珠”，球體則是“圓珠”，它們雖然在外形上存在差別，但是本質(zhì)卻是一致的. 因此，日本的磯村吉德從類比推理出發(fā)，對圓的表面積進(jìn)行大膽的推導(dǎo)，過程如下.

日本數(shù)學(xué)研究者是如何想到上述類比方法的呢？其關(guān)鍵就在于他們關(guān)注了立方體體積與表面積的關(guān)系，并將立方體和球體都視作“珠”，從而建立相似關(guān)系.這樣的推算過程是否成立呢？

教師再引導(dǎo)學(xué)生從分割法的角度來求解表面積：一個(gè)立方體可以其中心為頂點(diǎn)，將其平均分成六個(gè)棱錐，若該立方體的棱長為a，棱錐的高則為，其底面積則對應(yīng)立方體的正方形表面，因此圍繞立方體的體積有以下運(yùn)算：

在此分割思想的引領(lǐng)下，研究者嘗試將球體分割為無數(shù)個(gè)將球心作為頂點(diǎn)、以局部球面視作底面的小型錐體，如果分割所形成的錐體足夠小，則錐體的高即近似等于球體半徑，進(jìn)而可以直觀地發(fā)現(xiàn)球的表面積與其體積之間的關(guān)系，有如下推導(dǎo)：

上述微元處理方法簡練而直觀，后來很多數(shù)學(xué)家也是采用此種方法求解出其他很多幾何體的表面積.

設(shè)計(jì)思路：分割求和的方法正是教材中所提供的體積求解方法，其中涉及微元與極限的思想. 在對球體表面積的公式進(jìn)行求解時(shí)，教材沿用這種一脈相承的方法，的確存在一種延續(xù)性，可謂是“趁熱打鐵，簡便易行”. 從數(shù)學(xué)思想的教學(xué)來講，這一部分的難點(diǎn)就在于對微元與極限思想的一種滲透，教材止步于簡練的證明過程和結(jié)果呈現(xiàn)，忽視了對數(shù)學(xué)家探索過程的介紹，這實(shí)際是一種隱藏在背后的課程資源，教師要善于結(jié)合數(shù)學(xué)史，將其發(fā)掘出來，并以此為載體，將數(shù)學(xué)家不斷求索的過程轉(zhuǎn)變?yōu)閷W(xué)生的思維方法提升過程.

（4）作業(yè)設(shè)計(jì)，提升能力

問題：類比于上述所采用的微元與極限的思路，我們可以嘗試將球的表面分割成無數(shù)個(gè)等腰三角形，對所有等腰三角形的面積進(jìn)行求和處理，以此來求解圓的表面積. 有人按照這一思路進(jìn)行以下處理：將球分成上下兩塊，并進(jìn)行了如圖1所示的分割.

最后求得球體表面積計(jì)算公式為S=π2r2<4πr2，請思考這一推導(dǎo)過程存在什么問題？

設(shè)計(jì)思路：對學(xué)生的方法學(xué)習(xí)也提出舉一反三的要求，讓學(xué)生通過這一處理過程的辨析來提升他們數(shù)學(xué)思維的靈活性和嚴(yán)謹(jǐn)性.

5. 課堂小結(jié)

本課先通過復(fù)習(xí)來提出問題，再依托于實(shí)驗(yàn)來幫助學(xué)生形成猜想，并在數(shù)學(xué)歷史的學(xué)習(xí)中，感悟前人運(yùn)用類比思想推導(dǎo)球體表面積公式的過程，當(dāng)學(xué)生對微元和極限的思想有所領(lǐng)悟之后，教師再引導(dǎo)學(xué)生按照教材的方法來進(jìn)行更加嚴(yán)謹(jǐn)?shù)姆治龊屯评? 這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)基于教師對隱性的課程資源進(jìn)行了充分的發(fā)掘，從而改變單刀直入的教學(xué)方式，讓學(xué)生立足實(shí)驗(yàn)、結(jié)合數(shù)學(xué)史，經(jīng)歷知識(shí)的形成過程，這不僅有助于學(xué)生對數(shù)學(xué)知識(shí)形成認(rèn)識(shí)和理解，更重要的價(jià)值在于這樣的處理有助于學(xué)生的方法習(xí)得和思想培養(yǎng)，這才是我們數(shù)學(xué)教學(xué)的更高追求.