江蘇 王佩其

賞析由數(shù)學(xué)家引發(fā)的數(shù)學(xué)題

江蘇 王佩其

數(shù)學(xué)的發(fā)展，離不開歷代數(shù)學(xué)家的貢獻(xiàn)．當(dāng)數(shù)學(xué)文化走進(jìn)數(shù)學(xué)高考時(shí)，由數(shù)學(xué)家引發(fā)的數(shù)學(xué)題便應(yīng)運(yùn)而生，這些試題集數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)知識于一體，已成為當(dāng)今高中數(shù)學(xué)一道亮麗的風(fēng)景．我們一起來賞析幾例．

一、數(shù)學(xué)家與函數(shù)問題

【狄利克雷】約翰·彼得·古斯塔夫·勒熱納·狄利克雷（Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet，勒熱納·狄利克雷是姓，1805年2月13日－1859年5月5日），德國數(shù)學(xué)家．他是解析數(shù)論的奠基者，也是現(xiàn)代函數(shù)概念的定義者．

①f（f（x））＝0；

②函數(shù)f（x）是偶函數(shù)；

③任取一個(gè)不為零的有理數(shù)T，f（x＋T）＝f（x）對任意的x∈R恒成立；

④存在三個(gè)點(diǎn)A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））C（x3，f（x3）），使得△ABC為等邊三角形．其中真命題的個(gè)數(shù)是 （ ）

A．1 B．2

C．3 D．4

【解析】當(dāng)x為有理數(shù)時(shí)f（x）＝1，當(dāng)x為無理數(shù)時(shí)，f（x）＝0，

∴當(dāng)x為有理數(shù)時(shí)，f（f（x））＝f（1）＝1；

當(dāng)x為無理數(shù)時(shí)，f（f（x））＝f（0）＝1，

即不論x是有理數(shù)還是無理數(shù)，均有f（f（x））＝1，故①不正確．

∵有理數(shù)的相反數(shù)還是有理數(shù)，無理數(shù)的相反數(shù)還是無理數(shù)，

∴對任意x∈R，都有f（－x）＝f（x），故②正確．

③若x是有理數(shù)，則x＋T也是有理數(shù)；若x是無理數(shù)，則x＋T也是無理數(shù)，∴根據(jù)函數(shù)的表達(dá)式，任取一個(gè)不為零的有理數(shù)T，f（x＋T）＝f（x）對x∈R恒成立，故③正確．

綜上，應(yīng)選C．

【評注】本題主要考查分段函數(shù)的基本性質(zhì)．借助狄利克雷函數(shù)考查了分段函數(shù)的函數(shù)值的計(jì)算、分段函數(shù)周期性與奇偶性及其分段函數(shù)的應(yīng)用．題干新穎，難度一般．

二、數(shù)學(xué)家與數(shù)列問題

【斐波那契】比薩的列奧納多，又稱斐波那契（Leonardo Pisano，F(xiàn)ibonacci，Leonardo Bigollo，1170年－1250年），意大利數(shù)學(xué)家，是西方第一個(gè)研究斐波那契數(shù)列的人，并將現(xiàn)代書寫數(shù)和乘數(shù)的位值表示法系統(tǒng)引入歐洲．

【例2】意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子繁殖問題時(shí)，發(fā)現(xiàn)有這樣一列數(shù)：1，1，2，3，5，8，13，…，其中從第三個(gè)數(shù)起，每一個(gè)數(shù)都等于它前面兩個(gè)數(shù)的和，人們把這樣的一列數(shù)所組成的數(shù)列｛an｝稱為“斐波那契數(shù)列”，該數(shù)列是一個(gè)非常美麗、和諧的數(shù)列，有很多奇妙的性質(zhì)，比如：隨著項(xiàng)數(shù)的增加，前一項(xiàng)與后一項(xiàng)的比值越逼近黃金分割0．6180339887．若把該數(shù)列｛an｝的每一項(xiàng)除以4所得的余數(shù)按相對應(yīng)的順序組成新數(shù)列｛bn｝，在數(shù)列｛bn｝中第2016項(xiàng)的值是________．

【解析】由題意得，數(shù)列1，1，2，3，5，8，13，…，除以4所得的余數(shù)分別為1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0，…，即新數(shù)列｛bn｝是周期為6的周期數(shù)列，所以b2016＝b336×6＝a6＝0．

【評注】本題主要考查了數(shù)列的綜合應(yīng)用問題，其中解答中涉及數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用、數(shù)列的周期性的應(yīng)用等知識點(diǎn)的考查，著重考查了學(xué)生分析問題和解答問題的能力，試題有一定的難度，屬于中檔試題．本題的解答中仔細(xì)審題，根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系得出數(shù)列為周期數(shù)列是解答的關(guān)鍵．

三、數(shù)學(xué)家與解析幾何問題

【歐拉】萊昂哈德·歐拉（Leonhard Euler，1707年4月15日－1783年9月18日），瑞士數(shù)學(xué)家、自然科學(xué)家．歐拉是18世紀(jì)數(shù)學(xué)界最杰出的人物之一，他不但為數(shù)學(xué)界做出貢獻(xiàn)，更把整個(gè)數(shù)學(xué)推至物理的領(lǐng)域．他是數(shù)學(xué)史上最多產(chǎn)的數(shù)學(xué)家，平均每年寫出八百多頁的論文，還寫了大量的力學(xué)、分析學(xué)、幾何學(xué)、變分法等課本，《無窮小分析引論》《微分學(xué)原理》《積分學(xué)原理》等都成為數(shù)學(xué)界中的經(jīng)典著作．

【例3】數(shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心，依次在同一條直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，這條直線后人稱為三角形的歐拉線．已知△ABC的頂點(diǎn)A（2，0），B（0，4），若其歐拉線方程為x－y＋2＝0，則頂點(diǎn)C的坐標(biāo)是________．

即x－2y＋3＝0．

∴△ABC的外心為（－1，1）．

則（m＋1）2＋（n－1）2＝32＋12，

整理得m2＋n2＋2m－2n＝8，②

聯(lián)立①②，得m＝－4，n＝0或m＝0，n＝4．

當(dāng)m＝0，n＝4時(shí)B，C重合，舍去．

∴頂點(diǎn)C的坐標(biāo)是（－4，0）．

【評注】本題引進(jìn)歐拉線，增強(qiáng)了試題的數(shù)學(xué)文化．本題主要考查直線方程，利用方程思想求點(diǎn)的坐標(biāo)，難度中等．

四、數(shù)學(xué)家與立體幾何問題

【阿基米德】阿基米德（公元前287年—公元前212年），偉大的古希臘哲學(xué)家、百科式科學(xué)家、數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、力學(xué)家，靜態(tài)力學(xué)和流體靜力學(xué)的奠基人，并且享有“力學(xué)之父”的美稱，阿基米德和高斯、牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家．

【例4】如圖是古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻著一個(gè)圓柱，圓柱內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球，這個(gè)球的直徑恰好與圓柱的高相等．相傳這個(gè)圖形表達(dá)了阿基米德最引以自豪的發(fā)現(xiàn)“圓柱容球定理”．我們來重溫這個(gè)偉大發(fā)現(xiàn)：

（1）求圓柱的體積與球的體積之比；

（2）求圓柱的表面積與球的表面積之比．

【解析】（1）設(shè)圓柱的高為h，底面半徑為r，求的半徑為R，

【評注】本題考查球與圓柱的內(nèi)切及體積和表面積的算法，難度不大，但必須記住有關(guān)球體與柱體的體積與表面積的計(jì)算公式．

五、數(shù)學(xué)家與算法初步問題

【劉徽】劉徽（約公元225年—295年），漢族，山東鄒平縣人，魏晉期間偉大的數(shù)學(xué)家，中國古典數(shù)學(xué)理論的奠基人之一．是中國數(shù)學(xué)史上一個(gè)非常偉大的數(shù)學(xué)家，他的杰作《九章算術(shù)注》和《海島算經(jīng)》，是中國最寶貴的數(shù)學(xué)遺產(chǎn)．

【例5】公元263年左右，我國數(shù)學(xué)家劉徽發(fā)現(xiàn)，當(dāng)圓內(nèi)接多邊形的邊數(shù)無限增加時(shí)，多邊形面積可無限逼近圓的面積，由此創(chuàng)立了割圓術(shù)，利用割圓術(shù)劉徽得到了圓周率精確到小數(shù)點(diǎn)后面兩位的近似值3．14，這就是著名的徽率．如圖是利用劉徽的割圓術(shù)設(shè)計(jì)的程序框圖，則輸出的n值為 （ ）

A．12 B．24 C．48 D．96

【解析】由程序框圖，n，S值依次為：n＝6，S＝2．59808；n＝12，S＝3；n＝24，S＝3．10583，此時(shí)滿足S≥3．10，輸出n＝24．應(yīng)選B．

【評注】本題考查程序框圖．解題時(shí)要注意兩種循環(huán)結(jié)構(gòu)的區(qū)別，這也是容易出錯(cuò)是地方：當(dāng)型循環(huán)與直到型循環(huán)．直到型循環(huán)是“先循環(huán)，后判斷，條件滿足時(shí)終止循環(huán)”；而當(dāng)型循環(huán)則是“先判斷，后循環(huán)，條件滿足時(shí)執(zhí)行循環(huán)”；兩者的判斷框內(nèi)的條件表述在解決同一問題時(shí)是不同的，它們恰好相反．

六、數(shù)學(xué)家與合情推理問題

【伯努瓦·曼德爾布羅】伯努瓦·曼德爾布羅，世界“分形幾何之父”，1924年11月20日出生于波蘭，童年時(shí)隨家人移居法國，后來在美國擔(dān)任耶魯大學(xué)名譽(yù)教授．2010年10月14日，伯努瓦·曼德爾布羅在美國馬薩諸塞州劍橋辭世，享年85歲．

【例6】分形幾何學(xué)是數(shù)學(xué)家伯努瓦·曼德爾布羅在20世紀(jì)70年代創(chuàng)立的一門新的數(shù)學(xué)學(xué)科，它的創(chuàng)立為解決傳統(tǒng)科學(xué)眾多領(lǐng)域的難題提供了全新的思路．按照如圖甲所示的分形規(guī)律可得如圖乙所示的一個(gè)樹形圖：記圖乙中第n行白圈的個(gè)數(shù)為an，則：

【評注】本題主要考查了與數(shù)列有關(guān)的歸納推理，歸納推理的一般步驟：（1）通過觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同的性質(zhì)；（2）從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確的表達(dá)的一般性的命題，正確理解歸納推理的步驟是解答此類問題的關(guān)鍵，本題的解答中，根據(jù)題設(shè)中分形規(guī)律，則可得第一行為（1，0）；第二行為（2，1）；第三行為（5，4）；第四行為（14，13），各行白圈數(shù)乘以2，分別是2，4，10，28，82，…，即1＋1，3＋1，9＋1，27＋1，81＋1，…，即可得出an的表達(dá)式．

七、數(shù)學(xué)家與數(shù)學(xué)猜想問題

【科拉茨】洛薩·科拉茨（Lothar Collatz，1910．7．6－1990．9．26），德國數(shù)學(xué)家，于1937年提出最早提出“3N＋1猜想”．

（1）如果n＝2，則按照上述規(guī)則施行變換后的第8項(xiàng)為________．

（2）如果對正整數(shù)n（首項(xiàng)）按照上述規(guī)則施行變換后的第8項(xiàng)為1（注：1可以多次出現(xiàn)），則n的所有不同值的個(gè)數(shù)為________．

則n的所有可能取值為2，3，16，20，21，128，共6個(gè)．

【評注】數(shù)學(xué)猜想是推動數(shù)學(xué)理論發(fā)展的強(qiáng)大動力．?dāng)?shù)學(xué)猜想是數(shù)學(xué)發(fā)展中最活躍、最主動、最積極的因素之一，是人類理性中最富有創(chuàng)造性的部分．在數(shù)學(xué)試題中引入數(shù)學(xué)猜想，并讓考生沿著數(shù)學(xué)猜想的思路探究有關(guān)新的問題，不僅考查了考生的探究能力，而且能讓試題更具有數(shù)學(xué)味兒．

（作者單位：江蘇省太倉市明德高級中學(xué)）