陳偉偉， 王 鑫

(江南大學(xué) 物聯(lián)網(wǎng)工程學(xué)院，江蘇 無(wú)錫 214122)

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多基地聲納系統(tǒng)中目標(biāo)位置與速度聯(lián)合估計(jì)*

陳偉偉， 王 鑫

(江南大學(xué) 物聯(lián)網(wǎng)工程學(xué)院，江蘇 無(wú)錫 214122)

在多基地聲吶系統(tǒng)中，為了利用時(shí)間和與多普勒頻率量測(cè)同時(shí)估計(jì)運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的位置與速度，設(shè)計(jì)了一種閉式的估計(jì)器。其中，使用誤差修正的方法，改善了傳統(tǒng)的多步加權(quán)最小二乘估計(jì)器。該估計(jì)器只涉及線性加權(quán)最小二乘運(yùn)算，在量測(cè)高斯噪聲較小的情況下，均方誤差可以達(dá)到克拉美羅下界(CRLB)。通過(guò)計(jì)算機(jī)模擬對(duì)比了該估計(jì)器的均方誤差與CRLB，并比較了其與傳統(tǒng)多步加權(quán)最小二乘估計(jì)器的性能,結(jié)果表明：估計(jì)器的均方誤差小于傳統(tǒng)多步加權(quán)最小二乘估計(jì)器。

多基地聲納； 時(shí)間和； 多普勒頻率； 加權(quán)最小二乘； 誤差修正

0 引 言

由于收發(fā)裝置合置，單基地聲吶在發(fā)現(xiàn)目標(biāo)的同時(shí)，也會(huì)暴露自己的位置，隱蔽性比較差。而多基地聲吶，由于收發(fā)裝置分置，系統(tǒng)同時(shí)具有主動(dòng)和被動(dòng)聲吶的工作特點(diǎn)，因而在反隱身、反對(duì)抗等方面具有潛在的優(yōu)越性[1]。

在多基地聲納系統(tǒng)中，獲得目標(biāo)的方位角、距離、多普勒頻移等測(cè)量結(jié)果后，經(jīng)典的維納濾波[2]、最小二乘估計(jì)[3,4]、二次規(guī)劃[5]、粒子群優(yōu)化算法[6]可以用來(lái)解決目標(biāo)位置的非線性估計(jì)問(wèn)題。值得一提的是，文獻(xiàn)[7]提出了使用多步加權(quán)最小二乘來(lái)解決非線性定位問(wèn)題的方法。對(duì)于許多非線性估計(jì)問(wèn)題，該方法可以提供一個(gè)簡(jiǎn)單的、閉式的有效估計(jì)[8]。

在多基地系統(tǒng)中，基于多步加權(quán)最小二乘方法，文獻(xiàn)[9]與文獻(xiàn)[10]分別研究了只有一個(gè)輻射源與有多個(gè)輻射源時(shí)的平穩(wěn)目標(biāo)的位置估計(jì)問(wèn)題。在非多基地的系統(tǒng)中，文獻(xiàn)[11]與文獻(xiàn)[12]引入了到達(dá)信號(hào)頻差量測(cè)，利用多步加權(quán)最小二乘方法同時(shí)估計(jì)運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的位置與速度。

當(dāng)多基地聲吶系統(tǒng)中存在一個(gè)或多個(gè)輻射源，且有時(shí)間和與多普勒頻率量測(cè)時(shí)，如何利用多步加權(quán)最小二乘方法實(shí)現(xiàn)運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的位置與速度的聯(lián)合估計(jì)，是本文研究的主要問(wèn)題。

1 多基地定位問(wèn)題描述

假設(shè)發(fā)射站發(fā)出的信號(hào)傳播速度c和載頻fc均已知，用τi,j表示ti與sj之間的時(shí)間和量測(cè)，用fi,j表示ti與sj之間的多普勒頻移。由物理分析可得

(1)

(2)

在不影響結(jié)論的前提下，為了表述簡(jiǎn)明，將發(fā)射站信號(hào)載頻fc設(shè)定為1 Hz。此時(shí)，式(2)可以簡(jiǎn)化為

(3)

在實(shí)際測(cè)量過(guò)程中，獲得的觀測(cè)量包含噪聲，將觀測(cè)量表示成含噪聲的向量形式為

(4)

從定位場(chǎng)景出發(fā)可推導(dǎo)出CRLB,作為解決該定位問(wèn)題的估計(jì)器所能達(dá)到的理論最優(yōu)性能[10]。觀測(cè)量m的概率密度函數(shù)為

(5)

式中K為歸一化常數(shù)。

可得該估計(jì)問(wèn)題的CRLB為

(6)

2 位置與速度聯(lián)合估計(jì)器的設(shè)計(jì)

假定時(shí)間和觀測(cè)量與多普勒頻率觀測(cè)量噪聲滿足以下條件

(7)

此外，由于二階及二階以上的誤差項(xiàng)都比較小，在估計(jì)處理中忽略這些誤差項(xiàng)的影響。

1)將式(1)等號(hào)兩邊同時(shí)乘以信號(hào)速度c，再將等號(hào)右邊的‖uo-ti‖-‖ti-sj‖項(xiàng)移到等號(hào)左邊，等號(hào)兩邊同時(shí)平方且忽略誤差二階項(xiàng)的影響，可得

2(ti-sj)Tuo-2(cτi,j+‖ti-sj‖)‖uo-ti‖

(8)

對(duì)式(8)求時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，可得

(9)

式中ρuo,ti=(uo-ti)/‖uo-ti‖表示從ti到uo的單位向量；ρuo,sj=(uo-sj)/‖uo-sj‖表示從sj到uo的單位向量。

(10)

式中 矩陣B1，ε1，h1以及G1的具體形式分別為

式中Op×q為p行q列的零矩陣。

式中

式中 0k為k行的零向量。

(11)

在誤差較小的條件下，φ1的協(xié)方差矩陣為

(12)

實(shí)際計(jì)算中，式(11)中的矩陣B1與未知參數(shù)γ相關(guān)，故首先將矩陣B1中的分塊矩陣b11,b21和b22分別設(shè)置為單位矩陣，以此來(lái)獲得γ的初始估計(jì)值，然后重新計(jì)算獲得更加準(zhǔn)確的B1。

2)文獻(xiàn)[13]在解決兩步最小二乘估計(jì)器的均方根誤差與偏差適應(yīng)噪聲能力差的問(wèn)題時(shí)，提出了誤差修正的方法。本文利用該方法改善經(jīng)典多步加權(quán)最小二乘在多基地系統(tǒng)中位置、速度聯(lián)合估計(jì)的性能。

(13)

運(yùn)用Sorenson的方法[14，15]，可以得到

(14)

將步驟(1)中待估計(jì)量αi的估計(jì)值表示為

(15)

對(duì)式(15)等號(hào)兩邊同時(shí)平方，可以得到

(16)

結(jié)合本文的定位場(chǎng)景，根據(jù)文獻(xiàn)[16]中的定性分析與輔助模擬實(shí)驗(yàn)，當(dāng)目標(biāo)與發(fā)射站之間的距離較大時(shí)，估計(jì)誤差Δαi的二階項(xiàng)(Δαi)2相對(duì)一階項(xiàng)2αiΔαi很小，可得

(17)

2) ROS與Rovio的通信部分：ROS發(fā)出速度指令至Rovio平臺(tái)，Rovio將當(dāng)前實(shí)際速度值發(fā)布到Odom主題，以提供給其他節(jié)點(diǎn)訂閱。

(18)

對(duì)βi進(jìn)行類(lèi)似αi的處理，可得

αiΔβi+iΔαi≈i-T+Tti+TΔu+(-ti)TΔ

(19)

(20)

式中 矩陣B2，ε2，h2以及G2的具體形式如下

ε2=Δ1

(21)

(22)

式中 W2的具體形式如下

γ=[φ1(1∶2)Tφ1(M+3)∶(M+4))T]T-φ2

(23)

(24)

需要特別指出的是，如果

(25)

那么，結(jié)合式(12)與式(22)可得，式(24)的cov(γ)與式(6)的CRLB吻合，即本文提出的估計(jì)器是統(tǒng)計(jì)有效的。

3 數(shù)值模擬實(shí)驗(yàn)

3.1 單發(fā)射站場(chǎng)景

在單發(fā)射站場(chǎng)景中，使用1個(gè)信號(hào)發(fā)射站和5個(gè)信號(hào)接收站來(lái)對(duì)運(yùn)動(dòng)目標(biāo)進(jìn)行定位。發(fā)射站坐標(biāo)為t=[-3 000-4 000]Tm，接收站坐標(biāo)為s1=[-1 000 3 000]Tm，s2=[2 500-1 000]Tm，s3=[-3 000 1 000]Tm，s4=[2 000 -4 000]Tm，s5=[-2 500 -2 000]Tm。圖1(a)給出了單發(fā)射站情況下的目標(biāo)位置和速度估計(jì)場(chǎng)景圖。

圖1 單發(fā)射站場(chǎng)景和多發(fā)射站場(chǎng)景

圖2(a)和(b)分別給出了當(dāng)στ從0.03逐漸增大到0.3時(shí)，本文估計(jì)算法、傳統(tǒng)多步加權(quán)最小二乘法對(duì)目標(biāo)位置和速度估計(jì)的均方誤差(MSE)的變化曲線。

如圖2(a)所示，對(duì)于目標(biāo)位置估計(jì)，當(dāng)στ<0.18時(shí)，兩種方法的位置估計(jì)MSE均能夠很好地達(dá)到CRLB；當(dāng)στ>0.18時(shí)，本文方法的位置估計(jì)精度能夠達(dá)到CRLB，而傳統(tǒng)多步加權(quán)最小二乘法的位置估計(jì)精度無(wú)法達(dá)到CRLB，估計(jì)性能變差。如圖2(b)所示，對(duì)于目標(biāo)速度估計(jì)，當(dāng)στ<0.18時(shí)，兩種方法的速度估計(jì)MSE均能夠很好地達(dá)到CRLB；當(dāng)στ>0.18時(shí)，本文方法的速度估計(jì)精度能夠達(dá)到CRLB，而傳統(tǒng)多步加權(quán)最小二乘法的速度估計(jì)MSE逐漸偏離目標(biāo)速度估計(jì)的CRLB，估計(jì)性能逐漸變差。

圖2 目標(biāo)位置和速度估計(jì)的MSE對(duì)比

3.2 多發(fā)射站場(chǎng)景

在多發(fā)射站場(chǎng)景中，使用3個(gè)信號(hào)發(fā)射站和5個(gè)信號(hào)接收站來(lái)對(duì)運(yùn)動(dòng)目標(biāo)進(jìn)行定位。發(fā)射站坐標(biāo)分別為t1=[2 000 3 000]Tm，t2=[-1 000 4 000]Tm，t3=[-3 000 -4 000]Tm。接收站的坐標(biāo)設(shè)定與單發(fā)射站場(chǎng)景相同。圖1(b)給出了多發(fā)射站情況下的目標(biāo)位置和速度估計(jì)場(chǎng)景圖。

圖3給出了當(dāng)στ從0.04逐漸增大到0.6時(shí)，本文估計(jì)算法、傳統(tǒng)多步加權(quán)最小二乘法對(duì)目標(biāo)位置和速度估計(jì)的均方誤差的變化曲線。

如圖3(a)所示，對(duì)于目標(biāo)位置估計(jì)，當(dāng)στ<0.36時(shí)，兩種方法的位置估計(jì)MSE均能夠很好地達(dá)到CRLB；當(dāng)στ>0.36時(shí)，兩種方法的位置估計(jì)精度逐漸偏離CRLB，而傳統(tǒng)多步加權(quán)最小二乘法的位置估計(jì)精度的偏離幅度明顯大于本文算法的位置估計(jì)精度的偏離幅度。

如圖3(b)所示，對(duì)于目標(biāo)速度估計(jì)，當(dāng)στ<0.44時(shí)，兩種方法的速度估計(jì)MSE均能夠很好地達(dá)到CRLB；當(dāng)στ>0.44時(shí)，兩種方法的位置估計(jì)精度逐漸偏離CRLB，本文算法的速度估計(jì)精度偏離幅度略小于傳統(tǒng)多步加權(quán)最小二乘法速度估計(jì)的偏離幅度。

圖3 目標(biāo)位置和速度估計(jì)的MEMS對(duì)比

仿真結(jié)果表明：在單發(fā)射站和多發(fā)射站兩種情況下，本文提出的目標(biāo)位置和速度的估計(jì)算法優(yōu)于傳統(tǒng)多步加權(quán)最小二乘法。

4 結(jié) 論

為解決多基地聲吶系統(tǒng)中運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的位置與速度的聯(lián)合估計(jì)問(wèn)題，在傳統(tǒng)多步加權(quán)最小二乘估計(jì)器的基礎(chǔ)上，本文提出了一種新的基于誤差修正的估計(jì)器。理論分析與仿真實(shí)驗(yàn)表明：在量測(cè)噪聲較小時(shí)，該估計(jì)器是統(tǒng)計(jì)有效的。原理上，本文提出的估計(jì)器僅涉及線性加權(quán)最小二乘計(jì)算，是一個(gè)閉式的估計(jì)器，不存在局部收斂或者發(fā)散的問(wèn)題。

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Joint estimation of position and velocity of target in multistatic sonar system*

CHEN Wei-wei， WANG Xin

(School of Internet of Things Engineering,Jiangnan University,Wuxi 214122,China)

A closed-form estimator is designed to estimate the positon and velocity of the target jointly with time sum and Doppler frequency measurements in multistatic sonar system.The esimator improves traditional multi-stage weighted least squares(WLS)estimator with error correction technique.The estimator involves linear WLS computation only and its mean square errors(MSE)can attain Cramer-Rao lower bound(CRLB)when the measurement Gaussian noise is small.Simulations are conducted to compare the MSE of the proposed estimator with the CRLB and compare its performance with that of the traditional multi-stage WLS estimator.The MSE of the proposed estimator is lower than that of the traditional multi-stage WLS estimator.

multistatic sonar; time sum; Doppler frequency; weighted least squares(WLS); error correction

10.13873/J.1000—9787(2017)08—0106—05

2016—08—03

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61304264)；江蘇省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(BK20140166)

TN 911.23; TN 953

A

1000—9787(2017)08—0106—05

陳偉偉(1990-)，男，碩士研究生，主要研究方向?yàn)槎嗷剡\(yùn)動(dòng)目標(biāo)定位算法。

王 鑫(1981-)，男，通訊作者，博士，講師，主要研究方向?yàn)閭鞲衅骶W(wǎng)絡(luò)與多源信息融合，E—mail：wangxin@jiangnan.edu.cn。