蔣秋櫻　趙繼源　潘裕梅

【摘 要】本文通過(guò)分析有關(guān)數(shù)形結(jié)合思想的典型例子，詳細(xì)地講解以形助數(shù)、以數(shù)解形、數(shù)形互助的方法，以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想，更好地學(xué)好數(shù)學(xué)。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué) 數(shù)形結(jié)合思想 以形助數(shù) 以數(shù)解形 數(shù)形互助

【中圖分類號(hào)】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】0450-9889（2017）06B-0085-03

新課標(biāo)指出：“數(shù)學(xué)教育要使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和基本思想，讓學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的思考方式解決問(wèn)題、認(rèn)識(shí)世界?！睆墓胖两瘢煌膶＜覍W(xué)者對(duì)于數(shù)形結(jié)合思想有不同的理解。本文認(rèn)為數(shù)形結(jié)合思想是把數(shù)量關(guān)系和空間形式結(jié)合起來(lái)去分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的指導(dǎo)思想。運(yùn)用數(shù)形結(jié)合這一指導(dǎo)思想解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的基本途徑有三種，分別是以形助數(shù)、以數(shù)解形、數(shù)形互助。可見(jiàn)，數(shù)形結(jié)合思想是幫助學(xué)生解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種重要思想。然而，由于中學(xué)教材中沒(méi)有明確給出數(shù)形結(jié)合思想的定義，教師對(duì)于如何滲透，滲透到什么程度比較模糊，所以，學(xué)生在運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想時(shí)，會(huì)出現(xiàn)畫(huà)圖不準(zhǔn)確，在數(shù)形轉(zhuǎn)化的過(guò)程中出現(xiàn)不等價(jià)、邏輯循環(huán)錯(cuò)誤等問(wèn)題。因此，本文通過(guò)分析數(shù)形結(jié)合思想中以形助數(shù)、以數(shù)解形和數(shù)形互助的例子，并給出一些教學(xué)策略，希望對(duì)教師教學(xué)有所啟發(fā)。

一、數(shù)形結(jié)合思想的例子分析

（一）以形助數(shù)

以形助數(shù)是數(shù)形結(jié)合思想中一種常用的方式，它的特點(diǎn)是根據(jù)已知量的關(guān)系，將代數(shù)式子轉(zhuǎn)化成相應(yīng)的圖形，再借助圖形的直觀性，去解決代數(shù)問(wèn)題。

〖例1〗求證：

其中 a 與 c，b 與 d 不同時(shí)相等。

〖分析〗該題讓我們證明的是一個(gè)含有 4 個(gè)字母的抽象代數(shù)不等式，直接去證明也是可以的，但是，過(guò)程比較復(fù)雜，需要進(jìn)行大量的復(fù)雜的運(yùn)算、觀察和轉(zhuǎn)化，花的時(shí)間會(huì)比較長(zhǎng)，容易出錯(cuò)?？墒?，如果從數(shù)形結(jié)合的角度思考，將這道題目的代數(shù)式轉(zhuǎn)化成幾何圖形，那么就會(huì)簡(jiǎn)單得多。

該題目的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)與兩點(diǎn)之間的距離公式非常相似，所以可以將其放在平面直角坐標(biāo)系中分析，借助直觀圖形尋找不等關(guān)系。不妨設(shè) O（0，0），A（a，b），B（c，d），則，，，如圖 1 所示，此時(shí)，借助圖形分三種情況進(jìn)行分析即可。

情況一：當(dāng) O、A、B 三點(diǎn)不共線時(shí)，根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊，得；

情況二：當(dāng) O、A、B 三點(diǎn)共線時(shí)，點(diǎn) A 和點(diǎn) B 在點(diǎn) O 異側(cè)或者與點(diǎn)O重合，則；

情況三，當(dāng) O、A、B 三點(diǎn)共線，點(diǎn) A 和點(diǎn) B 在點(diǎn) O 同側(cè)時(shí)，則。

圖1 圖2

〖例2〗設(shè)等差數(shù)列{an}的前 n 項(xiàng)和為 Sn，若 a1<0，S2009=0，求當(dāng) 時(shí)，n 的取值的集合。

〖分析〗此題的已知條件比較有限，如果將 an 和 Sn 用公式展開(kāi)，涉及的未知數(shù)比較多，直接用代數(shù)法去求解十分復(fù)雜。但是，我們知道等差數(shù)列也是函數(shù)中比較特殊的一種，所以我們可以考慮用數(shù)形結(jié)合思想，借助函數(shù)圖象來(lái)直觀得出n的取值的集合。我們知道，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可以看成正整數(shù)集上的一次函數(shù)，它的求和公式可以看成是正整數(shù)集上、常數(shù)項(xiàng)為 0 的二次函數(shù)，基于這個(gè)特點(diǎn)，我們可以將這個(gè)代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成幾何問(wèn)題，借助圖象分析。

已知條件 a1<0，S2009=0，所以可以推斷 d>0；根據(jù)等差數(shù)列的公式可以推斷一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)第一、三象限，與 y 軸交于負(fù)半軸；根據(jù)等差數(shù)列前 n 項(xiàng)和公式可以推出二次函數(shù)開(kāi)口向上。進(jìn)一步分析，可以知道 a1=S1，a2010=S2010，并且 S2010>0，即可畫(huà)出大致圖象。為了畫(huà)圖方便，我們是畫(huà)成連續(xù)的圖象，如圖 2 所示，但是，值得注意的是，這個(gè)函數(shù)的圖象實(shí)際上是由一些離散的點(diǎn)構(gòu)成的。當(dāng) 時(shí)，n 的取值的集合為 。

（二）以數(shù)解形

以數(shù)解形也是數(shù)形結(jié)合思想中的一種重要方式，它的特點(diǎn)是利用代數(shù)方法來(lái)解決幾何問(wèn)題，通常運(yùn)用的方法是坐標(biāo)法、向量法等，借助代數(shù)法來(lái)幫助我們挖掘隱含的幾何信息，從而更容易地解決幾何問(wèn)題。

〖例3〗（2008年江蘇）在三角形 ABC 中，AB=2，AC= ，求出三角形 ABC 面積的最大值。

〖分析〗此題如果僅僅從幾何角度去分析，構(gòu)造輔助線，是很難求出三角形 ABC 面積的最大值的。涉及最大值和最小值的問(wèn)題，可以從代數(shù)的角度來(lái)輔助分析。此題已知條件的特點(diǎn)是知道了某些線段的長(zhǎng)度以及線段之間的關(guān)系，所以，在這里可以考慮建立平面直角坐標(biāo)系，借助坐標(biāo)法分析。

可以建立如圖 3 所示的坐標(biāo)系，設(shè) C（x，y），A（-1，0），B（1，0），又 AC=，得，整理得（x-3）2+y2=8，即點(diǎn) C 在圓上運(yùn)動(dòng)，所以，當(dāng)△ABC 以 AB 為底邊，以圓的半徑為高時(shí)，面積最大，。此題的關(guān)鍵是借助坐標(biāo)法分析以后，得出了點(diǎn) C 的運(yùn)動(dòng)軌跡是圓，根據(jù)圓的特征就容易得到三角形面積的最大值了。

圖3 圖4

〖例4〗（2016 年大連）設(shè) O 在△ABC 的內(nèi)部，且，則△ABC 的面積和△AOC 的面積之比為（ ）

A.3 B. C.2 D.

〖分析〗這道題要想求出三角形的面積比，必須知道三角形各線段之間的比例關(guān)系，但是，已知條件只是給出了向量之間的關(guān)系，這就需要我們借助向量法，通過(guò)一定的轉(zhuǎn)化，將代數(shù)條件轉(zhuǎn)化成需要的幾何條件，從而找出線段之間的比例關(guān)系，如圖 4 所示。

設(shè) AC 和 BC 的中點(diǎn)分別為 M 和 N，將整理得即，所以，，這說(shuō)明 M、O、N三點(diǎn)共線，2ON=OM，因此，，所以 。

（三）數(shù)形互助

數(shù)形互助的特點(diǎn)是把代數(shù)的精確性和幾何的直觀性有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，實(shí)現(xiàn)由“數(shù)”到“形”和由“形”到“數(shù)”的相互轉(zhuǎn)化。

〖例5〗（2013 天津）設(shè)函數(shù) f（x）=ex+x-2，g（x）=lnx+x2-3，若實(shí)數(shù) a，b 滿足 f（a）=0，g（b）=0，則（ ）

A.g（a）<0

C.0

〖分析〗題目要求比較的是有關(guān) a 和 b 的函數(shù)值的大小，觀察已知條件，我們發(fā)現(xiàn)很難直接通過(guò)代數(shù)求解，將 a 和 b 直接求出來(lái)，所以借助函數(shù)圖象來(lái)比較實(shí)數(shù) a 和 b 的大小關(guān)系是最簡(jiǎn)單明了和直觀的，這就需要以形助數(shù)。

已知條件 f（x）=ex+x-2，g（x）=lnx+x2-3， f（a）=0，g（b）=0，所以 y1=ex 和 y2=-x+2 的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為 a，y3=lnx 和 y4=-x2+3 的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為 b，如圖 5 所示，易知，a

圖5

二、數(shù)形結(jié)合思想的教學(xué)策略

（一）教師應(yīng)結(jié)合直觀圖形幫助學(xué)生理解新知

教師在給學(xué)生講解新的概念、性質(zhì)定理、公式時(shí)，不是簡(jiǎn)單地把知識(shí)硬塞給學(xué)生，而是借助簡(jiǎn)潔、直觀的圖象、圖形來(lái)幫助學(xué)生理解抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)，幫助學(xué)生更好地吸收、領(lǐng)悟數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)思想。

在給學(xué)生講解增函數(shù)與減函數(shù)的定義時(shí)，教師可以從學(xué)生熟悉的一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)入手，通過(guò)學(xué)生熟悉和直觀的圖象來(lái)引導(dǎo)學(xué)生抓住概念的關(guān)鍵點(diǎn)，從而較容易地理解概念本質(zhì)。另外，教師給學(xué)生講解正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的性質(zhì)時(shí)，教師一定要結(jié)合正弦圖象和余弦圖象讓學(xué)生觀察學(xué)習(xí)，對(duì)比分析，引導(dǎo)學(xué)生借助圖象歸納出正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的增區(qū)間和減區(qū)間，對(duì)稱軸等性質(zhì)，理解記憶性質(zhì)。教師要教會(huì)學(xué)生借助圖象進(jìn)行分析、記憶的方法，就算在學(xué)生記憶出錯(cuò)或者模糊的情況下，也能自己畫(huà)圖分析，得出相應(yīng)的性質(zhì)。此外，教師在給學(xué)生介紹基本不等式時(shí)，不僅要從代數(shù)的角度來(lái)讓學(xué)生認(rèn)識(shí)基本不等式，還要讓學(xué)生了解基本不等式的幾何背景，學(xué)生只有從幾何和代數(shù)兩方面來(lái)認(rèn)識(shí)基本不等式，才能對(duì)基本不等式有一個(gè)全面的理解。因此，在教學(xué)中，教師要善于借助直觀形象的圖形來(lái)幫助學(xué)生更容易地理解和記憶新知，把握知識(shí)的本質(zhì)，逐步對(duì)數(shù)形結(jié)合思想有一個(gè)更深刻的理解。

（二）教師應(yīng)幫助學(xué)生總結(jié)常見(jiàn)的式與形之間互化的典型例子

常見(jiàn)的式與形之間相互轉(zhuǎn)化的例子有很多，比較典型的是例子有：的幾何意義表示的是某個(gè)點(diǎn) P（x0，y0）到某條直線 Ax+By+C=0 的距離；的幾何意義表示的是 A（x1，y1）和 B（x2，y2）兩點(diǎn)之間的距離；的幾何意義表示的是兩點(diǎn) A（x1，y1）和 B（x2，y2）之間的斜率。教師不僅要在新課中告訴學(xué)生這些公式的幾何意義，還要借助一些典型的題目，如 的最大值、最小值，的最小值等，引導(dǎo)學(xué)生感悟數(shù)形結(jié)合思想，通過(guò)不斷地進(jìn)行針對(duì)性的訓(xùn)練和總結(jié)，來(lái)進(jìn)一步提高學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力。

（三）教師應(yīng)精選習(xí)題，借助反思以增強(qiáng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的能力

教師在教學(xué)中要有意識(shí)地借助習(xí)題課來(lái)增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力。為了滲透數(shù)形結(jié)合思想，教師要認(rèn)真挑選和編制典型的題目，先讓學(xué)生去獨(dú)立思考，尋求答案，目的是讓學(xué)生犯錯(cuò)，學(xué)生通過(guò)嘗試，出錯(cuò)以后，再引導(dǎo)學(xué)生反思總結(jié)，最后通過(guò)變式訓(xùn)練進(jìn)一步深化和提高。

為了培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)密性，教師可以給學(xué)生做一些易錯(cuò)題。比如，求方程x2-2x=0 的解的個(gè)數(shù)。在這道題當(dāng)中，學(xué)生或許會(huì)利用數(shù)形結(jié)合思想，通過(guò)畫(huà)草圖求出方程的解是兩個(gè)，但是，此題的正確答案是三個(gè)，當(dāng) x<0 時(shí)，有一個(gè)解；當(dāng) x>0 時(shí)，有兩個(gè)解。在學(xué)生出現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思總結(jié)，遇到這類交點(diǎn)個(gè)數(shù)的問(wèn)題時(shí)，一定要小心謹(jǐn)慎，注意圖象的完整性。再比如，已知 a，b，m 為正實(shí)數(shù)，且 a

總之，對(duì)于高中生而言，掌握數(shù)形結(jié)合思想是十分必要的，它對(duì)于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力具有極其重要的作用。因此，教師需要用心挖掘，在教學(xué)中反復(fù)滲透。

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【作者簡(jiǎn)介】蔣秋櫻（1994— ），女，廣西南寧人，廣西師范學(xué)院，碩士，研究方向：學(xué)科教學(xué)（數(shù)學(xué)）；趙繼源，男，廣西南寧人，廣西師范學(xué)院，教授，博士，研究生導(dǎo)師，研究方向：學(xué)科數(shù)學(xué)；潘裕梅，女，廣西欽州人，廣西師范學(xué)院，碩士，研究方向：學(xué)科教學(xué)（數(shù)學(xué)）。

（責(zé)編 盧建龍）