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技巧顯身手 妙解數(shù)列題

2017-08-08 03:01:38江蘇陸東標韓文美
教學考試(高考數(shù)學) 2017年3期
關鍵詞:項數(shù)垂線過點

江蘇 陸東標 韓文美

技巧顯身手 妙解數(shù)列題

江蘇 陸東標 韓文美

數(shù)列是一種特殊的函數(shù),既包含有函數(shù)的一般性質(zhì)特征,又具有其獨特的特殊含義.在實際解決數(shù)列問題時,可以借助函數(shù)的一般技巧方法,又可以超出函數(shù)尋求其獨特的技巧策略.特別在解答數(shù)列小題時結(jié)合一定的技巧與策略,巧妙借助一些技巧方法,往往可以使問題簡單易懂,解答快捷方便,達到非常好的效果.特別在解決一些相關的高考數(shù)列選擇題或填空題中,如果采用一些技巧,往往方法簡單,思維巧妙,大大節(jié)約了寶貴的考試時間.

1.簡單化技巧

在實際解答數(shù)列的一些選擇題或填空題時,經(jīng)常采用把數(shù)列的項、數(shù)列的項數(shù)、數(shù)列的通項等簡單化,利用更為具體直觀的簡單化問題來求解具有一般情況的數(shù)列問題.

【例1】(2015·陜西文·13)中位數(shù)為1010的一組數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列,其末項為2015,則該數(shù)列的首項為.

【分析】具體數(shù)列的項不能確定,必須根據(jù)中位數(shù)的性質(zhì)分奇偶項來分析,而通過簡單化思維,直接考慮數(shù)列分別為3項、4項的情況即可,問題簡單化,求解更為快捷.

【解析】由數(shù)列的項數(shù)簡單化,當數(shù)列的項數(shù)為3項時,則有a1+a3=2a2=2020,解得a1=5;

當數(shù)列的項數(shù)為4項時,則有a1+a4=a2+a3=2020,解得a1=5.

綜合可知該數(shù)列的首項為5,故填5.

【點評】常規(guī)方法是根據(jù)中位數(shù)的求法,考慮數(shù)列的項數(shù)分別為奇偶數(shù)時,結(jié)合數(shù)列的性質(zhì)建立相應的數(shù)列關系式,進而分析與求解.而通過數(shù)列的項數(shù)簡單化,使問題進一步具體化、簡單化,求解起來更具體、直觀.

A.a(chǎn)n>an+1

B.a(chǎn)n<an+1

C.a(chǎn)n=an+1

D.與n的取值相關

2.特殊化技巧

在實際解答數(shù)列的一些選擇題或填空題時,我們有時可以嘗試利用最簡單可行的辦法——特殊化來求解數(shù)列問題.可以用來解決數(shù)列的特殊項、數(shù)列運算等相關問題.

【例2】(2014·廣東理·13)若等比數(shù)列{an}的各項均為正數(shù),且a10a11+a9a12=2e5,則lna1+lna2+…+lna20= .

【分析】根據(jù)等比數(shù)列的相關性質(zhì)計算時比較煩瑣,而通過取特殊的等比數(shù)列——公比為q=1的數(shù)列,可以使得計算更為簡單快捷,又由特殊回歸一般得到答案.

故填答案:50.

【點評】要直接計算或求解時難度比較大或計算比較煩瑣,有時還可能無從下手,而通過取特殊數(shù)列、特殊項等特殊化技巧加以分析,并從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律,進而得出答案.

3.賦值化技巧

對于題設為一般狀態(tài),而結(jié)論為定值的問題,可以對題中的參數(shù)問題加以特殊賦值,可以賦以特殊數(shù)列、數(shù)列的特殊項進行代換,以特殊的賦值的結(jié)果替代一般的推理運算,從而得出答案.

【分析】根據(jù)題目條件,直接求解存在很大的難度,而通過依次賦值,結(jié)合相關項的值加以歸納得以確定規(guī)律,進而加以運算得到相關的答案.

【解析】由題意通過直接賦值可得b2=3,b3=4,b4=5,a3=3,a4=4,

由不完全歸納可得an=n,bn=n+1,

【點評】當相關數(shù)列的填空題的結(jié)論唯一或題設條件中提供的信息暗示答案是一個定值時,可以把題中變化的不定量用特殊值來賦值代替,即可以得到正確結(jié)果;對應數(shù)列的遞推關系式問題也經(jīng)常采用靈活賦值來分析.這里直接通過賦值化技巧確定數(shù)列{an},{bn}的前幾項,通過歸納得相應的通項后加以求解.

【變式3】(2016·浙江理·13)設數(shù)列{an}的前n項和為Sn.若S2=4,an+1=2Sn+1,,則a1=________, S5=________.

【解析】令n=1,可得a2=2a1+1,

又S2=a1+a2=4,解得a1=1,a2=3,

由an+1=2Sn+1,可知a3=2S2+1=9,則S3=S2+a3=13,

同理a4=2S3+1=27,則S4=S3+a4=40;a5=2S4+1=81,則S5=S4+a5=121;

故填答案:1,121.

4.整體化技巧

把數(shù)列題中的一些式子視為一個整體,把它代入另一個式子,從整體思維上思考,便能化繁為簡,得出答案.往往把數(shù)列中的一些項的整體、求和公式的整體等作為一個整體來加以研究.

【分析】結(jié)合創(chuàng)新定義,非常巧妙地把式子S1+S2+S3+…+S99看作一個整體,利用整體思維與求和公式加以剖析,轉(zhuǎn)化成式子S1+S2+S3+…+S99的代數(shù)運算形式,再利用相應的公式加以求解.

則有S1+S2+S3+…+S99=99000,

則有100項的數(shù)列{1,a1,a2,a3,…,a99}的“凱森和”為

故填答案:991.

【點評】通過創(chuàng)新定義的應用,巧妙把相應的式子S1+S2+S3+…+S99整體化,結(jié)合新數(shù)列的運算加以轉(zhuǎn)化,利用該整體式子的值加以分析與應用.整體化技巧在解決一些數(shù)列性質(zhì)、創(chuàng)新定義、創(chuàng)新運算等數(shù)列問題時經(jīng)常有上佳表現(xiàn).

【變式4】(2015·新課標Ⅱ理·4)已知等比數(shù)列{an}滿足a1=3,a1+a3+a5=21,則a3+a5+a7= ( )

A.21 B.42

C.63 D.84

【解析】設等比數(shù)列{an}的公比為q,

則有a1+a3+a5=a1+a1q2+a1q4=21,

整理有q4+q2-6=0,解得q2=2,

那么a3+a5+a7=(a1+a3+a5)q2=42,故選B.

5.拆分化技巧

涉及數(shù)列的一些通項問題時,往往可以通過對其通項加以合理轉(zhuǎn)化,利用拆分化技巧,把通項加以巧妙拆分,再結(jié)合題目條件加以分析與求解.往往可以大大減少計算量,簡化過程.

【例5】(2015·江蘇·11)數(shù)列{an}滿足a1=1,且an+1-an=n+1,則數(shù)列的前10項和為________.

【點評】通過巧妙拆分數(shù)列的通項,把有關分式的通項進行拆分,把通項拆分為兩數(shù)式差的形式,再結(jié)合數(shù)列求和加以抵消達到簡化運算的目的.

6.建模化技巧

建模構(gòu)造是在解決一些數(shù)列填空題時,可以根據(jù)題設有關數(shù)列的條件與結(jié)論的特殊性,構(gòu)造出一些新的數(shù)學形式(例如直觀幾何模型、函數(shù)、特殊數(shù)列、方程等),并借助于它認識和解決問題的一種方法.

【例6】如圖,在等腰直角三角形ABC中,斜邊BC=,過點A作BC的垂線,垂足為A1;過點A1作AC的垂線,垂足為A2;過點A2作A1C的垂線,垂足為A3;……,依次類推,設BA=a1,AA1=a2,A1A2=a3,…,A5A6=a7,…,則a2017=________.

【分析】結(jié)合等腰直角三角形的性質(zhì),根據(jù)對應的三角形的直角邊構(gòu)成等比數(shù)列的關系,建構(gòu)模型,結(jié)合等比數(shù)列的遞推關系與通項關系來分析,并通過歸納推理來求解.

【點評】本題考查了圖表的表示、分析與處理,等比數(shù)列的應用,歸納與推理,建構(gòu)模型等.關鍵是通過建構(gòu)模型,利用圖表表示形式引入,利用等腰直角三角形的直角邊間的特征規(guī)律加以探究分析,進而歸納出一般性的規(guī)律,從而得以解決相應的問題.此類數(shù)列問題解決的基本思路是:遞推→通項→求值(和、積等).

【變式6】(2014·安徽文·12)如圖,在等腰直角三角形ABC中,斜邊,過點A作BC的垂線,垂足為A1;過點A1作AC的垂線,垂足為A2;過點A2作A1C的垂線,垂足為A3;依此類推,設BA=a1,AA1=a2,A1A2=a3,…,A5A6=a7,則a7=________.

解答數(shù)列小題中,關鍵是抓住等差數(shù)列或等比數(shù)列的定義、公式與相關性質(zhì)加以分析與處理,特別碰到一些計算量大、創(chuàng)新性強、信息量多的數(shù)列問題時,可以抓住題目本質(zhì),從定義、性質(zhì)等方面入手,使問題簡單化,通過以上一些相關的技巧方法入手加以輔助解決,往往可以使得數(shù)列小題的解答顯得更為簡單快捷,處理起來更為順手,同時可以簡化運算,提升解題速度,提高解題效率.

(作者單位:江蘇省張家港職業(yè)教育中心校)

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