趙剛，田彬亢（重慶華姿建筑工程有限公司，重慶400；重慶市建筑科學研究院，重慶40000）

鋼筋機械錨固數(shù)學模型研究

趙剛1，田彬亢2
（1重慶華姿建筑工程有限公司，重慶401120；2重慶市建筑科學研究院，重慶400020）

0 引言

《鋼筋機械錨固試驗條件研究》[1]提出使鋼筋機械錨固試驗實現(xiàn)可能的錐形拔出破壞試驗條件（如圖1），還提到了鋼筋機械錨固所主要利用的抗拔錐體幾何形態(tài)，同時強調錐體實際僅為近似錐體，因為錨頭承壓面的作用，實則更近似于圓臺形狀。我們以《鋼筋直錨與機械錨固異同》[2]提到的根據(jù)抗拔錐體裂面混凝土所承受拉力來建立鋼筋機械錨固性能研究的相關數(shù)學模型，從理論上推導出鋼筋機械錨固充分發(fā)揮錨固效果的最小深度。

圖1 鋼筋機械錨固抗拔錐體1—錨筋；2—被拔出的混凝土錐；3—錨頭；4—殘存的被拔錐混凝土試件；5—支撐環(huán)；6—反力架；7—夾具和傳感器

1 抗拔錐體數(shù)學模型

鋼筋機械錨固所主要利用的混凝土抗拔錐體更近似于圓臺，亦即被截除一個上部小圓錐的錐體，所以這個混凝土抗拔錐體的數(shù)學模型應該用圓臺來描述，如圖2所示。

圖2 鋼筋機械錨固抗拔圓臺1—錨筋；2—被拔出的混凝土錐；3—圓臺上底半徑r；4—圓臺高度h；5—圓臺下底半徑R；6—圓臺母線長l

根據(jù)《混凝土結構設計規(guī)范》GB 50010-2010[3]（以下簡稱GB 50010-2010）第8.3.3條的要求，鋼筋機械錨固錨頭承壓凈面積不應小于錨固鋼筋截面積的4倍。鋼筋機械錨固常見的圓形承壓面錨頭最小外徑就是圓臺上底半徑：

式中，r為圓臺上底半徑；d為錨固鋼筋的直徑。

圓臺高度，實際就是鋼筋機械錨固的有效錨固深度hef，在本討論中暫定為未知數(shù)。

根據(jù)《鋼筋機械錨固試驗條件》[1]確定的混凝土抗拔錐體沖切裂面夾角55°，可以推導出圓臺下底半徑：

式中，R為圓臺下底半徑；hef為鋼筋機械錨固的有效錨固深度。

圓臺母線長l：根據(jù)式（2）可以推導出圓臺母線長：

式中，l為圓臺母線長；h為圓臺高度。

由此得到圓臺側面積S1：

式中，S1為圓臺側面積；π為圓周率；d為錨固鋼筋的直徑。

2 力學平衡數(shù)學模型

在理想狀態(tài)下，鋼筋機械錨固利用錨頭將鋼筋所受拉力傳遞給抗拔錐體，通過混凝土抗拔錐體的錐形面?zhèn)鬟f抗拔錐體與錨固區(qū)混凝土之間的應力。鋼筋機械錨固方式中混凝土發(fā)生的是崩裂破壞，裂面從錨固端頭向錨固界面發(fā)展，抗拔錐體頂部的混凝土裂面形成過程就是混凝土壓應力在機械錨頭承壓面擴散的過程[2]，在這過程中混凝土實際上是在主拉應力作用下被撕裂形成抗拔錐體的錐面。

鑒于目前國內(nèi)外對采用混凝土抗拉強度來驗算沖切、劈裂等做法普遍認同，我們假設抗拔錐體的錐裂面上拉應力之和正好等于錨筋所受拉力，由此建立鋼筋機械錨固中混凝土抗拔錐體與錨筋所受拉力之間的力學平衡數(shù)學模型也應該不存在其他不可忽略的差異。錨筋所受拉力為：

式中：Nt為錨筋所受拉力；fy為鋼筋抗拉強度設計值。

混凝土抗拔錐面拉應力總和NRC：混凝土抗拔錐體側面上產(chǎn)生的拉應力總和，應該等于混凝土抗拔錐體側面面積S1乘以混凝土的抗拉強度設計值ft：

式中：NRC為混凝土抗拔錐面拉應力總和；ft為混凝土的抗拉強度設計值。

這里補充說明一點，在確定混凝土抗拔錐面拉應力總和NRC時，采用了混凝土的抗拉強度設計值ft這個指標，是因為鋼筋機械錨固所利用的抗拔錐體的錐角是55°[1]，比45°大，所以抗拔錐體被錐形拔出過程中，混凝土抗拔錐面經(jīng)歷的更多是受拉狀態(tài)。國內(nèi)相關試驗研究[4-5]均提到了鋼筋與混凝土之間的粘結錨固強度，其提到的這個參數(shù)的數(shù)值均高于GB50010-2010[3]給定的混凝土抗拉強度設計值（見表1），高出數(shù)值均大于規(guī)范給定值的50%。而實際上，只要鋼筋表面特性和混凝土強度等級確定，鋼筋與混凝土之間的粘結錨固作用是在一定范圍內(nèi)基本穩(wěn)定的[2]，即使在一些非系統(tǒng)性影響因素干擾下其波動都不會很大。由此也可以判定，國內(nèi)相關試驗研究[4-5]在方法上是值得商榷的。

在臨界狀態(tài)下，混凝土抗拔錐面拉應力總和應該總是與錨筋所受拉力相等，即NRC=Nt，以實現(xiàn)力的平衡，將式（5）和式（6）代入NRC=Nt這個等式，即形成鋼筋機械錨固中混凝土抗拔錐體與錨筋所受拉力之間的力學平衡數(shù)學模型：

3 錨固深度數(shù)學模型

在混凝土強度等級、鋼筋級別和直徑都確定的條件下，利用鋼筋機械錨固中混凝土抗拔錐體與錨筋所受拉力之間的力學平衡數(shù)學模型，實際上就限定了混凝土抗拔錐體側面的最小面積，將式（4）代入式（7），我們就可以得到一個以鋼筋機械錨固深度hef為未知數(shù)的方程：

將式（8）進行簡化，得到一個以鋼筋機械錨固深度hef為未知數(shù)的一元二次方程：

這個一元二次方程的正根就是理想狀態(tài)下鋼筋機械錨固深度的數(shù)學模型：

式（10）即為理想狀態(tài)下鋼筋機械錨固深度的數(shù)學模型，在這個計算式中，鋼筋抗拉強度設計值fy、混凝土抗拉強度設計值ft均可以在我國現(xiàn)行規(guī)范GB 50010-2010[3]中查取。這個數(shù)學模型的工程含義即為：在鋼筋級別和直徑、混凝土強度等級確定時，利用式（10）可以計算得出理想狀態(tài)下鋼筋機械錨固的最小錨固深度。

4 數(shù)學模型試算

筆者在《鋼筋機械錨固試驗條件研究》[1]一文中推薦鋼筋機械錨固性能研究的一種試驗條件，并同時強調，試驗應在鋼筋機械錨固深度數(shù)學模型初步建立之后進行，原因在于這樣能夠從理論上初步估計鋼筋的最小機械錨固深度，才可以相對精確地設計鋼筋機械錨固性能試驗。現(xiàn)以結構工程中常用的鋼筋級別和規(guī)格、混凝土強度等級的相關參數(shù)代入式（10），估算理想狀態(tài)下鋼筋機械錨固性能試驗研究所應考慮的最小錨固深度。

根據(jù)GB 50010-2010[3]確定混凝土抗拉強度設計值ft（見表1）。

根據(jù)GB 50010-2010[3]確定普通鋼筋抗拉強度設計值fy（見表2）。

將表1、表2數(shù)值代入式（10），試算出理想狀態(tài)下鋼筋機械錨固最小深度與鋼筋直徑d之間的關系（見表3）。

表1 混凝土軸心抗拉強度設計值單位：N/mm2

表2 普通鋼筋抗拉強度設計值單位：N/mm2

表3 理想狀態(tài)下鋼筋最小機械錨固深度

表3中的數(shù)值看起來非常小，是因為本文討論的是理想狀態(tài)下的鋼筋機械錨固深度數(shù)學模型，實際工程運用中會有很多因素產(chǎn)生不利影響。比如混凝土的非勻質性因素，錨筋位于錨固體邊緣導致抗拔錐體不完整因素，錨筋間距小于抗拔錐底面直徑時的群錨因素等等，這些因素都會影響鋼筋機械錨固的工作性能。筆者將在相關試驗之后考慮這些因素進一步研究鋼筋機械錨固深度的確定方法，以期更科學地確定運用于工程實踐中的鋼筋機械錨固深度。

5 結語

理想狀態(tài)下的鋼筋機械錨固深度的數(shù)學模型，基于鋼筋機械錨固基本原理[2]和鋼筋機械錨固所利用的混凝土抗拔錐體的幾何形態(tài)[1]，以及本文提到的鋼筋機械錨固中混凝土抗拔錐體與錨筋所受拉力之間的力學平衡關系而建立。此數(shù)學模型對進一步的鋼筋機械錨固性能試驗設計具有重要意義[6]，因為只有透徹地認識鋼筋機械錨固的科學本質，才有可能進行對工程實踐有探索意義的試驗研究。而欲在工程實際運用中經(jīng)濟合理地使用鋼筋機械錨固，還要建立在大量的科學試驗研究基礎之上。

[1]趙剛，鄒專習.鋼筋機械錨固試驗條件研究[J].工程質量，2015（2）：48-51.

[2]趙剛，雷玲.鋼筋直錨與機械錨固異同[J].建筑技術開發(fā)，2014（7）：40-43.

[3]中國建筑科學研究院.GB50010-2010混凝土結構設計規(guī)范[S].北京：中國建筑工業(yè)出版社，2010.

[4]劉立新，王莉荔.熱軋帶肋鋼筋機械錨固性能的試驗研究[J].建筑結構，2009（S1）：895-898.

[5]陳朝霞，李雪，戎賢.HRB500鋼筋機械錨固性能的試驗研究[J].河北工業(yè)大學學報，2011，40（2）：97-100.

[6]趙剛，鄧軍生.帶彎鉤的鋼筋錨固[J].建筑安全，2014（12）：29-31.

責任編輯：孫蘇，李紅

Reinforcing Steel BarMechanicalAnchorMathematicalModel

該文基于鋼筋機械錨固基本原理和鋼筋機械錨固所利用的混凝土抗拔錐體的幾何形態(tài)，以及鋼筋機械錨固中混凝土抗拔錐體與錨筋所受拉力之間的力學平衡關系，建立理想狀態(tài)下的鋼筋機械錨固的錐體數(shù)學模型、力學模型和錨固深度數(shù)學模型，并就錨固深度數(shù)學模型進行試算，得出理想狀態(tài)下鋼筋機械錨固最小深度臨界值，為進行科學的鋼筋機械錨固試驗提供參考。

鋼筋；機械錨固；數(shù)學模型；混凝土抗拔錐體；混凝土結構設計

Based on thebasic principlesofand thegeometrical form of concrete anti-draw ing cone used by reinforcedmechanicalanchorage,aswellas themechanical equilibrium relationship between the concrete anti-draw ing cone and the tensile strength of the anchor bar,this paper establishes the mathematic conemodel,mechanicalmodeland anchorage depthmodel under an ideal state,and doesa trial calculation to the anchorage depthmodel, obtaining them inimum criticaldepth valueof themechanicalanchorage for reference.

steelbar;mechanicalanchorage;mathematicalmodel;concreteanti-drawing cone;design of reinforced concrete structure

TU 375

A

1671-9107（2017）07-0038-03

10.3969／j.issn.1671-9107.2017.07.038

2017-04-16

趙剛（1975-），男，重慶人，本科，高級工程師，講師，主要從事建筑施工技術管理工作。