吳彬彬1)2) 馬忠軍1)2)? 王毅3)

1)(桂林電子科技大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院,桂林 541004)

2)(桂林電子科技大學(xué),廣西高校數(shù)據(jù)分析與計算重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,桂林 541004)

3)(浙江財經(jīng)大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,杭州 310012)

(2016年6月29日收到;2016年11月30日收到修改稿)

領(lǐng)導(dǎo)-跟隨多智能體系統(tǒng)的部分分量一致性?

吳彬彬1)2) 馬忠軍1)2)? 王毅3)

1)(桂林電子科技大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院,桂林 541004)

2)(桂林電子科技大學(xué),廣西高校數(shù)據(jù)分析與計算重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,桂林 541004)

3)(浙江財經(jīng)大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,杭州 310012)

(2016年6月29日收到;2016年11月30日收到修改稿)

首先給出多智能體系統(tǒng)的部分分量一致性概念,然后探討有向網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)下的一階非線性領(lǐng)導(dǎo)-跟隨多智能體系統(tǒng)的部分分量一致性問題.通過設(shè)計合適的牽引控制器,建立相應(yīng)的誤差系統(tǒng),將多智能體系統(tǒng)的部分分量一致性轉(zhuǎn)化為誤差系統(tǒng)的部分變元穩(wěn)定性,并運(yùn)用矩陣?yán)碚摵头€(wěn)定性理論,導(dǎo)出該多智能體系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)部分分量一致性的充分條件.數(shù)值模擬驗(yàn)證了理論結(jié)果的正確性.

多智能體系統(tǒng),一致性,部分分量一致性

1 引 言

近年來,隨著人工智能技術(shù)的快速發(fā)展,多智能體系統(tǒng)的研究引起了物理、通信與控制等各領(lǐng)域?qū)W者的興趣.一致性作為多智能體系統(tǒng)協(xié)調(diào)控制中最基本的問題之一,也受到多個領(lǐng)域中研究者的持續(xù)關(guān)注[1?4].一致性是指由多個智能體組成的一個系統(tǒng)在控制協(xié)議的作用下,其位置或速度等狀態(tài)變量漸近趨同.多智能體系統(tǒng)的一致性研究[5,6]在蜂擁問題、群集問題、編隊(duì)控制和分布式傳感器網(wǎng)絡(luò)等領(lǐng)域都有著廣泛應(yīng)用.

目前,已有很多研究無領(lǐng)導(dǎo)者的多智能體系統(tǒng)一致性問題的文獻(xiàn)[7?12].例如,文獻(xiàn)[7]將系統(tǒng)的通信拓?fù)浣３捎邢驁D,首先證明了在有向固定拓?fù)鋸?qiáng)連通的情況下,系統(tǒng)能夠達(dá)到一致;文獻(xiàn)[8]考慮了廣義的線性和非線性多智能體系統(tǒng)的一致性問題;文獻(xiàn)[9]考察了同時具有通信時延和輸入時延的一階與二階多智能體系統(tǒng)的運(yùn)動一致性問題.此外,文獻(xiàn)[10,11]分別考慮了一階和二階非線性多智能體系統(tǒng)模型的一致性問題;通過給出一個新的李雅普諾夫函數(shù),文獻(xiàn)[12]獲得了固定通信拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)下的三階非線性多智能體系統(tǒng)一致性的一個充分條件.領(lǐng)導(dǎo)-跟隨多智能體系統(tǒng)的一致性問題也獲得了一些研究成果[13?17].例如,文獻(xiàn)[13]考察了有向網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)下非線性多智能體系統(tǒng)的局部和全局一致性問題;基于一個新的T-S模糊模型方法,文獻(xiàn)[14]考慮了在任意拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)下非線性多智能體系統(tǒng)模型的H∞一致性控制問題;運(yùn)用線性矩陣不等式方法,文獻(xiàn)[15]在其基礎(chǔ)上獲得了領(lǐng)導(dǎo)-跟隨多智能體系統(tǒng)模型一致性的一個模糊算法;文獻(xiàn)[16]研究了在固定和切換拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)下高階多智能體系統(tǒng)的一致性問題;此外,文獻(xiàn)[17]提出了多智能體系統(tǒng)的滯后一致性,并基于矩陣?yán)碚摵头€(wěn)定性理論,給出了幾個實(shí)現(xiàn)滯后一致性的充分條件.

以上研究考慮的一致性(或聚類一致性)是所有(或部分)智能體的所有狀態(tài)變量(如位移和速度)漸近趨于恒同.一些學(xué)者從另外的角度,針對二階多智能體系統(tǒng),研究了部分狀態(tài)變量的一致性問題.例如,文獻(xiàn)[18]研究了二階多智能體系統(tǒng)的部分狀態(tài)一致性問題,這意味著每個智能體的部分狀態(tài)(如速度)達(dá)到一致,其他的狀態(tài)(如位移)不一定達(dá)到一致.然而,在多智能體網(wǎng)絡(luò)中,因?yàn)橐恍┮蛩鼗蛐枰?系統(tǒng)中智能體的位移(或速度)也許只在某一個方向上的分量達(dá)到一致,而在其他方向上的分量并不一定一致.例如,飛機(jī)在飛行表演時,幾架飛機(jī)保持一字橫隊(duì)并排(或射線狀)飛行,就位移這個三維矢量來說,在其飛行前進(jìn)方向上的位移分量是一致的,而位移在另外方向上的分量并不是一致的.從本質(zhì)上來說,這就是一種關(guān)于位移的部分分量一致性問題.受上述研究結(jié)果和現(xiàn)象的啟發(fā),本文考慮多智能體系統(tǒng)的部分分量一致性問題.與狀態(tài)中全部分量達(dá)到一致的已有研究結(jié)果相比較,部分分量一致性更具有一般性,是一種比通常意義下的一致性要弱的群體動力學(xué)行為.因此,部分分量一致性的研究具有較強(qiáng)的理論意義和潛在的應(yīng)用價值.

本文第2節(jié)給出文中要用到的部分變元穩(wěn)定性、圖論以及矩陣相關(guān)知識和引理;第3節(jié)先給出部分分量一致性概念,然后研究領(lǐng)導(dǎo)-跟隨非線性多智能體系統(tǒng)的部分分量一致性問題,通過設(shè)計合適的控制項(xiàng),并運(yùn)用矩陣?yán)碚摵头€(wěn)定性理論,導(dǎo)出該多智能體系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)部分分量一致性的充分條件;第4節(jié)數(shù)值模擬驗(yàn)證了理論結(jié)果的正確性;第5節(jié)給出結(jié)論和討論.

2 預(yù)備知識

首先給出文中要用到的有關(guān)穩(wěn)定性理論的一些結(jié)果.考慮n維非自治常微分方程組

定義1[19]稱(1)式的平凡解關(guān)于部分變元y是穩(wěn)定的,若?ε＞ 0,?t0∈ R+,?δ(t0,ε)＞0,?x0∈Sδ(n)={x|||x||＜δ},有

定義2[19]稱(1)式的平凡解關(guān)于部分變元y是吸引的,若?t0∈R+,?σ(t0)＞0,?ε＞0,?x0∈Sδ(t0)={x|||x||≤ σ(t0)},?T(t0,x0,ε)＞ 0,當(dāng)t≥t0+T時,有

其中Sσ(t0)稱為關(guān)于y的吸引區(qū)域.

定義3[19]稱(1)式的平凡解關(guān)于部分變元y漸近穩(wěn)定,若它關(guān)于y穩(wěn)定且吸引.

定義4[19]若函數(shù)φ∈C[R+,R+](或C[(0,r), R+])是連續(xù)的嚴(yán)格單調(diào)上升函數(shù),且有φ(0)=0,則稱φ屬于K類函數(shù),記為φ∈K.

引理1[19]令?,ψ和α都是K類函數(shù).若存在函數(shù)V(t,x)滿足

它的導(dǎo)數(shù)

則(1)式的平凡解關(guān)于y漸近穩(wěn)定.

接著,給出一個文中需要用到的有關(guān)矩陣的引理.

引理2 設(shè)H=(hij)∈RN×N,B=(bij)∈Rn×n,則存在nN階置換矩陣(即每一行和每一列都只有一個元素為1而其余元素均為0的方陣) P=Ps···P1,其中Pi是第一類初等行變換矩陣(即將單位矩陣的某兩行進(jìn)行對換后的矩陣),使得等式成立.其中, i=1,···,s,s為正整數(shù),為克羅內(nèi)克積.

通過簡單計算可知,存在nN階置換矩陣P=Ps···P1,其中Pi是第一類初等行變換矩陣,使得.同理,

于是,

然后,介紹文中要用的圖論基礎(chǔ)知識.

3 主要結(jié)果

本文將部分變元的穩(wěn)定性理論運(yùn)用到多智能體系統(tǒng).考慮由N個智能體和一個領(lǐng)導(dǎo)者組成的一階多智能體系統(tǒng),由文獻(xiàn)[13]的模型,可設(shè)每個跟隨智能體的動力學(xué)方程為

其中,xi=(xi1,···,xin)T∈Rn表示第i個智能體的狀態(tài);f(xi)=(f1(xi),···,fn(xi))T是非線性連續(xù)函數(shù);c＞ 0表示耦合強(qiáng)度;Γ = diag(r1,···,rn)∈Rn×n(rk≥0,k=1,···,n)表示內(nèi)部耦合矩陣.

設(shè)領(lǐng)導(dǎo)智能體的狀態(tài)方程為

其中,x0=(x01,···,x0n)T∈Rn表示領(lǐng)導(dǎo)智能體的狀態(tài),f(x0)=(f1(x0),···,fn(x0))T是非線性連續(xù)函數(shù).

考慮有向網(wǎng)絡(luò)拓?fù)湎碌念I(lǐng)導(dǎo)-跟隨多智能體系統(tǒng)部分分量一致性問題.類似于文獻(xiàn)[15]中的一致性協(xié)議,設(shè)計牽引控制器

其中,c和Γ的意義與(2)式中的相同.當(dāng)?shù)趇個智能體能接收到領(lǐng)導(dǎo)者的信息時,di＞0,否則di=0.

令ei(t)=xi(t)?x0(t).由(2),(3)和(4)式可以得到誤差系統(tǒng)

上式可以寫成向量形式

其中,

為了研究誤差系統(tǒng)(5)的平凡解關(guān)于部分變元的漸近穩(wěn)定性,我們做如下變換:令= P e(t),其中P是引理2中的置換矩陣.令εk(t)= (e1k(t),···,eNk(t))T,k=1,···,n,通過計算可得因此,(5)式可以轉(zhuǎn)化為

首先給出文中要用到的一個假設(shè)條件.

注: 與利普希茨條件相比,假設(shè)1的條件是弱化的條件.

然后,給出文中要用到的一個定義.

明顯地,若l=n,則定義5中的一致性就是通常意義下的一致性.這就是說,部分分量一致性是一種更一般化的群體動力學(xué)行為.

定理1 有向網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)下,對于控制項(xiàng)(4),若系統(tǒng)(2)和(3)滿足假設(shè)1,且滿足條件

令

注1: 控制器(4)是牽引控制器.當(dāng)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)錇槠胶鈭D[7](即滿足條件:任何一個節(jié)點(diǎn)的入度等于出度,也就是L的行和與列和都等于0;無向圖是平衡圖的特例)時,只需牽制根節(jié)點(diǎn)就可以保證(L+D)s正定,故當(dāng)c充分大時定理的條件可以成立.這就是說,對于平衡圖,只需牽制控制根節(jié)點(diǎn)即可.

4 數(shù)值模擬

本節(jié)通過例子表明上一節(jié)中部分分量一致性理論結(jié)果的有效性.

圖1 智能體連接的拓?fù)鋱DFig.1.The ad jacent topology graph of agents.

例 令系統(tǒng)(2)中的N=4,n=3(圖1).下面我們考慮多智能體系統(tǒng)關(guān)于前兩個分量的一致性問題(即l=2).設(shè)領(lǐng)導(dǎo)智能體狀態(tài)的下標(biāo)用0表示.令第i個智能體的狀態(tài)方程為

通過簡單計算,取w=1時假設(shè)1成立.取L和D分別為

圖2 (網(wǎng)刊彩色)跟隨者與領(lǐng)導(dǎo)者的狀態(tài)誤差演化Fig.2.(color on line)The tim e evolution of the state errors between the leader and the followers.

則(L+D)s的最小特征值為λmin=0.1910.取Γ =diag(1,1,0)與c=6,不等式(7)成立.運(yùn)用M atlab軟件計算,得到誤差軌跡如圖2所示.圖2(a)與圖2(b)表明了在牽制根節(jié)點(diǎn)(第3個節(jié)點(diǎn))時系統(tǒng)(2)和(3)中所有智能體的前兩個分量都能達(dá)到一致,而圖2(c)說明另一個分量沒有達(dá)到一致.這就是說,與通常意義下的一致性比較,部分分量一致性是一種較弱的群體動力學(xué)行為.

5 結(jié) 論

本文考慮了具有領(lǐng)導(dǎo)者的一階非線性多智能體系統(tǒng)的部分分量一致性,在有向網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)下,給出了一個有效的牽引控制器,獲得了該系統(tǒng)達(dá)成部分分量一致性的一個充分條件,并運(yùn)用矩陣?yán)碚摵头€(wěn)定性理論證明了該充分條件的正確性.然而,現(xiàn)實(shí)中還有一些現(xiàn)象是關(guān)于速度的部分分量一致性的,這就需要對二階甚至是高階多智能體系統(tǒng)的一致性進(jìn)行研究.下一步,我們將討論二階多智能體系統(tǒng)的多個分量一致性問題.

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PACS:02.30.Yy,02.30.Ks,05.65.+bDOI:10.7498/aps.66.060201

Partial com ponen t consensus o f leader-follow ing m u lti-agent system s?

Wu Bin-Bin1)2)Ma Zhong-Jun1)2)?Wang Yi3)

1)(School ofM athem atics and Com puting Science,Guilin University of Electronic Technology,Guilin 541004,China)
2)(Guangxi Colleges and Universities K ey Laboratory of Data Analysis and Com pu tation,Guilin University of E lectronic Technology,Guilin 541004,China)
3)(School ofM athem atics and Statistics,Zhejiang University of Finance and Econom ics,Hangzhou 310012,China)
(Received 29 June 2016;revised m anuscrip t received 30 Novem ber 2016)

Consensus prob lem s,as basic topics in distributed coordination ofmulti-agent system s,have d rawn a great deal of attention from diff erent research fields.Generally,consensus refers to the asym ptotic convergence of state variables of all agentsw ith tim e evolution.In this paper,a concep t on partial com ponent consensus in multi-agent system is fi rst given, which is a weaker dynam ic behavior of group than the consensus in general,and then the problem of partial com ponent consensus in leader-follow ing fi rst-ordermulti-agent system w ith the directed network topology is discussed.By designing an approp riate pinning control protocol and building corresponding error system,partial com ponent consensus in mu ltiagent system is transformed into the partial variable stability of the error system.Using matrix theory and stability theory,a suffi cient condition is given to realize partial com ponent consensus inmulti-agent system.Numericalsimu lations are given to illustrate the theoretical resu lts.

multi-agent system,consensus,partial component consensus

10.7498/aps.66.060201

?國家自然科學(xué)基金(批準(zhǔn)號:11562006,61663006)、廣西自然科學(xué)基金(批準(zhǔn)號:2015GXNSFAA 139013)、桂林電子科技大學(xué)研究生教育創(chuàng)新計劃(批準(zhǔn)號:YJCXS201555)、廣西優(yōu)秀中青年骨干教師培養(yǎng)工程項(xiàng)目(批準(zhǔn)號:gxqg022014025)和浙江省自然科學(xué)基金(批準(zhǔn)號:LY 17A 020007)資助的課題.

?通信作者.E-m ail:m zj1234402@163.com

*Pro ject supported by the National Natural Science Foundation of China(G rant Nos.11562006,61663006),the Natu ral Science Foundation of Guangxi,China(G rant No.2015GXNSFAA 139013),the Innovation Pro ject of GUET G raduate Education,China(G rant No.YJCXS201555),the Outstanding Young Teachers Training in H igher Education Institutions of Guangxi,China(G rant No.gxqg022014025),and the Zhejiang Provincial Natural Science Foundation of China(Grant No.LY 17A 020007).

?Corresponding author.E-m ail:m zj1234402@163.com