李海艷, 郭宇恒, 李利玫

(1. 四川大學錦城學院 數(shù)學教研室， 四川 成都 611731； 2. 電子科技大學 通信學院, 四川 成都 611731； 3. 四川師范大學 數(shù)學與軟件學院, 四川 成都 610068)

帶有脈沖的二階多點微分方程的邊值問題

李海艷1, 郭宇恒2, 李利玫3

(1. 四川大學錦城學院 數(shù)學教研室， 四川 成都 611731； 2. 電子科技大學 通信學院, 四川 成都 611731； 3. 四川師范大學 數(shù)學與軟件學院, 四川 成都 610068)

研究了一類帶有脈沖的二階多點微分方程的邊值問題, 將以往所研究的方程的脈沖項和邊界條件做了推廣, 對其限制條件進行了修改, 并且在脈沖項都含有一階導數(shù)的情形下運用Leray-Schauder不動點定理探討了該類問題解的存在性. 對非線性項和脈沖項做了一些假設, 證明了方程的解集有一個不依賴于參數(shù)λ的先驗界, 進而得到結(jié)論: 方程至少有一個解. 最后通過一個實例說明了結(jié)論的應用.

脈沖微分方程; Leray-Schauder不動點定理; 多點邊值問題

0 引 言

微分方程邊值問題是一個具有持久生命力的課題. 近年來, 隨著微分方程理論的發(fā)展, 多點邊值問題的研究日益活躍[1-12], 特別是對于含有脈沖項的微分方程的多點邊值問題的可解性得到了廣泛的關(guān)注[8-17]. 但是, 對于非線性項、 脈沖項都含有一階導數(shù)的多點邊值問題的解的存在性的研究卻不多見[11-14].

文獻[1]利用五泛函不動點定理討論了如下m點邊值問題多個正解的存在性：

其中,ki>0(i=1,2,…,m-2),0<ξ1<ξ2<…<ξm-2<1.

對于脈沖微分方程, 文獻[9]研究了含有導數(shù)脈沖的三點邊值問題：

其中,f∈C(J×R2,R),Ik∈C(R,R),Jk∈C(R×R,R),T∈R,Z∈(0,1), 0

受文獻[1，8]的啟發(fā),本文討論了如下的二階脈沖微分方程的m-點邊值問題(BVP)：

文中對文獻[8]所研究的方程的脈沖項和邊界條件做了推廣, 對其限制條件進行了修改, 并且在脈沖項都含有一階導數(shù)的情形下運用Leray-Schauder不動點定理獲得了該類問題解的存在性定理.

1 主要引理及其證明

引入以下空間:

引理 1[18]集合H?PC1(J,R)是相對緊集的充分必要條件為H中的諸函數(shù)x(t)及其導函數(shù)x′(t)都在J上一致有界且在每個Jk(k=1,2,…,m)上等度連續(xù).

引理 2 若x∈PC1(J,R)∩C2(J′,R) 是BVP(1) 的解, 當且僅當x∈PC1(J,R)是下面的脈沖積分方程的解.

式中：x′(0)由式(6)給出.

證明 設x是BVP(1)的解, 對式(1)兩端積分, 得

對式(4)再次積分, 得

x(t)=

在式(4)中分別令t=1,t=ξi, 有

結(jié)合邊界條件, 有

即

因此， 由式(4)， 式(6)可得式(2).

反過來, 假定x∈PC1[J,R] 是脈沖微分方程(2)的解, 易知x(0)=0, △x|t=tk=Ik(x(tk)).

當t≠tk時, 直接對式(2)求導, 可得

對式(7)兩邊再求導， 得

[-x″(t)=f(s,x(s),x′(s)),t≠tk,

定義算子A:PC1[J,R]→PC1[J,R]時，

由引理1和引理2容易驗證, 算子A是從PC1(J,R)到PC1(J,R)的全連續(xù)算子.

引理 3[18](Leray-Schauder定理) 設X為實Banach空間, 算子A∶X→X為全連續(xù)算子, 若集合{‖x‖|x∈X,x=λAx,0<λ<1}是有界的, 則方程x=Ax至少有一個解.

2 主要結(jié)論及證明

定理 1 假設H1)和H2)及下列條件成立:

C1) 存在有界函數(shù)α(t),β(t),γ(t), 使得

|f(t,x,y)|≤α(t)‖x‖+β(t)‖y‖+γ(t).

C2) 存在非負常數(shù)nk,mk,lk, 使得

C3) 存在常數(shù)ak> 0, 使得

k=1,2,…,n.

那么BVP(1.1) 至少有一個解.

證明 由引理3可知, 只需要證明方程

的解集在PC1(J,R)∩C2(J′)中有一個不依賴于λ∈(0,1)的先驗界.

可得

則

由此可知, 只需驗證‖x′‖有界即可.

為了方便, 令x(t)=λ[x0(t)+I0(t)], 其中

當0≤t≤ξ1時,

當ξr-1≤t≤ξr,2≤r≤m-2時,

當ξm-2≤t≤1時,

由以上結(jié)論可知, 當0≤t≤1,ξr-1≤s≤min{ξr,t}時,

x0(t)=

當0≤t≤1,max{ξr-1,t}≤s≤ξr時,

綜上可知,

當ξr-1≤s≤min{ξr,t}時,

由H1)可得,

當max{ξr-1,t}≤s≤ξr時,

同理, 由H1)可得,

又因為

故對?t,s∈[0,1],

即

由C3)知， 存在Nk>0, k=1,2,…,n, 有

?t∈J, ‖x‖+‖y‖≥Nk.

從而

?x,y∈(R×R).

其中

所以, 結(jié)合條件C1), 可得

‖x′‖≤

記

由以上分析, 可得對于?0<λ<1, 都有

因此, ‖x′‖有界, 從而‖x‖也有界. 由引理3, 故BVP(1)至少有一個解.定理得證.

3 應用舉例

考察如下二階脈沖微分方程

易驗證BVP(9)滿足定理1的所有條件, 因此BVP(9)至少存在一個解.

[1]JiangWeihua,GuoYanping.Multiplepositivesolutionsforsecond-orderm-pointboundaryvalueproblems[J].J.Math.Anal.Appl., 2007(327)： 415-424.

[2]ZhangGuowei,SunJingxian.Positivesolutionsofm-pointboundaryvalueproblems[J].J.Math.Anal.Appl., 2004(291)： 406-418.

[3]LiuXiujun,QiuJiqing,GuoYanping.Threepositivesolutionsforsecond-orderm-pointboundaryvalueproblems[J].AppliedMathematicsandComputation, 2004(156)： 733-742.

[4]陸心怡, 張興秋, 王林. 一類分數(shù)階微分方程m點邊值問題正解的存在性[J].系統(tǒng)科學與數(shù)學, 2014, 34(2)： 218-230.LuXinyi,ZhangXingqiu,WangLin.Existenceofpositivesolutionsforaclassoffractionaldifferentialequationswithm-pointboundaryvalueconditions[J].JournalofSystemsScienceandMathematicalSciences, 2014, 34(2)： 218-230. (inChinese)

[5]JiangWeihua.Theexistenceofpositivesolutionsforsecond-ordermulti-pointBVPswiththefirstderivative[J].Comput.Math.Appl., 2009(225)： 387-392.

[6]許潔, 趙微. 一類三階常微分方程m點邊值問題的正解存在性[J]. 數(shù)學的實踐與認識, 2013, 43(20)： 255-260.XuJie,ZhaoWei.Theexistenceofpositivesolutionsofm-pointboundaryvalueproblemsforonekindofthird-orderordinarydifferentialequations[J].MathematicsinPracticeandTheory, 2013,43(20)： 255-260. (inChinese)

[7]ZhangXuemei,FengMeiqiang,GeWeigao.Multiplepositivesolutionsforaclassofm-pointboundaryvalueproblems[J].Appl.Math.Let., 2009(22)： 12-18.

[8]SunYing,ZhuDeming.Existencetheoremsforasecondorderthree-pointboundaryvalueproblemwithimpulses[J].Appl.Math.J.ChineseUniv.Ser.B., 2005, 20(2)： 165-174.

[9]LiuBing,YuJianshe.Existenceofsolutionform-pointboundaryvalueproblemsofsecond-orderdifferentialsystemswithimpulses[J].Appl.Math.Comput., 2002(125)： 155-175.

[10]TianYan,JiangDaqing,GeWeigao.Multiplepositivesolutionsofperiodicboundaryvalueproblemsforsecondorderimpulsivedifferentialequations[J].Appl.Math.Comput., 2008(200)： 123-132.

[11]張學梅, 葛渭高. 奇異脈沖微分方程m點邊值問題多個正解的存在性 [J]. 北京理工大學學報， 2009(12)： 1122-1125.ZhangXuemei,GeWeigao.Existenceofmultiplepositivesolutionstom-pointboundaryvalueproblemsforsingularimpulsivedifferentialequations[J].TransactionsofBeijingInstituteofTechnology， 2009(12)： 1122-1125. (inChinese)

[12]田景霞. 無窮區(qū)間上二階脈沖微分方程多點邊值問題的正解[J]. 應用泛函分析學報， 2012(14)： 315-320.TianJingxia.Positivesolutionsofmultiplepointboundaryvalueproblemsforsecond-orderimpulsivedifferentialequations[J].ActaAnalysisFunctionalisApplicata, 2012(14)： 315-320. (inChinese)

[13]FengMeiqiang,XieDongxiu.Multiplepositivesolutionsofmulti-pointboundaryvalueproblemforsecond-orderimpulsivedifferentialequations[J].J.Comput.Appl.Math., 2009(223)： 438-448.

[14]YaoMeiping,ZhaoAimin,YanJurang.Anti-periodicboundaryvalueproblemsofsecondorderimpulsivedifferentialequations[J].Comput.Math.Appl., 2010(59)： 3617-3629.

[15]YaoMeiping,ZhaoAimin,YanJurang.Periodicboundaryvalueproblemsofsecond-orderimpulsivedifferentialequations[J].NonlinearAnalysis, 2009(70)： 262-273.

[16]ZhangLingling,ZhaiChengbo.Existenceanduniquenessofpositivesolutionstononlinearsecondorderimpulsivedifferentialequationswithconcaveorconvexnonlinearities[J] .DiscreteDyn.Nat.Society, 2013, 259730： 1-11.

[17]JiangWeihua,ZhangQiang,GuoWeiwei.Multiplepositivesolutionsforsecondorderimpulsivedifferentialequation[J].Electron.J.Qual.TheoryDiff.Equa., 2013(6)： 1-11.

[18]郭大均. 非線性泛函分析[M]. 濟南： 山東科技出版社， 2001.

聲 明

本刊已許可中國學術(shù)期刊(光盤版)電子雜志社在中國知網(wǎng)及其系列數(shù)據(jù)庫產(chǎn)品中，以數(shù)字化方式復制、匯編、發(fā)行、信息網(wǎng)絡傳播本刊全文。該社著作權(quán)使用費與本刊稿酬一并支付。作者向本刊提交文章發(fā)表的行為即視為同意我編輯部上述聲明。

Boundary Value Problems for Second Order Multi-Point Difference Equations with Impulses

LI Hai-yan1, GUO Yu-heng2, LI Li-mei3

(1. Dept. of Mathematics, Jincheng College of Sichuan University, Chengdu 611731, China； 2. University of Electronic Science and Technology of China, Chengdu 611731, China； 3. College of Math and Software Science, Sichuan Normal University, Chengdu 610068， China)

The existence of solutions for multi-point boundary value problem of second-order impulsive differential equations was investigated. The boundary value conditions and impulsive term were extended. In the case of the impulsive term with the first derivative, the new conclusions about the existence of the solution are obtained via Leray-Schauder fixed-point theorem. It is proved that when the nonlinear term and impulsive term with some assumptions, a priori bounds for the solutions set of the differential equation doesn't depend on the parametersλ. It draws the conclusion that the differential equation has one solution at least. At last, the material example shows the application of the results.

impulsive differential equation; Leray-Schauder fixed point theorem; multi-point boundary value problem

1673-3193(2017)04-0425-08

2016-11-23

四川省教育廳青年基金資助項目(12ZB108)

李海艷(1983-)， 女， 講師， 碩士， 主要從事非線性泛函分析研究.

O175.8

A

10.3969/j.issn.1673-3193.2017.04.006