■王 濤

“探索三角形全等的條件（第一課時）”教學(xué)實錄與反思

■王 濤

一、課堂實錄

1.復(fù)習(xí)定義，溫故知新。

圖1

師：（投影圖1。）我們來回顧一下，什么叫作全等三角形？

生1：兩個能完全重合的三角形叫作全等三角形。

師：（將△ABC向右平移與△DEF重合。）就像這樣，此時3對邊、3對角分別重合。也就是說3對邊、3對角分別相等。

師：（依次標(biāo)注3對邊和3對角分別相等，如圖2。）因此當(dāng)兩個三角形3對邊、3對角分別相等，這兩個三角形必然全等。

圖2

2.創(chuàng)設(shè)情境，引出課題。

師：如果△ABC與△DEF是某建筑物上的兩塊全等的玻璃，但不小心損壞了一塊。（投影△DEF破碎的動畫，如圖3。）請你打電話向安裝玻璃的師傅描述一下△ABC，你會說什么？

圖3

5位學(xué)生依次表達(dá)了自己的想法。

師：他們說的究竟對不對呢？這就是我們這節(jié)課要探討的課題，探索三角形全等的條件。（板書課題。）我們知道“3對邊、3對角分別相等”可以作為判定三角形全等的依據(jù)，但是用這6個條件來判定三角形全等是不是有點麻煩？

生眾：是。

師：我們來探討，減少邊或角的條件，它們是否依然全等？現(xiàn)在有兩種思路可以選，一種是在6個條件的基礎(chǔ)上逐步減少條件來探索。另一種思路是從簡單到復(fù)雜，從一個條件相等開始探討。大家想選哪一種？

生眾：從簡單到復(fù)雜。

師：那我們就從簡單到復(fù)雜來探索，這是認(rèn)識問題常用的一種方法。

3.體驗分類，逐一探索。

師：我們先從一個條件開始探索，這一個條件可能是給定……（欲言又止）

生眾：給定一邊、一角。

師：你只告訴安裝師傅三角形的一條邊長，他能切出與△ABC全等的玻璃嗎？

生7：不一定。因為只給定一邊，所作的三角形的其余兩條邊長可以不相等。也就是說所作的三角形不一定重合，所以師傅不一定能切出與△ABC全等的玻璃。

師：很好，那給定一角，所作的三角形一定全等嗎？

生8：不一定，因為只給定一角，所作的三角形的其余兩個內(nèi)角可以不相等，也就是說所作的三角形不一定全等。

師：你說的有道理。綜上，給定一個條件作出的三角形不一定全等。我們再增加一個條件，探討兩個條件，這兩個條件可以是……（欲言又止）

生眾：給定兩邊、兩角、一邊一角。

師：我們來依次探索，給定兩邊，作出的三角形一定全等嗎？

生眾：不一定全等。

（實驗素材：紅色、綠色磁力條若干，且紅色磁力條比綠色磁力條短，如圖4—圖14，用加粗線段代表紅、綠磁力條。）

圖4

師：（出示紅色、綠色磁力條。）給定兩邊，哪位同學(xué)愿意在白板上作出符合條件的三角形？

（生9在白板上作出了符合要求的兩個三角形，如圖5，圖中沒有加粗的一邊是學(xué)生利用三角板連接的線段。）

圖5

師：你能簡單說明一下嗎？

生9：可以，我作的兩個三角形，雖然有兩對邊分別相等，但是它們并不全等。這就說明給定兩邊作出的三角形不一定全等。

師：你講的很有道理，非常好。那給定兩角呢？

生10：即使兩個三角形有兩對角分別相等，它們也不一定全等，它們可以一大一小。

師：你的意思是，兩對角分別相等的兩個三角形，雖然形狀相同，但是大小可以不一樣，是嗎？

生10：是的。

師：這就好比我手中的大三角板與你們筆袋中的小三角板，是哪一塊小三角板？舉起來讓我看看。（學(xué)生陸續(xù)舉起。）

師：很好，那給定兩角作出的三角形也不一定全等。如果給的是一邊一角呢？這個有點難，動手畫畫看。（教師先在白板上給定一角α，如圖6，再巡視學(xué)生的畫圖過程，并邀請一位學(xué)生利用紅色磁力條在白板上作圖，如圖7。）

圖6

圖7

師：你可以簡單說明下嗎？

生11：我所作的這3個三角形，都符合一邊一角分別相等，但它們并不全等。這說明給定一邊一角所作的三角形不一定全等。

師：你表達(dá)得非常清晰，真棒?。ń處熆粗鴪D7，若有所思。）我想問一下，是不是給定的一邊一定得是角α的夾邊？

生12：不一定，也可以是角α的對邊。

師：你來試試看。（生12在白板上作圖，如圖8。）符合要求的三角形一定全等嗎？

生12：不一定。（他在圖8的基礎(chǔ)上作了圖9。）

圖8

圖9

師：你真的很聰明，同學(xué)們掌聲鼓勵一下。這說明給定一邊一角作出的三角形也不一定全等。綜上，給定兩個條件作出的三角形不一定全等。繼續(xù)探索，給定三個條件呢？你能說出有哪幾種可能的情況嗎？

生13：給定三條邊、給定三個角、給定兩邊一角、給定兩角一邊。

師：你說的順序和我想的一致，我們真是心有靈犀。大家覺得哪種情況更容易判斷？說說看。

生14：給定三個角更容易判斷，因為三個角分別相等的兩個三角形，形狀雖然相同，但大小可以不一樣。

師：你說得真好。因為時間限制，我們只能再探索一種情況，研究哪一種好呢？

生眾：給定兩邊一角。

師：好，那其他情況留給同學(xué)們課后加以研究。兩邊一角，比如這個三角形（如圖10），你選哪兩邊哪一角呢？

圖10

6位學(xué)生分別進(jìn)行了不同選擇。

師：你們說的可以歸納為兩類，一類是兩邊和它的夾角，另一類是兩邊和它一邊的對角。我們先來探索給定兩邊和它一邊的對角作出的三角形是否全等，動手畫畫看。（教師先在白板上給定兩邊m、n與角α，如圖11，再巡視學(xué)生的畫圖過程，并邀請一位學(xué)生利用紅、綠色磁力條在白板上作圖，他作圖如圖12。）

圖11

圖12

師問生21：好了嗎？

生21：（有點遲疑）我覺得還能作出一種與它不全等的三角形，但不知如何下手。

師：你將紅、綠色磁力條換下位置試試看（如圖13）。

生21：（又在圖13的基礎(chǔ)上，作出圖14。）我想到了，只要將紅色磁力條逆時針旋轉(zhuǎn)，就找到了另一個符合條件的三角形。

圖13

圖14

師：你真是個愛動腦的孩子，通過這個操作你得到了什么？

生21：給定兩邊和它一邊的對角作出的三角形不一定全等。

師：是的，那我們再來探索給定兩邊和它的夾角，按要求在透明紙上作△ABC。如圖15，用直尺和圓規(guī)作△ABC，使∠B=∠α，AB=m，BC=n.

圖15

師：（巡視學(xué)生的畫圖過程并指導(dǎo)。）作好之后，組內(nèi)對比。每組選出代表，組間對比，你們發(fā)現(xiàn)了什么？

生眾：完全重合。

師：（操作幾何畫板。）請看大屏幕，改變?nèi)切蔚倪吇蚪牵磧蛇厞A一角分別相等所作的三角形依然與已知三角形全等。

（課前教師在畫板工具中作好△ABC，并顯示AB、BC的長度與∠B的角度。拖動點A、C，改變△ABC的邊或角，AB、BC的長度與∠B的角度也隨之改變；停止拖動，利用畫板工具作DE= AB、∠E=∠B、EF=BC，連接DF獲得△DEF，平移△DEF，使之與△ABC重合。）

師：這說明了什么？

生22：兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等。

4.講解新知，語言互譯。

（學(xué)生口述，教師板書上述結(jié)論。）

師：這是人們長期實踐獲得的用來判定兩個三角形全等的一個基本事實?？梢院唽懗伞斑吔沁叀被颉癝AS”。（教師板書。）幾何中的每一個知識點都對應(yīng)三種語言，文字語言、圖形語言、符號語言。通常我們先將抽象的文字語言譯成更加直觀的圖形語言，如圖16，△ABC與△DEF的兩邊及其夾角分別相等，你選哪兩邊及其夾角分別相等？

圖16

3位學(xué)生分別進(jìn)行了不同選擇。

師：你們選的都可以，你（學(xué)生23）是第一個回答的，我選你說的來標(biāo)注（如圖17）。現(xiàn)在我們再將圖形語言譯成簡潔明了的符號語言，哪位同學(xué)試試看？

圖17

（生26口述，教師板書，過程略。）

師：符號語言你用得很規(guī)范，平時解幾何題時，我們經(jīng)常會將這三種語言進(jìn)行互譯，如果你能將它們緊密結(jié)合，你會發(fā)現(xiàn)幾何中定理與性質(zhì)其實很簡單。友情提醒一下，在寫判定的條件時，我們要注意順序，按照“邊角邊”的順序來寫，而且第一個三角形中的邊與角通常要寫在左邊。

5.拓展應(yīng)用，生活數(shù)學(xué)。

題目如下，講解略。

（1）找出圖18中的全等三角形，并說明理由。

圖18

（2）已知，如圖19，AB=AD，∠BAC=∠DAC。先求證△ABC≌△ADC。再想想，BC＝DC嗎？CA平分∠DCB

圖19

（3）為了測量開山修隧道的長度，測量員的設(shè)計如圖20所示，O為AD的中點，B、C、O在同一條直線上，且OC=OB，已知CE=30m，DF=60m,只要測出AB的長，就可得隧道EF的長,為什么？當(dāng)AB=250m時，求隧道EF的長。

圖20

6.課堂小結(jié)，分享收獲。

師：還記得這節(jié)課探索了什么嗎？（投影圖21。）哪些不一定成立？一定成立的是什么？哪些還沒有探索？這就留給你課后去探討了。

圖21

二、教后反思

本課設(shè)計遵循的理念就是努力把學(xué)習(xí)的主動權(quán)交給學(xué)生，尊重學(xué)生、信任學(xué)生。教師需要做好的是幫助學(xué)生在學(xué)習(xí)的每一個階段和每一個具體活動中都表現(xiàn)出明確的目的性，并且始終圍繞學(xué)習(xí)目的開展學(xué)習(xí)活動，從而保證學(xué)習(xí)的方向性和有效性。

透明紙、彩色磁力條、幾何畫板軟件的使用不僅省時，更為重要的是為學(xué)生提供了直觀體驗，有助于理解、記憶抽象的數(shù)學(xué)結(jié)論并發(fā)展抽象思維。數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)思維活動的教學(xué)，教學(xué)中對文字語言、圖形語言和符號語言進(jìn)行了轉(zhuǎn)換，即“換一種說法”，可以更好地啟迪學(xué)生思維，提高學(xué)生數(shù)學(xué)思維的深刻性和靈活性。

本課遺憾的是，如果時間充足，就可以將三角形全等的條件全部探索出來，這樣學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)就更加完整。如果彩色磁力條有縮小版的，每人一份，那么探索活動將更加有效。

（作者為江蘇省連云港市新海實驗中學(xué)蒼梧校區(qū)教師）