苗圃，張寧

（常州輕工職業(yè)技術(shù)學(xué)院，江蘇 常州 213000）

基于實(shí)證分析的VES和二級CES生產(chǎn)函數(shù)對比研究

苗圃，張寧

（常州輕工職業(yè)技術(shù)學(xué)院，江蘇 常州 213000）

為了選擇更符合實(shí)際的生產(chǎn)函數(shù)模型，對VES生產(chǎn)函數(shù)與二級三要素CES生產(chǎn)函數(shù)進(jìn)行數(shù)理分析與實(shí)證研究。結(jié)果表明，如果需要研究多個生產(chǎn)要素對產(chǎn)出的影響，二級三要素CES生產(chǎn)函數(shù)更優(yōu)；VES生產(chǎn)函數(shù)的參數(shù)估計相對簡便，但二者參數(shù)估計的方法沒有本質(zhì)區(qū)別；VES生產(chǎn)函數(shù)的替代彈性可變，二級三要素CES生產(chǎn)函數(shù)的替代彈性不可變；各要素的生產(chǎn)彈性不是固定值，受到多個投入要素的影響。

生產(chǎn)函數(shù)；VES生產(chǎn)函數(shù)；二級CES生產(chǎn)函數(shù)

一、研究綜述

生產(chǎn)函數(shù)是衡量生產(chǎn)領(lǐng)域投入和產(chǎn)出關(guān)系的數(shù)學(xué)模型?？虏己偷栏窭棺钤缪芯可a(chǎn)函數(shù)，其他學(xué)者在此基礎(chǔ)上對生產(chǎn)函數(shù)進(jìn)行了調(diào)整和改進(jìn)。生產(chǎn)函數(shù)最基本的是C-D模型，A.A.Shananin證明了由C-D衍生的生產(chǎn)函數(shù)的單調(diào)性、連續(xù)性、凹凸性和可微性，并用于分析宏觀經(jīng)濟(jì)①A.A.Shananin,"Investigation of a class of production functions arising in the macro description of economic systems.",USSR Computational Mathematics and Mathematical Physics,Vol.24，No.6，1984，pp.127-134.。J.Aczel和W.FGehrig探討了所有廣義Hicks-neutral生產(chǎn)函數(shù)的數(shù)理模型,使其能夠廣泛地應(yīng)用于實(shí)際領(lǐng)域②J.Aczel,W.Cehrig,"Determination of all generalized Hicks-neutral production functions",Mathematical Social Sciences",Vol.17，No.1，1989，pp.33-45.。JakubGrowiec分析了企業(yè)層面的生產(chǎn)函數(shù)和單元要素生產(chǎn)率的分布問題③Jakub Growiec,"Production functions and distributions of unit factor productivities:Uncovering the link", Economics Letters,Vol,101,No.1,2008,pp.87-90.。李先柏對比研究了C-D生產(chǎn)函數(shù)和成本函數(shù)之間的區(qū)別④李先柏：《C-D生產(chǎn)函數(shù)、成本、要素用量及參數(shù)估計》，《北京理工大學(xué)學(xué)報》(社會科學(xué)版)2008年第6期，第70-76頁。。程海森等使用多水平模型分析方法構(gòu)建了多水平C-D生產(chǎn)函數(shù)模型⑤程海森，方磊：《多水平C-D生產(chǎn)函數(shù)模型及其參數(shù)異質(zhì)性研究》，《統(tǒng)計與決策》2010年第9期，第4-7頁。。雷淵才推導(dǎo)出包含技術(shù)進(jìn)步因素的CES生產(chǎn)函數(shù)模型,并作了實(shí)證研究⑥雷淵才：《CES生產(chǎn)函數(shù)模型和技術(shù)進(jìn)步測算的理論分析》，《中南林學(xué)院學(xué)報》1996年第1期，第56-60頁。。

在對生產(chǎn)函數(shù)數(shù)理模型研究的基礎(chǔ)上,其實(shí)證性研究也在不斷深入。Erik Biorn和Terje Skjerpen使用超越對數(shù)生產(chǎn)函數(shù)，基于制造業(yè)面板數(shù)據(jù)，做了實(shí)證研究⑦Erik Biorn,Terje Skjerpen,"Aggregation biases in productions functions:a panel data analysis of Translog。徐旭川、楊麗琳也基于CES生產(chǎn)函數(shù)，實(shí)證研究了公共投資就業(yè)效應(yīng)⑧徐旭川,楊麗琳：《公巧投資就業(yè)效應(yīng)的一個解釋——基于CES生產(chǎn)函數(shù)的分析及其檢驗(yàn)》，《數(shù)量經(jīng)濟(jì)技術(shù)經(jīng)濟(jì)研究》2006年第11期，第94-103頁。。除此之外，Ling Yee Khor和Manfred Zeller也運(yùn)用生產(chǎn)函數(shù)研究了農(nóng)業(yè)領(lǐng)域的化肥含量問題①Ling Yee Khor,Manfred Zeller.Inaccurate fertilizer content and its effect on the estimation of production functions,China Economic Review,2014,30:123-132.,而Brian Piper也將生產(chǎn)函數(shù)引入公共營養(yǎng)研究領(lǐng)域②Brian Piper,"A production function examination of the aggregate effects of nutrition",Journal of Macroeconomics,2014,40:293-307.,他建立了一個專門應(yīng)用于公共營養(yǎng)研究的生產(chǎn)函數(shù)模型,客觀上對生產(chǎn)函數(shù)的研究作了新的探索。

在眾多生產(chǎn)函數(shù)中，二級多要素CES生產(chǎn)函數(shù)和VES生產(chǎn)函數(shù)因?yàn)榫邆錅y算數(shù)據(jù)的方便性和較符合社會經(jīng)濟(jì)實(shí)際情況的適中性的優(yōu)勢，使其使用面更為廣泛。但是，在經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域中，這兩個函數(shù)孰優(yōu)孰劣，學(xué)術(shù)界缺乏相應(yīng)的對比研究。本文基于此，對二者先進(jìn)行數(shù)理對比分析，再進(jìn)行實(shí)證對比研究，以期對模型的實(shí)際運(yùn)用起到一定的作用。

二、生產(chǎn)函數(shù)數(shù)學(xué)模型的比較

生產(chǎn)函數(shù)是衡量生產(chǎn)要素投入和產(chǎn)出之間關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，本文重點(diǎn)從函數(shù)的模型、參數(shù)估計、各投入要素的生產(chǎn)彈性、規(guī)模收益、替代彈性等方面做對比分析。

（一）模型的比較

1.VES生產(chǎn)函數(shù)③陳慶能：《VES生產(chǎn)函數(shù)的主要性質(zhì)及其數(shù)學(xué)證明》，《浙江科技學(xué)院學(xué)報》2008年第20期，第81-86頁。

VES生產(chǎn)函數(shù)是建立在兩種假定之上的，假定要素替代彈性是K/L的線性函數(shù)(K為資本、L為勞動)，假定要素替代彈性是時間的線性函數(shù)。前者是替代彈性隨資本K與勞動L之比的變化而變化；后者是當(dāng)K/L不變時，替代彈性隨時間的變化而變化，因?yàn)榧夹g(shù)進(jìn)步會產(chǎn)生影響。本文研究要素替代彈性是K/L的線性函數(shù)的模型。

假定替代彈性σ=a+b(K/L)

其中Ζ=Y/L,k=K/L

當(dāng)a=1,σ=1+bk時，

其中A，b，c為參數(shù)，K為資本，L為勞動。（2）式為假定一條件下的VES生產(chǎn)函數(shù)模型，也是實(shí)際運(yùn)用的VES生產(chǎn)函數(shù)模型。

整理得

再令A(yù)"=A'(a-1/a)-1/ρ，將A"與k=K/L代入（4）式，整理得

上式與CES生產(chǎn)函數(shù)的形式相同，于是（1）式退化為CES生產(chǎn)函數(shù)。因?yàn)閎=0，令使假定變?yōu)棣? a，a為固定常數(shù)，那么VES生產(chǎn)函數(shù)的替代彈性由可變轉(zhuǎn)化為不變，就使VES生產(chǎn)函數(shù)退化為CES生產(chǎn)函數(shù)。

2.二級CES生產(chǎn)函數(shù)

二級多要素CES生產(chǎn)函數(shù)是在一級CES生產(chǎn)函數(shù)的基礎(chǔ)上提出的④王貽志，孫陽，阮大成：《應(yīng)用二級CES生產(chǎn)函數(shù)對中國制造業(yè)R&D投入產(chǎn)出效應(yīng)的實(shí)證研究》，《數(shù)量經(jīng)濟(jì)技術(shù)經(jīng)濟(jì)研究》2006年第8期，第56-67頁。，假定各要素的替代彈性是可變的，而且此模型是考慮多個投入要素對產(chǎn)出的影響。隨著要素數(shù)量的增加，函數(shù)級數(shù)（即函數(shù)個數(shù)）也增加，二級函數(shù)可以同時研究三個要素對產(chǎn)出的影響。當(dāng)要素個數(shù)增加時，參數(shù)估計也變的非常復(fù)雜，所以本文只研究二級三要素CES生產(chǎn)函數(shù)。

模型的一般形式為：

YKE為一級函數(shù)，Y為二級函數(shù)。其中A,a,b,ρ1，ρ為參數(shù)。K為資本，L為勞動，E為其它要素。

YKE是中間變量，也可以看作是K與E的產(chǎn)出；Y是總產(chǎn)出，是K，E和L的函數(shù)，通過YKE將K、E與Y建立了聯(lián)系。

VES生產(chǎn)函數(shù)與二級CES生產(chǎn)函數(shù)的模型沒有直接的聯(lián)系，但是二者與CES生產(chǎn)函數(shù)有一定的關(guān)系。當(dāng)時，替代彈性變?yōu)楣潭ㄖ?，VES生產(chǎn)函數(shù)形式上退化為CES生產(chǎn)函數(shù)，說明二者的本質(zhì)區(qū)別在于替代彈性是否可變。二級三要素CES生產(chǎn)函數(shù)是嵌套式的CES生產(chǎn)函數(shù)，它與CES生產(chǎn)函數(shù)的根本區(qū)別也只是替代彈性是否可變。但是二級CES生產(chǎn)函數(shù)考慮三個要素對產(chǎn)值的影響，比VES生產(chǎn)函數(shù)更為復(fù)雜但更接近實(shí)際。

(二)模型的參數(shù)估計

1.VES生產(chǎn)函數(shù)

對（2）式兩邊取對數(shù)，得

2.二級CES生產(chǎn)函數(shù)

對（7）式展開取近似，得

對（6）式展開取近似，得

將（12）式代入（11）式，得

變量替換，得

在模型的參數(shù)估計方面，二者的方法是一致的。都是對原式展開泰勒級數(shù)并取對數(shù)，在通過變量替換轉(zhuǎn)化為線性模型。使用最小二乘法就可以求得線性模型的參數(shù)，再通過待定系數(shù)法建立原式參數(shù)的方程組，最終求解出原式的參數(shù)。由于二級CES模型含有三個解釋變量和兩個方程，所以二級CES模型的待估參數(shù)多于VES模型，在實(shí)際求解時相對復(fù)雜，但是沒有本質(zhì)區(qū)別。

（三）各投入要素的生產(chǎn)彈性

1.VES生產(chǎn)函數(shù)①程毛林：《基于VES生產(chǎn)函數(shù)的經(jīng)濟(jì)預(yù)測模型與應(yīng)用》，《蘇州科技學(xué)院學(xué)報》（自然科學(xué)版）2011年第28期，第37-44頁。

用EK代表資本K的彈性，EL代表勞動力L的彈性。

2.二級CES生產(chǎn)函數(shù)

用EK代表資本K的彈性，EL代表勞動力L的彈性，EE代表第三個投入要素E的彈性。

根據(jù)以上推導(dǎo)，發(fā)現(xiàn)VES生產(chǎn)函數(shù)和二級CES生產(chǎn)函數(shù)的各要素生產(chǎn)彈性不是固定值，會隨著投入要素的變化而變化。而且，兩個模型中的各要素生產(chǎn)彈性都受到多個投入要素的影響。

（四）規(guī)模收益

1.VES生產(chǎn)函數(shù)

規(guī)模收益為各投入要素的生產(chǎn)彈性之和。根據(jù)以上推導(dǎo)整理，EK+EL=u。當(dāng)u>1時，規(guī)模收益遞增；當(dāng)u=1時，規(guī)模收益不變；當(dāng)u<1時，規(guī)模收益遞減。

2.二級CES生產(chǎn)函數(shù)

根據(jù)以上推導(dǎo)整理，EK+EL+EE=m。當(dāng)m>1時，規(guī)模收益遞增；當(dāng)m=1時，規(guī)模收益不變；當(dāng)m<1時，規(guī)模收益遞減。

VES生產(chǎn)函數(shù)與二級CES生產(chǎn)函數(shù)的規(guī)模收益都是各自投入要素的生產(chǎn)彈性之和。這表明函數(shù)的規(guī)模收益不是由某一個投入要素的生產(chǎn)彈性的大小所決定。其實(shí)際意義是要想獲得更高的產(chǎn)值，不能只提高某一個或幾個生產(chǎn)要素的彈性，要注重生產(chǎn)要素彈性的綜合水平的提高。

（五）替代彈性比較

1.VES生產(chǎn)函數(shù)

當(dāng)a=1時，σ=1+b(K/L)為資本K對勞動L的替代彈性。

2.二級CES生產(chǎn)函數(shù)

替代彈性是指各投入要素之間相互替代的難易程度。VES生產(chǎn)函數(shù)的替代彈性是可變值，符合實(shí)際生產(chǎn)；二級CES生產(chǎn)函數(shù)的替代彈性是固定值，不符合實(shí)際生產(chǎn)。

三、實(shí)證研究

(一)研究區(qū)域與數(shù)據(jù)的選取

本文在對比分析VES生產(chǎn)函數(shù)與二級多要素CES生產(chǎn)函數(shù)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究以上兩種生產(chǎn)函數(shù)在實(shí)證分析方面的差別。

選取1996年至2011年的江蘇省第三產(chǎn)業(yè)產(chǎn)值作為產(chǎn)出指標(biāo)，以其固定資產(chǎn)投資總值作為資本投入，年末從業(yè)人員數(shù)作為勞動力投入。在VES生產(chǎn)函數(shù)模型的實(shí)證研究中，解釋變量為固定資產(chǎn)投資K(億元)、從業(yè)人數(shù)L(萬人)，被解釋變量為第三產(chǎn)業(yè)產(chǎn)值Y(億元)；在二級CES生產(chǎn)函數(shù)模型的實(shí)證研究中，解釋變量為除交通業(yè)和通信業(yè)之外的第三產(chǎn)業(yè)固定資產(chǎn)投資K(億元)、交通業(yè)和通信業(yè)的固定資產(chǎn)投資E(億元)、從業(yè)人數(shù)L(萬人)，被解釋變量為第三產(chǎn)業(yè)產(chǎn)值Y(億元)。

（二）VES生產(chǎn)函數(shù)的實(shí)證研究①李子奈：《計量經(jīng)濟(jì)學(xué)》，北京：高等教育出版社，2000年，第186頁。

通過Eviews軟件，對（10）式進(jìn)行多元線性回歸分析，以此估計參數(shù)a0，a1，a2，a3，之后解出（9）式中相對應(yīng)的參數(shù)A，b，c，u。

根據(jù)軟件分析的結(jié)果，得到如下線性回歸模型：

相應(yīng)的t值依次為：-1.72162，0.874872，2.666537，3.302054，說明模型中的解釋變量與被解釋變量之間的線性關(guān)系顯著。R2=0.9966說明樣本回歸線對樣本數(shù)據(jù)的擬合效果很好，F(xiàn)=1172.593說明函數(shù)模型的整體線性關(guān)系很好。根據(jù)（15）式進(jìn)行預(yù)測，預(yù)測結(jié)果如表1。

表1 VES生產(chǎn)函數(shù)相關(guān)變量表

根據(jù)（15）式，得到參數(shù)的估計值，并與（9）式中對應(yīng)的項(xiàng)聯(lián)立方程組，得到，求解得到：A=0.008427872，b=0.840920782,c=8.127152664, u=1.850731。分別代入（2）式即為所求的生產(chǎn)函數(shù)模型。

u=1.850731>1，說明規(guī)模收益遞增，當(dāng)投入的生產(chǎn)要素以同樣比例增加時，產(chǎn)出量增加的倍數(shù)大于投入量增加的倍數(shù)。根據(jù)表2分析，由于資本與勞動力投入量的差距在不斷擴(kuò)大，使替代彈性也不斷增大，資本與勞動力之間的可替代性在不斷增加。

表2 VES替代彈性表

（三）二級多要素CES生產(chǎn)函數(shù)的實(shí)證研究①陶長琪：《計量經(jīng)濟(jì)學(xué)教程》，上海：復(fù)旦大學(xué)出版社，2012年，第207頁。

通過Eviews軟件，對（14）式進(jìn)行多元線性回歸分析，以此估計參數(shù)a0，a1，a2，a3，a4，a5，之后解出（13）式中相對應(yīng)的參數(shù)A，a，b，m，ρ1，ρ。

根據(jù)軟件分析的結(jié)果，得到如下線性回歸模型：

相應(yīng)的t值依次為：-1.387611，-0.060848，0.357949，2.377371，0.383087，2.15637，從中可以看出解釋變量X1、X2、X3、X5與被解釋變量之間的線性關(guān)系不顯著，X4和X6與被解釋變量的線性關(guān)系顯著。R2=0.99744說明樣本回歸線對樣本數(shù)據(jù)的擬合效果很好，F(xiàn)=779.1723說明函數(shù)模型的整體線性關(guān)系較好。根據(jù)（17）式進(jìn)行預(yù)測，預(yù)測結(jié)果如表3、表4。

根據(jù)（17）式，得到參數(shù)的估計值，并與（13）式中對應(yīng)的項(xiàng)聯(lián)立方程組，得到：lnA=-5.446075，，求解得到：A=0.004313201，a=-0.163207209，b=0.114819025，m=2.016138，ρ=-0.01970779，ρ1=0.001340768。分別代入（7）式，即為所求的生產(chǎn)函數(shù)模型。

m=2.016138>1，說明規(guī)模收益遞增。根據(jù)二級CES生產(chǎn)函數(shù)的替代彈性公式計算，K對E的替代彈性為0.999，YKE對L的替代彈性為1.02，當(dāng)技術(shù)、價格等因素發(fā)生變化時，生產(chǎn)要素之間的替代彈性不變。

表3二級CES生產(chǎn)函數(shù)相關(guān)變量表

表4表3續(xù)表

四、結(jié)論

根據(jù)模型的建立，二級三要素CES生產(chǎn)函數(shù)比VES生產(chǎn)函數(shù)多了一個解釋變量，在實(shí)際應(yīng)用時，如果需要研究多個生產(chǎn)要素對產(chǎn)出的影響，二級三要素CES生產(chǎn)函數(shù)更優(yōu)。在二級CES生產(chǎn)函數(shù)的基礎(chǔ)上進(jìn)一步建立三級、四級等生產(chǎn)函數(shù)，就可以研究三個以上的生產(chǎn)要素對產(chǎn)出的影響。

根據(jù)參數(shù)的估計，由于VES生產(chǎn)函數(shù)的解釋變量比二級三要素CES生產(chǎn)函數(shù)的解釋變量少，其參數(shù)估計相對簡便，但是參數(shù)估計的方法沒有本質(zhì)區(qū)別。

根據(jù)替代彈性，VES生產(chǎn)函數(shù)的替代彈性可變，二級三要素CES生產(chǎn)函數(shù)的替代彈性不可變。VES生產(chǎn)函數(shù)更符合實(shí)際情況。

根據(jù)實(shí)證研究，二者對產(chǎn)值預(yù)測的相對誤差比較接近，在作實(shí)際預(yù)測分析時，二者沒有太大的區(qū)別。只是要考慮所需研究投入要素的個數(shù)、參數(shù)估計的難易程度等。

A comparative study of VES and two stage CES production functions based on empirical analysis

MIAO Pu,ZHANG Ning

In order to choose a more realistic production function model，the paper analysis and research VES production function and the three elements of the secondary CES production function.If you need to study the impact of multiple factors of production to output,the three elements of the secondary CES production function is better.VES production function parameter estimates is relatively simple,but the methods of parameter estimation of two production function is no essential difference.The elasticity of substitution of VES production function is variable and the elasticity of substitution of the three elements of the secondary CES production function is not variable.The elasticity of production of every element is not fixed value and is affected by a number of input factors.

production function;VES production function;the secondary CES production function

F22

A

1009-9530（2017）03-0046-05

2016-10-06

苗圃（1988-），男，常州輕工職業(yè)技術(shù)學(xué)院助教。張寧，常州輕工職業(yè)技術(shù)學(xué)院教師。