王心怡 范全平 魏來(lái) 楊祖華 張強(qiáng)強(qiáng) 陳勇 彭倩晏卓陽(yáng) 肖沙里 曹磊峰

1)(中國(guó)工程物理研究院激光聚變研究中心,等離子體物理重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,綿陽(yáng) 621900)

2)(重慶大學(xué),光電技術(shù)及系統(tǒng)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,重慶 400030)

Fresnel波帶片編碼成像的高分辨重建?

王心怡1)2)范全平1)魏來(lái)1)楊祖華1)張強(qiáng)強(qiáng)1)陳勇1)彭倩1)晏卓陽(yáng)1)肖沙里2)曹磊峰1)?

1)(中國(guó)工程物理研究院激光聚變研究中心,等離子體物理重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,綿陽(yáng) 621900)

2)(重慶大學(xué),光電技術(shù)及系統(tǒng)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,重慶 400030)

(2016年8月24日收到;2016年11月30日收到修改稿)

本文提出了一種新的Fresnel波帶片編碼成像的重建方法.與傳統(tǒng)的重建方法相比,這種新方法可以實(shí)現(xiàn)更高的空間分辨水平.具體而言,傳統(tǒng)意義上來(lái)講,Fresnel波帶片編碼成像的空間分辨水平取決于編碼波帶片的最外環(huán)寬度.本文提出的重建方法突破了這一限制,可以達(dá)到最外環(huán)寬度的1/m(m為正整數(shù)),從而超越了通常意義上的瑞利極限.

波帶片編碼成像,高分辨重建,Fresnel波帶片,高階Gabor波帶片

1 引 言

波帶片編碼成像技術(shù)(ZPCI)是一種兩步成像過(guò)程的技術(shù):第一步是通過(guò)編碼相機(jī)獲得成像目標(biāo)的編碼圖;第二步是根據(jù)獲得的編碼圖重建出成像目標(biāo)的空間分布信息.1961年由Mertz和Young提出[1],被廣泛應(yīng)用于天文學(xué)[2]、核醫(yī)學(xué)[3]和激光慣性約束聚變研究等領(lǐng)域[4?6].其在慣性約束聚變研究(inertial confinement fusion,ICF)領(lǐng)域的應(yīng)用和發(fā)展尤其吸引人們的注意,這是因?yàn)閷?duì)于ICF研究中的低通量、高能輻射(α粒子、中子、質(zhì)子、γ射線和高能X射線等)的探測(cè),其他成像技術(shù)難以奏效.ZPCI技術(shù)有很多變種,在ICF研究領(lǐng)域內(nèi),經(jīng)常使用的包括:環(huán)孔編碼顯微成像(RAM)技術(shù)、半影編碼顯微成像(PAM)技術(shù)和均勻冗余陣列編碼成像(URA)技術(shù)等,其中ZPCI,RAM和PAM技術(shù)應(yīng)用最多,這三種編碼成像技術(shù)中,ZPCI技術(shù)應(yīng)當(dāng)是最好的[7],但RAM和PAM的編碼孔更容易制作,因此后來(lái)的ICF研究中,反而是后者應(yīng)用更多.美國(guó)LLNL實(shí)驗(yàn)室最早[8]報(bào)道了波帶片編碼技術(shù)在ICF研究中的應(yīng)用,解決了激光聚變研究中高能量低通量輻射的成像[5,6,9]問(wèn)題,后來(lái)也利用了RAM成像技術(shù)[10,11]和PAM成像技術(shù)等[12,13];法國(guó)[14]最早對(duì)PAM技術(shù)做了細(xì)致研究;英國(guó)[15]和澳大利亞[16]在ICF領(lǐng)域則主要使用的是PAM技術(shù);國(guó)內(nèi)于80年代末開(kāi)始了編碼成像技術(shù)在ICF研究領(lǐng)域的應(yīng)用,1989年,胡家升等[17]開(kāi)展了RAM技術(shù)的研究工作,著手研制環(huán)孔編碼顯微鏡;2002年曹磊峰[18]研制了國(guó)內(nèi)第一套α粒子Fresnel波帶片編碼相機(jī),基于神光II實(shí)驗(yàn)裝置,獲得了國(guó)內(nèi)第一幅激光聚變熱核反應(yīng)區(qū)域圖像.

Mertz和Young最早提出波帶片編碼成像技術(shù)時(shí),采用的是光學(xué)方法來(lái)完成編碼圖的重建.計(jì)算機(jī)技術(shù)快速發(fā)展后,退卷積的辦法成為二維目標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)重建方法[7].眾所周知,空間分辨率是衡量成像器件性能的重要指標(biāo)之一,Fresnel波帶片編碼成像的空間分辨率與波帶片最外環(huán)寬度?r有關(guān),即只能分辨尺寸大于1.22?r的物體[18].但在X波段,Fresnel波帶片的最外環(huán)寬度?r受加工工藝的限制,不可能非常小,這在一定程度上限制了Fresnel波帶片編碼成像的應(yīng)用.本文針對(duì)上述問(wèn)題,提出一種新型的波帶片編碼成像的重建算法,將其用于傳統(tǒng)的Fresnel波帶片編碼圖上,可獲得打破瑞利判據(jù)限制的高分辨成像.下面,我們將從Fresnel波帶片編碼成像的數(shù)學(xué)表述和模擬實(shí)驗(yàn)兩個(gè)方面對(duì)其進(jìn)行研究.

2 Fresnel波帶片編碼成像的數(shù)學(xué)表述

如圖1所示,波帶片編碼成像一般可分為兩步:一是成像物(例如由兩個(gè)點(diǎn)光源構(gòu)成)照射到Fresnel波帶片上,光線經(jīng)波帶片后投影、疊加到接收屏上形成編碼圖;二是用記錄介質(zhì)存儲(chǔ)編碼圖像,并通過(guò)適當(dāng)?shù)乃惴▽?duì)編碼圖進(jìn)行解碼,最后將成像物(或原始圖像)重建出來(lái).

圖1 波帶片編碼成像的(a)流程圖及(b)光路圖Fig.1.(a)The flowchart and(b)the light-path diagram of zone plate coded imaging.

假設(shè)原始圖像為f(x,y),Fresnel波帶片的透過(guò)率函數(shù)為g(x,y),則根據(jù)編碼成像相關(guān)理論,經(jīng)波帶片對(duì)原始圖像編碼后獲得的編碼圖h(x,y)可表示為二者的卷積,即有h(x,y)=f(x,y)?g(x,y).

在實(shí)際實(shí)驗(yàn)中,當(dāng)采用記錄介質(zhì)測(cè)量獲得原始圖像的編碼圖后,可通過(guò)退卷積算法重建出成像物的原始圖像.一般算法為F{h(x,y)}=F{f(x,y)}·F{g(x,y)}.通過(guò)適當(dāng)?shù)淖儞Q,有

其中,F表示傅里葉變換,F?1表示逆傅里葉變換,K為計(jì)算中用到的濾波常數(shù).(1)式表明,未編碼的原始圖像可由經(jīng)波帶片編碼的編碼圖的傅里葉變換與Fresnel波帶片透過(guò)率函數(shù)的傅里葉變換相除的逆傅里葉變換得到.需要說(shuō)明的是,(1)式的分母添加了一個(gè)濾波常數(shù)K,是噪聲對(duì)信號(hào)的功率密度比.一般而言,K的值很難確定,需經(jīng)過(guò)多次嘗試才能找到合適的值.

Fresnel波帶片成像的分辨能力受到波帶片最外環(huán)寬度?r的限制,即只能分辨尺寸大于1.22?r的物體.所以,采用光學(xué)方法(即直接用單色平行光照射編碼圖,則在焦點(diǎn)處會(huì)產(chǎn)生一個(gè)原始圖像的實(shí)像)對(duì)Fresnel波帶片編碼圖進(jìn)行重建的分辨率也受到最外環(huán)寬度的限制.通過(guò)計(jì)算發(fā)現(xiàn),直接將Fresnel波帶片的透過(guò)率函數(shù)g(x,y)代入(1)式,獲得的重建圖像分辨率與采用光學(xué)方法獲得的結(jié)果是一致的.Fresnel波帶片的透過(guò)率函數(shù)在極坐標(biāo)下可以表示為

其中,?表示兩個(gè)函數(shù)的卷積,r1為Fresnel波帶片的第一環(huán)半徑,為第二環(huán)半徑,m為波帶片階數(shù).將上式做三角級(jí)數(shù)展開(kāi),可得

令(2)式中的m=2n+1,則(3)式可化簡(jiǎn)為

其中,n=0,1,2,3,···.假設(shè)與第一環(huán)半徑為r1的Fresnel波帶片對(duì)應(yīng)的第m階Gabor波帶片透過(guò)率函數(shù)表示為

則將(5)式代入(4)式,可得

(7)式表明,Fresnel波帶片的透過(guò)率函數(shù)可以表示為無(wú)窮多個(gè)不同階次的Gabor波帶片透過(guò)率函數(shù)的線性組合.因此,將Fresnel波帶片作為編碼孔獲得的編碼圖h(x,y)又可表示為

下 面 我 們 將 第2n′+1階Gabor波 帶 片f2n′+1(r,θ)選為解碼孔代替(1)式中的Fresnel波帶片g(x,y),重建原始圖像.即將(1)式變?yōu)?/p>

由于在n′n時(shí),在一定的濾波條件下,有

因此(9)式只存在n′=n項(xiàng).此時(shí),可化簡(jiǎn)為

(10)式表明,采用第2n′+1階Gabor波帶片的透過(guò)率函數(shù)f2n′+1(r,θ)替代原來(lái)的Fresnel波帶片的透過(guò)率函數(shù)g(x,y)對(duì)編碼圖進(jìn)行解碼,其效果等價(jià)于對(duì)編碼圖h(x,y)中所包含的成分進(jìn)行重建.此時(shí),重建圖像的分辨率等于1.22?r′.假設(shè)Fresnel波帶片的第一環(huán)半徑為r1,總環(huán)帶數(shù)為N,則最外環(huán)寬度為則與Fresnel波帶片對(duì)應(yīng)的第m階Gabor波帶片的第一環(huán)半徑總環(huán)帶數(shù)N′=mN,則最外環(huán)寬度即第m階Gabor波帶片的最外環(huán)寬度?r′是對(duì)應(yīng)Fresnel波帶片最外環(huán)寬度?r的1/m倍.

推導(dǎo)證實(shí)采用這種方法獲得的重建圖像分辨率是直接采用(1)式方法的m倍.由于(10)式中存在因子1/(2n′+1),因此隨著重建所用Gabor波帶片階次m=2n′+1的增高,所得重建圖像的強(qiáng)度將隨之減小,即所得重建圖像的對(duì)比度也會(huì)隨之變差.

3 模擬實(shí)驗(yàn)

我們用Fresnel波帶片的第m階Gabor波帶片的透過(guò)率函數(shù)fm(x,y)代替原Fresnel波帶片的透過(guò)率函數(shù)g(x,y),進(jìn)行編碼圖的復(fù)原.假設(shè)原始圖像為等腰三角形,其下底的長(zhǎng)度l為10μm見(jiàn)圖2(a);Fresnel波帶片的環(huán)帶數(shù)為N=50,第一環(huán)半徑為r1=150μm,最外環(huán)寬度為?r=10.6μm.如圖2(b)所示.

由于l<1.22?r,根據(jù)瑞利判據(jù),經(jīng)波帶片直接成像無(wú)法獲得清晰的圖像.原始圖像進(jìn)行編碼得到如圖2(c)所示的編碼圖,再由退卷積獲得如圖2(d)所示的原始圖像,可以看出,直接對(duì)Fresnel波帶片g(x,y)進(jìn)行退卷積,無(wú)法獲得清晰的原始圖,因?yàn)樵紙D像的尺寸太小,超過(guò)了瑞利判據(jù)的限制.

下面選取了某幾個(gè)階次的Gabor波帶片代替原來(lái)的Fresnel波帶片透過(guò)率函數(shù)g(x,y),進(jìn)行退卷積運(yùn)算對(duì)編碼圖進(jìn)行復(fù)原,獲得的復(fù)原圖像結(jié)果如圖3所示.

圖2 (網(wǎng)刊彩色)編碼成像步驟圖 (a)原始圖像;(b)Fresnel波帶片;(c)編碼圖;(d)編碼圖退卷積后得到的復(fù)原圖像Fig.2.(color online)Step diagram of zone plate code imaging:(a)The original image;(b)the Fresnel zone plate;(c)the coded image;(d)the result.

圖3 (網(wǎng)刊彩色)用第n階Gabor波帶片退卷積得到的圖像(a)—(f)分別為用第1,3,5,7,9,11階Gabor波帶片退卷積得到的圖像Fig.3.(color online)The results through n-th order Gabor zone plate’s deconvolution:(a)–(f)The result through the first,third,fifth,seventh,ninth and eleventh order Gabor zone plate’s deconvolution,respectively.

由上述模擬結(jié)果可以看出,隨著Gabor波帶片的階數(shù)的增加,獲得的原始圖像漸漸變清晰,當(dāng)采用的Gabor波帶片的階次m取得足夠高時(shí),可以實(shí)現(xiàn)打破瑞利判據(jù)限制的高分辨成像,這表明,通過(guò)第m階的Gabor波帶片進(jìn)行編碼圖的復(fù)原是提高復(fù)原后原始圖像分辨率的有效手段.但隨著Gabor波帶片的階次增高,復(fù)原得到的圖像的背景噪聲也隨之增大.

4 結(jié) 論

我們提出一種新型的Fresnel波帶片編碼成像的重建方法:用Fresnel波帶片的第m階Gabor波帶片進(jìn)行編碼圖的重建.通過(guò)理論推導(dǎo)結(jié)合模擬分析,證實(shí)該方法能夠?qū)崿F(xiàn)打破瑞利判據(jù)限制的高分辨成像.一般地,使用第m階Gabor波帶片進(jìn)行編碼圖的重建的分辨率是同等條件下采用Fresnel波帶片進(jìn)行重建的m倍.雖然隨著分辨率的提高,復(fù)原得到的圖像的對(duì)比度會(huì)隨之變差,但被成像物仍然清晰可辨.總的來(lái)說(shuō)該方法簡(jiǎn)單易行,為Fresnel波帶片編碼成像帶來(lái)了新的生機(jī).

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PACS:42.30.Va,42.40.Kw DOI:10.7498/aps.66.054203

High-resolution reconstruction of Fresnel zone plate coded imaging?

Wang Xin-Yi1)2)Fan Quan-Ping1)Wei Lai1)Yang Zu-Hua1)Zhang Qiang-Qiang1)Chen Yong1)Peng Qian1)Yan Zhuo-Yang1)Xiao Sha-Li2)Cao Lei-Feng1)?

1)(Research Center of Laser Fusion,China Academy of Engineering Physics,Mianyang 621900,China)
2)(Key Laboratory of Optoelectronic Technology and Systems of the Education Ministry of China,Chongqing University,Chongqing 400030,China)

24 August 2016;revised manuscript

30 November 2016)

Zone plate coded imaging is an experimental technique for particle and strong X-ray imaging,which is widely applied to astronomy,nuclear medicine,and laser inertial confinement fusion researches.From conventional perspective,spatial resolution of zone plate depends on the encoding zone plate width of outermost ring?rwith a size greater than 1.22?r.In X-ray region,however,the outermost ring width of Fresnel zone plate is limited by processing technology.Such a limitation makes it impossible to fabricate a sufficiently small zone plate,thus restricting the applications of Fresnel zone plate coded imaging.In this paper,we present a new reconstruction method of zone plate coded imaging by using a higher-order order Gabor zone plate.With the proposed method,higher spatial resolution can be achieved than with the regular methods,thus the spatial resolution is improved by 1/mtimes the width of outermost ring(wheremis a positive integer).Consequently such a breakthrough goes beyond the limits of Rayleigh criterion in general.

zone plate coding,high-resolution imaging,Fresnel zone plate,higher-order Gabor zone plate

PACS:42.30.Va,42.40.Kw

10.7498/aps.66.054203

?國(guó)家重大科學(xué)儀器設(shè)備開(kāi)發(fā)專項(xiàng)(批準(zhǔn)號(hào):2012YQ130125)和國(guó)家自然科學(xué)基金(批準(zhǔn)號(hào):11375160)資助的課題.

?通信作者.E-mail:leifeng.cao@cnep.cn

*Project supported by the National Key Scientific Instrument and Equipment Developmeng Project of China(Grant No.2012YQ130125)and the National Natural Science Foundation of China(Grant No.11375160).

?Corresponding author.E-mail:leifeng.cao@cnep.cn