福建 林 靜

設(shè)而不求在解題中的靈活應(yīng)用

福建 林 靜

“設(shè)而不求”是數(shù)學(xué)解題中一種靈活并能簡(jiǎn)化計(jì)算的解題方法，通過(guò)把存在但難求的某個(gè)量假設(shè)出來(lái)，利用代換來(lái)規(guī)避正面強(qiáng)求的計(jì)算，應(yīng)用恰當(dāng)可以起到事半功倍的作用．

1．設(shè)而不求在函數(shù)與導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用

【例2】（2016·新課標(biāo)Ⅰ卷理·21）已知函數(shù)f（x）＝（x－2）ex＋a（x－1）2有兩個(gè)零點(diǎn)．

（Ⅰ）求a的取值范圍；

（Ⅱ）設(shè)x1，x2是f（x）的兩個(gè)零點(diǎn)，證明：x1＋x2＜2．【解析】（Ⅰ）由f（x）＝（x－2）ex＋a（x－1）2＝0

當(dāng)x＜1時(shí)，g′（x）＜0，g（x）為減函數(shù)，x→＋1，g（x）→－∞；x→－∞，g（x）→0；

當(dāng)x＞1時(shí)，g′（x）＞0，g（x）為增函數(shù)，x→＋1，g（x）→－∞；x→∞，g（x）→＋∞．

由條件得－a＜0即a＞0．則a的取值范圍為（0，＋∞）．

（Ⅱ）法一：由（Ⅰ）可知當(dāng)a＞0時(shí)直線y＝－a與y＝g（x）有兩個(gè)交點(diǎn)且g（x1）＝g（x2）．

由條件不妨設(shè)x1＜1，x2＞1，則2－x1＞1，則g（x2）＝g（x1）＜g（2－x1），而y＝g（x）在x＞1上為單調(diào)遞增函數(shù)，x2＜2－x1，則x1＋x2＜2．

法二：由條件不妨設(shè)x1＜1，x2＞1，則2－x1＞1，

則f（x2）＝f（x1）＝（x1－2）ex1＋a（x1－1）2＝0，

則f（2－x1）＝－x1e2－x1＋a（x1－1）2．

設(shè)h（x）＝－xe2－x－（x－2）ex，

則h′（x）＝（x－1）（e2－x－ex）＜0，h（x）＞h（1）＝0．

即f（2－x1）＞0＝f（x2）．

由a＞0，可判斷f（x）在x＞1上單調(diào)遞增，2－x1＞x2，

即x1＋x2＜2．

【評(píng)析】法一根據(jù)直線y＝－a與y＝g（x）有兩個(gè)交點(diǎn)，假設(shè)交點(diǎn)（x1，g（x1）），（x2，g（x2））利用對(duì)稱性、函數(shù)增長(zhǎng)速度以及函數(shù)的單調(diào)性找出g（x1）與g（2－x1）的大小關(guān)系．避免了求交點(diǎn)的坐標(biāo)；法二是假設(shè)方程的解并用解表示參數(shù)建立函數(shù)，利用單調(diào)性尋找關(guān)系2－x1＞x2，避免了解方程．

2．設(shè)而不求在解三角形中的應(yīng)用

通過(guò)假設(shè)未知數(shù)建立方程，借用未知數(shù)利用設(shè)而不求解決三角形中的有關(guān)問(wèn)題．

【例3】（2011·新課標(biāo)卷Ⅰ理·16）在△ABC中，∠B＝ 60°，則AB＋2BC的最大值為_(kāi)______．

【解析】條件中只有一邊和一角，因此要設(shè)置未知數(shù)，建立方程，構(gòu)建函數(shù)．

【例4】在△ABC中，角A、B、C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a、b、 c，c＝2，點(diǎn)D在AC上．

（Ⅰ）當(dāng)BD⊥AB，且BD＝2時(shí)，求BC的長(zhǎng)；

（Ⅱ）當(dāng)AD＝2DC且BD＝1時(shí)，求△ABC的面積S△ABC．

【解析】（Ⅰ）由正弦定理易求．

即9x2＝a2＋2a＋4①，∵∠ADB＋∠BDC＝π，

化簡(jiǎn)得：6x2＝2a2＋1②，

【評(píng)析】通過(guò)假設(shè)線段DC的長(zhǎng)x建立方程①②，通過(guò)替換x解決了問(wèn)題規(guī)避了煩瑣的計(jì)算．

3．設(shè)而不求在直線與圓錐曲線相交位置關(guān)系問(wèn)題中的應(yīng)用

（1）設(shè)而不求在求直線與圓錐曲線相交得到的弦長(zhǎng)中的應(yīng)用

通過(guò)韋達(dá)定理利用避免了求直線與圓錐曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)．

【例5】（2016·新課標(biāo)Ⅰ卷理·20）設(shè)圓x2＋y2＋2x－15＝0的圓心為A，直線l過(guò)點(diǎn)B（1，0）且與x軸不重合，l交圓A于C、D兩點(diǎn)，過(guò)B作AC的平行線交AD于點(diǎn)E．

（Ⅰ）證明｜EA｜＋｜EB｜為定值，并寫(xiě)出點(diǎn)E的軌跡方程；

（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)E的軌跡為曲線C1，直線l交C1于MN兩點(diǎn)，過(guò)B且與l垂直的直線與圓A交于PQ兩點(diǎn)，求四邊形MPNQ面積的取值范圍．

法二：由條件可設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），

若m≠0，直線l的方程為x＝my＋1，

即mx＋y－m＝0．

所以四邊形MPNQ面積為

若m＝0，直線l的方程為x＝1，

易求｜MN｜＝3，｜PQ｜＝8，四邊形MPNQ面積為12．綜上，四邊形MPNQ面積的取值范圍為．

法三：由條件可設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），若k∈R，k≠0，直線l的方程為y＝k（x－1），

即x＋ky－1＝0．

則．

若k∈，直線l的方程為x＝1，

易求｜MN｜＝3，｜PQ｜＝8，四邊形MPNQ面積為12．

【評(píng)析】通過(guò)假設(shè)直線l交曲線C1的交點(diǎn)MN的坐標(biāo)，利用韋達(dá)定理巧妙地避免正面求交點(diǎn)坐標(biāo)的復(fù)雜計(jì)算．

（2）設(shè)而不求在求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程中的應(yīng)用

利用設(shè)而不求建立所求點(diǎn)的坐標(biāo)與主動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系，再通過(guò)主動(dòng)點(diǎn)所在的曲線建立所求點(diǎn)的軌跡方程．

【例6】已知圓x2＋y2＝4上一定點(diǎn)A（2，0），B（1，1）為圓內(nèi)一點(diǎn)，P，Q為圓上的動(dòng)點(diǎn)．

（Ⅰ）求線段AP中點(diǎn)的軌跡方程；

（Ⅱ）若∠PBQ＝90°，求線段PQ中點(diǎn)的軌跡方程．

【解析】（Ⅰ）線段AP中點(diǎn)的軌跡方程為（x－1）2＋y2＝1，過(guò)程略；

（Ⅱ）設(shè)線段PQ中點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），點(diǎn)P（x1，y1），Q（x2，y2）．則x1＋x2＝2x，y1＋y2＝2y．

即（x1－1）（x2－1）＋（y1－1）（y2－1）＝0

x1x2＋y1y2－2x－2y＋2＝0，由（x1＋x2）2＋（y1＋y2）2＝4x2＋4y2得x2＋y2－x－y＝1．

線段PQ中點(diǎn)的軌跡方程為x2＋y2－x－y＝1．

（3）設(shè)而不求在證明定值中的應(yīng)用

通過(guò)假設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)利用它所滿足的曲線方程而解決問(wèn)題．

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）設(shè)P的橢圓C上一點(diǎn)直線PA與y軸交于點(diǎn)M，直線PB與N軸交于點(diǎn)N．

4．設(shè)而不求在有關(guān)向量問(wèn)題中的應(yīng)用

【例8】已知圓O的半徑為1，PA、PB為該圓的兩條切線，A、B為兩切點(diǎn)，那么的最小值為 （ ）

【解析】通過(guò)假設(shè)未知數(shù)，利用未知數(shù)建立所求問(wèn)題的函數(shù)解析式，使用設(shè)而不求解決問(wèn)題．

設(shè)∠APO＝α（0°＜α＜90°），

通過(guò)以上例題可以看到，設(shè)而不求在數(shù)學(xué)解題中是一種靈活且能突破計(jì)算瓶頸的方法．

（作者單位：福建省武平第一中學(xué)）