李軍

[摘 要]教師要給學(xué)生一個(gè)有“根”的數(shù)學(xué)，讓學(xué)生的學(xué)習(xí)觸及數(shù)學(xué)學(xué)科的本質(zhì)，以“再發(fā)現(xiàn)”的方式讓數(shù)學(xué)思想根植于學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。滲透數(shù)學(xué)思想已成為培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的核心教學(xué)目標(biāo)，因此，使學(xué)生有機(jī)會(huì)通過自己的發(fā)現(xiàn)獲得新的數(shù)學(xué)知識(shí)、技能、方法及思想，成為一個(gè)“具有數(shù)學(xué)思想和眼光”的人是當(dāng)前教學(xué)的重點(diǎn)。

[關(guān)鍵詞]數(shù)學(xué)思想；教學(xué)策略；滲透

[中圖分類號(hào)] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 1007-9068（2017）20-0001-03

多年來，“培養(yǎng)學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能”一直是我國(guó)數(shù)學(xué)課程的目標(biāo)，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》總目標(biāo)部分明確提出：“通過義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生能獲得適應(yīng)社會(huì)生活和進(jìn)一步發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)?！?從“雙基”到“四基”，一直隱藏于“冰山底部”的數(shù)學(xué)思想得以凸顯，這既是課程目標(biāo)發(fā)展的必然結(jié)果和時(shí)代進(jìn)步的需求，也是對(duì)廣大教師的課堂教學(xué)改革提出的要求。孫曉天教授指出：“這是在數(shù)學(xué)課程目標(biāo)完善方面邁出的重要一步，是我國(guó)數(shù)學(xué)課程改革取得的階段性進(jìn)展的重要標(biāo)志?！?著名數(shù)學(xué)家張景中說過：“小學(xué)生學(xué)的數(shù)學(xué)很初等，很簡(jiǎn)單。盡管簡(jiǎn)單，里面卻蘊(yùn)含了一些深刻的數(shù)學(xué)思想?！?由此，滲透數(shù)學(xué)思想應(yīng)成為小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的具體目標(biāo)，教師要給學(xué)生一個(gè)有“根”的數(shù)學(xué)，讓學(xué)生的學(xué)習(xí)觸及數(shù)學(xué)的本質(zhì)。以“再發(fā)現(xiàn)”的方式讓數(shù)學(xué)思想根植于學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)理應(yīng)成為數(shù)學(xué)教師的研究課題。

數(shù)學(xué)思想是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)、方法、規(guī)律的一種本質(zhì)認(rèn)識(shí)，具有概括性和普遍性的特點(diǎn)，是數(shù)學(xué)方法的靈魂。教師要挖掘、提煉隱含于教材中的數(shù)學(xué)思想，凸顯數(shù)學(xué)思想，讓學(xué)生經(jīng)歷感悟、體會(huì)、經(jīng)歷、發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造等學(xué)習(xí)的過程。

一、以數(shù)學(xué)思想作為引領(lǐng)教學(xué)的根本

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》把數(shù)學(xué)思想列為“四基”之一，對(duì)此，在關(guān)注知識(shí)和能力的基礎(chǔ)上，教師要把數(shù)學(xué)思想作為引領(lǐng)教學(xué)的根本，讓教學(xué)彰顯數(shù)學(xué)思想的力量。

1. 以數(shù)學(xué)思想引領(lǐng)教學(xué)目標(biāo)

目標(biāo)是課堂教學(xué)活動(dòng)的出發(fā)點(diǎn)和歸宿，但很多教師始終把基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能作為課堂教學(xué)的唯一目標(biāo)，只從教學(xué)內(nèi)容的角度來確定教學(xué)思路，教學(xué)的核心是知識(shí)的掌握和技能的訓(xùn)練。當(dāng)我們把視角從陳述性知識(shí)轉(zhuǎn)向程序性知識(shí)和策略性知識(shí)，把教學(xué)的重點(diǎn)轉(zhuǎn)移到關(guān)注數(shù)學(xué)思想，注重學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)時(shí)，就要更多地考慮如何抽象、推理、建模、應(yīng)用。有了這個(gè)意識(shí)，教師在教學(xué)中要自覺研究和挖掘數(shù)學(xué)知識(shí)中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，主動(dòng)從數(shù)學(xué)思想的角度分析教學(xué)內(nèi)容，精心設(shè)定教學(xué)目標(biāo)和設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)，在這個(gè)過程中，目光要聚焦到學(xué)生，聚焦到如何將數(shù)學(xué)思想蘊(yùn)含在教學(xué)之中。作為教師，我們要有數(shù)學(xué)思想的理論知識(shí)，要通過學(xué)習(xí)與實(shí)踐，明晰數(shù)學(xué)思想的特征、內(nèi)涵及教育價(jià)值，把握教材中主要的數(shù)學(xué)思想，創(chuàng)造性地從數(shù)學(xué)思想的維度分析教材、設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)活動(dòng)。只有在理解和掌握數(shù)學(xué)思想方法理論的基礎(chǔ)上深入挖掘，在教學(xué)目標(biāo)中加以明確描述，才可能在教學(xué)中全面落實(shí)“四基”的教學(xué)目標(biāo)。因此，讀懂教材中的數(shù)學(xué)思想，是教師必備的素養(yǎng)。

2. 以數(shù)學(xué)思想發(fā)展學(xué)生思維

傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)注重?cái)?shù)學(xué)思維活動(dòng)，以培養(yǎng)學(xué)生的思維能力為核心，課改后的數(shù)學(xué)教學(xué)雖然目標(biāo)變得更為多元化，但是培養(yǎng)學(xué)生的思維能力仍然是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心目標(biāo)。孫曉天教授指出：“學(xué)生在探索、挖掘和發(fā)現(xiàn)的過程中產(chǎn)生的思維活動(dòng)，就是數(shù)學(xué)思想的再現(xiàn)?！币寣W(xué)生的思維活動(dòng)具有一定的“含金量”，教師就要有意識(shí)地圍繞數(shù)學(xué)思想來展開教學(xué)，并讓隱性的數(shù)學(xué)思想逐步浮出“水面”，變得鮮亮起來。教師要緊緊抓住“數(shù)學(xué)思想”這個(gè)主線，探究滲透數(shù)學(xué)思想的策略和方法，在課堂教學(xué)中，要讓學(xué)生親歷知識(shí)的再創(chuàng)造和再發(fā)現(xiàn)的過程，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)思想重塑的過程，讓學(xué)生透過現(xiàn)象觸摸到數(shù)學(xué)的本質(zhì)。因此，教師除了有意識(shí)地讓學(xué)生感悟一些數(shù)學(xué)思想，加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)的理解，提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題的能力之外，還要讓學(xué)生在數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用中和數(shù)學(xué)思想的感悟中，逐步發(fā)展數(shù)學(xué)思維，從而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

3. 以數(shù)學(xué)思想引導(dǎo)評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)

對(duì)一節(jié)課的評(píng)價(jià)，不能僅僅局限于評(píng)價(jià)組織形式和呈現(xiàn)方式，不能把是否“標(biāo)新立異”作為評(píng)價(jià)一節(jié)課好壞的標(biāo)準(zhǔn)。一節(jié)數(shù)學(xué)課的“亮點(diǎn)”在何處？從數(shù)學(xué)教學(xué)角度講，一堂課往往新就新在思維過程上，高就高在思想性上，好就好在學(xué)生參與活動(dòng)的深度和廣度上。有思想深度的課，能給學(xué)生留下深刻的印象。日本數(shù)學(xué)教育家米山國(guó)藏曾說：“不管學(xué)生以后從事什么工作，那種銘刻于頭腦中的數(shù)學(xué)精神和數(shù)學(xué)思想方法，將長(zhǎng)期在他們的生活和工作中發(fā)揮著重要作用?！笨梢姡瑪?shù)學(xué)思想的教學(xué)在數(shù)學(xué)教育中具有重要作用。

二、小學(xué)數(shù)學(xué)思想的教學(xué)策略

弗賴登塔爾反復(fù)強(qiáng)調(diào)：學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的唯一正確方法是實(shí)行“再創(chuàng)造”。作為教育內(nèi)容的數(shù)學(xué)知識(shí)，都是“現(xiàn)成”的，但這只是對(duì)成人而言，對(duì)小學(xué)生來說，一點(diǎn)都不“現(xiàn)成”，每一個(gè)都值得探索，每一個(gè)都是一塊值得挖掘、孕育著發(fā)現(xiàn)的“土壤”。

1. 深入挖掘蘊(yùn)含數(shù)學(xué)思想的課程資源

數(shù)學(xué)思想要以教材為載體，而教材是實(shí)現(xiàn)課程目標(biāo)、實(shí)施教學(xué)的重要資源。教師要善于把教材改變?yōu)椤皩W(xué)材”，要從學(xué)生的角度重新組織學(xué)習(xí)材料。好的“學(xué)材”并不是數(shù)學(xué)知識(shí)的簡(jiǎn)單堆砌，而是要將數(shù)學(xué)精神、思想和方法蘊(yùn)含其中。經(jīng)過十多年的課程改革，教材發(fā)生了巨大的變化，特別是當(dāng)前的教材，不但呈現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展和應(yīng)用過程，也蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想。教師要將“學(xué)材”中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)精神、思想和方法充分釋放，讓學(xué)生能夠感受數(shù)學(xué)的魅力?？梢园l(fā)現(xiàn)，同樣的教材，教師對(duì)其數(shù)學(xué)思想、智力因素挖掘的程度不同，學(xué)生的學(xué)習(xí)效果以及思維發(fā)展程度也大相徑庭。

新教材（以蘇教版國(guó)標(biāo)本教材為例）注重貫徹落實(shí)“四基”目標(biāo)，在夯實(shí)“雙基”的基礎(chǔ)上著重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。例如，一、二年級(jí)的教材主要利用加、減、乘、除四則運(yùn)算的關(guān)系，解決與常見的量有關(guān)的簡(jiǎn)單實(shí)際問題，其中蘊(yùn)含了分類、歸納、比較、模型、對(duì)應(yīng)、推理、符號(hào)化、假設(shè)、類比等數(shù)學(xué)思想。又如，三年級(jí)的教材安排了“解決問題的策略”單元：側(cè)重學(xué)習(xí)從條件想起、從問題想起、列表、畫圖、列舉、轉(zhuǎn)化、替換等策略，著重滲透抽象、歸納、推理、模型、轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想。

2. 凸顯數(shù)學(xué)思想的形成與發(fā)展過程

數(shù)學(xué)課程的各個(gè)領(lǐng)域、各個(gè)方面，不論是數(shù)與代數(shù)，還是圖形與幾何，抑或是統(tǒng)計(jì)與概率、綜合與實(shí)踐等內(nèi)容，都蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)思想與方法。比如，用方程的方法解題，就蘊(yùn)含著方程思想；把實(shí)物抽象成字母或符號(hào)表示，就蘊(yùn)含著抽象、模型等思想；借助實(shí)物圖、示意圖、線段圖等圖形來解決問題，就蘊(yùn)含著數(shù)形結(jié)合思想……教師要從承載著概念、公式、法則、定律等的例題中挖掘數(shù)學(xué)思想，也要注意挖掘習(xí)題中的數(shù)學(xué)思想，還要有意識(shí)地選擇一些蘊(yùn)含數(shù)學(xué)思想的題材作為補(bǔ)充。因此，教師只有抓住顯性的數(shù)學(xué)知識(shí)和隱性的數(shù)學(xué)思想這兩條主線，設(shè)計(jì)好每節(jié)課的學(xué)習(xí)活動(dòng)，讓學(xué)生在獲取知識(shí)的過程中觸及、感受數(shù)學(xué)思想，體驗(yàn)和經(jīng)歷數(shù)學(xué)思想形成的過程，才能讓數(shù)學(xué)基本思想扎根于學(xué)生的心靈和頭腦之中，并成為一種意識(shí)、觀念和素質(zhì)，為學(xué)生將來的學(xué)習(xí)和生活服務(wù)。

如教學(xué)“10”時(shí)，多數(shù)教師會(huì)結(jié)合計(jì)數(shù)器、點(diǎn)子圖、小棒等直觀教具或者實(shí)物，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到“9添上1”是10后再進(jìn)一步學(xué)習(xí)10的組成及加減法，很少引導(dǎo)學(xué)生思考：10與前面學(xué)習(xí)的0～9有什么不同？這個(gè)問題隱含了一個(gè)非常重要的思想方法——數(shù)學(xué)抽象，因?yàn)?0這個(gè)數(shù)不僅是對(duì)任何數(shù)量是10的物體的抽象，還具有重要的轉(zhuǎn)折意義——十進(jìn)制計(jì)數(shù)原理，然而，多數(shù)教師都沒有意識(shí)到這一點(diǎn)。因此，教師要引導(dǎo)學(xué)生通過回顧與反思來完善原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，幫助學(xué)生感悟這些數(shù)學(xué)思想的內(nèi)在魅力和作用。

3. 引導(dǎo)學(xué)生數(shù)學(xué)地思維

基于小學(xué)生認(rèn)知能力和思維水平發(fā)展的特點(diǎn)，教學(xué)數(shù)學(xué)思想時(shí)，不能抽象地告訴學(xué)生將要學(xué)習(xí)的是什么數(shù)學(xué)思想，必須以“再發(fā)現(xiàn)”的方式讓學(xué)生習(xí)得，教師要給學(xué)生這種再創(chuàng)造的“工作”創(chuàng)造條件，而不是把現(xiàn)成的知識(shí)、思想灌輸給學(xué)生。要讓數(shù)學(xué)思想真正貫穿于學(xué)生學(xué)習(xí)、發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造的全過程，讓數(shù)學(xué)思想根植于學(xué)生的學(xué)習(xí)，使得學(xué)生能通過自己的發(fā)現(xiàn)獲得新的數(shù)學(xué)知識(shí)，在經(jīng)歷探究的過程中領(lǐng)悟數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)思想的來龍去脈。

如教學(xué)“用數(shù)對(duì)確定位置”時(shí)，可以創(chuàng)設(shè)“打地鼠”的問題情境，通過你說我打，自己確定位置，自主建構(gòu)數(shù)學(xué)規(guī)定等一系列活動(dòng)，讓學(xué)生通過觀察、思考、碰撞、辨析，感悟確定位置的三要素“原點(diǎn)、方向、單位”，自主建構(gòu)類似數(shù)軸、直角坐標(biāo)系等一維空間、二維空間，甚至三維空間上的統(tǒng)一規(guī)定。這種自我建構(gòu)知識(shí)的過程是那么鮮活和敞亮，學(xué)生不僅體驗(yàn)到“一一對(duì)應(yīng)”的數(shù)學(xué)思想，還感悟到數(shù)形結(jié)合、函數(shù)等數(shù)學(xué)思想。

三、小學(xué)數(shù)學(xué)思想滲透的階段性認(rèn)識(shí)

根據(jù)小學(xué)生的年齡及認(rèn)知特點(diǎn)，要引導(dǎo)他們?cè)跀?shù)學(xué)活動(dòng)中體驗(yàn)數(shù)學(xué)思想，必須防止“貼標(biāo)簽式”的滲透，以及生搬硬套的應(yīng)用。在小學(xué)階段，數(shù)學(xué)思想的滲透可以分為三個(gè)階段：?jiǎn)⒚呻A段、形成階段和應(yīng)用階段。

1. 啟蒙階段：在活動(dòng)中體驗(yàn)

數(shù)學(xué)思想具有高度的抽象性，在低年級(jí)時(shí)，教師要有意識(shí)地把抽象的數(shù)學(xué)思想一點(diǎn)一滴地融入具體的數(shù)學(xué)知識(shí)中，通過觀察、操作、思考等活動(dòng)，比如，用三角形、正方形等圖形來代替一些實(shí)物，從實(shí)物直觀到圖形直觀，再到符號(hào)直觀，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)化的過程，讓學(xué)生初步感受符號(hào)化思想、數(shù)形結(jié)合思想和“一一對(duì)應(yīng)”思想。

2. 形成階段：在探索中感悟

隨著年齡的增長(zhǎng)，學(xué)生相關(guān)的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)會(huì)逐步增加，教師就可在適當(dāng)?shù)臅r(shí)候明確提出一些數(shù)學(xué)思想，使學(xué)生初步理解這些基本思想，并能將其應(yīng)用到探索新知的活動(dòng)中來，這是理性認(rèn)識(shí)的開始。如教學(xué)多邊形的面積計(jì)算時(shí)，在學(xué)生掌握了平行四邊形的面積公式的推導(dǎo)方法后，教師要適時(shí)對(duì)探索平行四邊形的面積公式時(shí)運(yùn)用的轉(zhuǎn)化思想進(jìn)行介紹，這樣，在后續(xù)教學(xué)三角形、梯形的面積公式時(shí)，就能讓學(xué)生利用轉(zhuǎn)化思想進(jìn)行探索，學(xué)生就會(huì)對(duì)轉(zhuǎn)化思想的名稱、內(nèi)涵有一定的了解。

3. 應(yīng)用階段：在發(fā)現(xiàn)中內(nèi)化

高年級(jí)的學(xué)生已經(jīng)熟悉和掌握了一定的數(shù)學(xué)思想，這時(shí)教師要做的就是強(qiáng)化以及培養(yǎng)學(xué)生在學(xué)習(xí)和生活中熟練運(yùn)用數(shù)學(xué)思想的能力，讓學(xué)生不僅知道用什么和怎么用。如，學(xué)習(xí)圓柱的體積計(jì)算時(shí)，學(xué)生通過類比，能夠想到將圓柱轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方體后再推導(dǎo)圓柱的體積計(jì)算公式，這時(shí)，教師就要進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生通過切、拼找出圖形之間的關(guān)系。在這個(gè)操作實(shí)踐的過程中，學(xué)生對(duì)轉(zhuǎn)化思想、極限思想的認(rèn)識(shí)不斷得以提升和內(nèi)化?？梢?，數(shù)學(xué)思想的教學(xué)，要超越冰冷的形式演繹體系，要聯(lián)系數(shù)學(xué)文化背景，要能夠觸及學(xué)習(xí)者的靈魂，這樣才能真正達(dá)到教學(xué)的真正目的。數(shù)學(xué)思想與方法需要提煉，內(nèi)容闡述在前，思想方法提煉在后，數(shù)學(xué)思想方法理還應(yīng)成為每個(gè)章節(jié)和每個(gè)單元“小結(jié)”的主題。

因此，教師要關(guān)注數(shù)學(xué)思想，要給學(xué)生一個(gè)有“根”的數(shù)學(xué)，使學(xué)生有機(jī)會(huì)通過自己的發(fā)現(xiàn)獲得新的數(shù)學(xué)知識(shí)、技能、方法及思想，在探究發(fā)現(xiàn)的過程中領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的真諦，從而成為一個(gè)“具有數(shù)學(xué)思想和眼光”的人。

[1] 中華人民共和國(guó)教育部.九年制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）[S].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[2] 孫曉天.關(guān)于數(shù)學(xué)基本思想的若干認(rèn)識(shí)與思考[J].江蘇教育，2012（12）.

[3] 張景中.感受小學(xué)數(shù)學(xué)思想的力量——寫給小學(xué)數(shù)學(xué)教師們[J].人民教育，2007（18）.

（責(zé)編 金 鈴）