安徽省合肥市第三十二中學(xué) 李啟梅 (郵編:230051)

稚化思維促進(jìn)數(shù)學(xué)課堂的兩種生長(zhǎng)
——一次同課異構(gòu)課引發(fā)的反思

安徽省合肥市第三十二中學(xué) 李啟梅 (郵編:230051)

對(duì)華東師范大學(xué)李政濤教授報(bào)告《讓課堂散發(fā)生長(zhǎng)的氣息》中提出的好課的最后一個(gè)標(biāo)準(zhǔn),即“教學(xué)有無生長(zhǎng)感”的觀點(diǎn)深有感觸,最近閱讀多篇有關(guān)稚化思維的文章.認(rèn)為在稚化思維策略下的數(shù)學(xué)課堂應(yīng)像著名特級(jí)教師薛法根所說:課堂,呈現(xiàn)的不僅僅是鮮花,還有花開的聲音,最美的聲音是學(xué)生生命里拔節(jié)的聲音.那么什么是稚化思維?

稚化思維,簡(jiǎn)言之,就是教師有意識(shí)將自己的思維降到學(xué)生的思維水平,甚至更低,設(shè)身處地地揣摩學(xué)生的思維活動(dòng)和學(xué)習(xí)過程,以與學(xué)生同樣的興趣、同樣的思維,通過共同探究力求達(dá)到與學(xué)生思維共振,共創(chuàng)教學(xué)和諧.它的作用在于:有利于降低學(xué)生的認(rèn)知難度;有利于拉近師生情感距離;有利于引起師生思維共振.

下面運(yùn)用稚化思維策略對(duì)一次區(qū)級(jí)范圍內(nèi)的同課異構(gòu)課進(jìn)行改進(jìn),以和同仁共勉.

1 教學(xué)片段

兩位老師同上了一節(jié)人教A版必修5《3.4基本不等式》這節(jié)內(nèi)容,下面節(jié)選兩節(jié)課中基本不等式的引入和應(yīng)用的課堂實(shí)錄.

實(shí)錄1

片段1 引入

師:(簡(jiǎn)單介紹第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo))你能在這個(gè)圖案中找出一些相等關(guān)系或不等關(guān)系嗎?

生:一片默然(問題指向不夠明確).

師:四個(gè)直角三角形面積相等,和大正方形面積相比,有a2＋b2≥2ab,(動(dòng)畫展示中間小長(zhǎng)方形逐步縮成一點(diǎn)),當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào).

師:這就是重要不等式:一般的,如果a、b∈R,則a2＋b2≥2ab.

學(xué)生上黑板板演證明過程,師生共同評(píng)講.

片段2 應(yīng)用

師:下面我們來看基本不等式的簡(jiǎn)單應(yīng)用:例(1)用籬笆圍成一個(gè)面積100m2的矩形菜園,問這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí),所用籬笆最短.最短的籬笆是多少?(2)用一段長(zhǎng)為36m的籬笆圍成一個(gè)矩形菜園,問這個(gè)矩形菜園的長(zhǎng)和寬各為多少時(shí),菜園的面積最大,最大面積是多少?

生:(大部分同學(xué)感覺不知從哪下手,教室里很安靜).

教師展示解答,快速講解.

實(shí)錄2

片段1 引入

師:(簡(jiǎn)單介紹第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)及數(shù)學(xué)的最高獎(jiǎng)項(xiàng)－－菲爾茲獎(jiǎng))觀察圖1中的四個(gè)小直角三角形和大正方形面積的大小關(guān)系.

生:S正方形＞4S三角形.

師:再看圖2中圓的半弦CD和半徑的關(guān)系.

生:半弦CD小于半徑.

從而引入了重要不等式和基本不等式.

片段2 應(yīng)用

例1 若a、b、c是互不相等的實(shí)數(shù),求證:a2＋b2＋c2＞ab＋bc＋ca.

學(xué)生不知從何做起.

例2 已知a、b、c∈R＋,且a＋b＋c＝1,求證

下課鈴聲響起,例2沒

有時(shí)間證明.

2 教學(xué)反思

圖1

圖2

兩位老師在處理教材上截然不同,教學(xué)風(fēng)格也大相徑庭,給人留下了深刻的印象.表面上兩位老師課堂設(shè)計(jì)似乎沒有問題,特別是第二位老師處理得似乎很獨(dú)特,但從教材和學(xué)生兩方面深入思考,筆者認(rèn)為:

第一位老師由會(huì)標(biāo)圖形引出了重要不等式,由于圖形中a、b∈R＋,如何過渡a、b∈R?這是學(xué)生想知道的,這個(gè)條件不能硬塞給學(xué)生;同時(shí)為什么取等號(hào)也需要學(xué)生積極去建構(gòu),而不是老師一個(gè)動(dòng)畫展示所能代替的.在例題的設(shè)計(jì)上,由于這是一個(gè)普通高中,應(yīng)用題的解答對(duì)學(xué)生來說一直就是一個(gè)難點(diǎn),因而可以先設(shè)計(jì)有一定坡度的引例作為鋪墊,再來解決實(shí)際問題,比較切合學(xué)生的認(rèn)知.

第二位老師突出兩個(gè)不等式的幾何意義,對(duì)比教學(xué),創(chuàng)意雖好,但割裂了重要不等式和基本不等式的關(guān)系,體現(xiàn)不到代數(shù)變換,也違背了教材編寫者的初衷,給學(xué)生感覺它們是相互獨(dú)立的,特別是例題的設(shè)計(jì)遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了學(xué)生的實(shí)際水平.

他們?cè)趥湔n時(shí)忽視了兩個(gè)問題:知識(shí)在課堂中如何自然生長(zhǎng)和新知識(shí)在學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中怎樣新生長(zhǎng).課堂生長(zhǎng)的前提,一是認(rèn)真解讀課程標(biāo)準(zhǔn)和教材,二是基于學(xué)生立場(chǎng),認(rèn)真解讀學(xué)生.學(xué)生實(shí)際狀態(tài)應(yīng)成為教育教學(xué)的起點(diǎn)和出發(fā)點(diǎn),是教學(xué)目標(biāo)制定的依據(jù).為此,教師可以退回到學(xué)生相仿的思維,接地氣地來熟讀教材,諳熟學(xué)情.

3 改進(jìn)

稚化思維后的數(shù)學(xué)教學(xué),應(yīng)關(guān)注兩種“生長(zhǎng)”,即知識(shí)自然展開的“自生長(zhǎng)”和知識(shí)在學(xué)生認(rèn)知中“新生長(zhǎng)”.從數(shù)學(xué)角度看,它合乎數(shù)學(xué)知識(shí)本身的邏輯結(jié)構(gòu)和發(fā)展規(guī)律;從學(xué)生角度來看,它合乎他們的認(rèn)知規(guī)律和心理特征.因而教師備課時(shí)要研究這部分知識(shí)的邏輯關(guān)系和學(xué)生原有認(rèn)知是什么.

(1)遵循邏輯關(guān)系,促進(jìn)知識(shí)的自生長(zhǎng)

數(shù)學(xué)知識(shí)之間有內(nèi)在的邏輯關(guān)系,這些關(guān)系對(duì)學(xué)生來說,都是陌生的.因而需要教師從學(xué)情出發(fā),貼近學(xué)生的認(rèn)知,降低思維,在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)思考:如何將這些知識(shí)自然地展開?如何促進(jìn)知識(shí)在學(xué)生原有知識(shí)基礎(chǔ)上生根發(fā)芽?

我們知道基本不等式的引入是建立在重要不等式的基礎(chǔ)上,而重要不等式的得出經(jīng)歷了圖形的直觀感知到數(shù)學(xué)的嚴(yán)格證明,在證明的過程中引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)a、b的范圍,從而由正實(shí)數(shù)推廣到全體實(shí)數(shù).再用代數(shù)變換導(dǎo)出了基本不等式,由此可以作以下展開:

師:(簡(jiǎn)單介紹第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)及數(shù)學(xué)的最高獎(jiǎng)項(xiàng)菲爾茲獎(jiǎng))觀察會(huì)標(biāo)有哪些圖形構(gòu)成?若四個(gè)小直角三角形面積相等,那么四個(gè)直角三角形的面積和大正方形面積的大小關(guān)系如何呢?

生:正方形和直角三角形;S正方形＞4S三角形.

師:a2＋b2＞2ab,追問:a2＋b2能和2ab相等嗎?什么情況下相等?

讓學(xué)生觀察圖形直觀想象,由問題啟動(dòng)思維,展開新知.

師:在學(xué)生初步形成結(jié)論后動(dòng)畫展示,中間小正方形縮成一個(gè)點(diǎn),此時(shí)a＝b.

此時(shí)學(xué)生完成了對(duì)重要不等式的直觀感知,而這種由特殊圖形得出結(jié)論還需理論上的證明和進(jìn)一步的完善.

師:這里a、b∈R＋,這個(gè)結(jié)論可靠嗎?你打算怎樣證明?

生:作差比較.

師:你發(fā)現(xiàn)作差變形后竟是一個(gè)實(shí)數(shù)的平方,顯然大于等于0,既然這樣,對(duì)a、b∈R,結(jié)論還成立嗎?

生:當(dāng)然成立(異口同聲).

師:顯然這里a、b為非負(fù)數(shù).

設(shè)計(jì)意圖:按照兩不等式的內(nèi)在邏輯關(guān)系,通過不斷地創(chuàng)設(shè)問題情境,搭建“腳手架”,降低認(rèn)知難度,使得兩不等式的關(guān)系清晰,基本不等式自然生成.

(2)遵循認(rèn)知特點(diǎn),促進(jìn)知識(shí)的新生長(zhǎng)

在稚化思維下,要求教師把思維的觸角深入到學(xué)生的思維領(lǐng)地,進(jìn)行發(fā)掘和研究,想學(xué)生所想,惑學(xué)生所惑.正如特級(jí)教師魏書生曾說過:“知識(shí)是生長(zhǎng)出來的”.學(xué)生對(duì)新知識(shí)的理解是逐步由模糊到清晰、由零碎到完整并逐步融入原有知識(shí)體系之中,在原有基礎(chǔ)上進(jìn)行的老枝發(fā)新芽.學(xué)生在學(xué)習(xí)這部分知識(shí)前已學(xué)習(xí):一個(gè)實(shí)數(shù)的平方大于等于0;不等式的性質(zhì);不等式的解法;線性規(guī)劃.在此基礎(chǔ)上對(duì)不等式作進(jìn)一步研究,介紹利用基本不等式求一類函數(shù)的最值.

如果把學(xué)生認(rèn)知中的不等式知識(shí)看作一根老枝的話,那么通過本節(jié)課的學(xué)習(xí),它應(yīng)經(jīng)歷了三次成長(zhǎng),首先是認(rèn)識(shí)基本不等式的形式和特征;其次從數(shù)學(xué)角度對(duì)它進(jìn)行第二次認(rèn)識(shí),理解一正和二定的含義;再次從數(shù)學(xué)應(yīng)用的角度進(jìn)行再認(rèn)識(shí),理解三相等以及積定和最小,和定積最大,體會(huì)基本不等式的作用.在知識(shí)的自然展開中,學(xué)生認(rèn)識(shí)了基本不等式,通過三次成長(zhǎng),新知識(shí)在學(xué)生原有的知識(shí)上發(fā)芽.學(xué)生第一次接觸基本不等式,理解它已很困難,對(duì)于應(yīng)用則是更高層次的要求.因而要增設(shè)一些坡度,通過適當(dāng)?shù)淖兪?引起學(xué)生認(rèn)知沖突,加深理解,逐步爬坡,最后學(xué)以致用.

師:是否還需作差比較?

生:不需要,用基本不等式.

師:基本不等式反映的是兩正實(shí)數(shù)和積之間的關(guān)系,兩正實(shí)數(shù)的積有定值嗎?

生:有,是2.

師:若x＜0呢?能用基本不等式嗎?為什么?(對(duì)a、b∈R＋再認(rèn)識(shí))

例2 (1)在學(xué)校操場(chǎng)邊,有一塊面積為100m2的荒地,為了美化校園環(huán)境,學(xué)校決定用籬笆圍起來,問這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí),所用籬笆最短.最短的籬笆是多少?

(2)學(xué)校宿舍區(qū)有一段長(zhǎng)為36m的籬笆,要圍成一個(gè)矩形花壇,問這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí),花壇的面積最大.最大面積是多少?

師:設(shè)長(zhǎng)為x,寬為多少?最短籬笆長(zhǎng)又為多少?

(到此學(xué)生在例1的基礎(chǔ)上,順勢(shì)而上,對(duì)基本不等式的認(rèn)識(shí)進(jìn)行了積極的同化)

師:在(2)中很容易得出花壇的面積S＝x (18－x),由x與18－x形成的積式,它們的和有定值嗎?

設(shè)計(jì)意圖:例1設(shè)計(jì)便于學(xué)生對(duì)基本不等式的應(yīng)用條件、結(jié)構(gòu)特征的進(jìn)一步理解,對(duì)用基本不等式求最值時(shí)的“一正”,“二定”的準(zhǔn)確理解,為例2打下基礎(chǔ).例2為“三相等”順利實(shí)行新知識(shí)的同化,促進(jìn)知識(shí)的新生長(zhǎng).

稚化思維的設(shè)計(jì)遵循了知識(shí)的內(nèi)在結(jié)構(gòu),知識(shí)發(fā)生、發(fā)展的歷程,及時(shí)掃清了學(xué)生認(rèn)知的障礙,調(diào)動(dòng)了學(xué)生情感的參與.有效地促進(jìn)知識(shí)在課堂的“自生長(zhǎng)”和知識(shí)在學(xué)生認(rèn)知中“新生長(zhǎng)”,以達(dá)到自然的教學(xué),這正是我們每位老師追求的教學(xué)的至高藝術(shù)!

1 孫式武.課堂教學(xué)中師生思維同步的實(shí)現(xiàn)策略[J].教育理論與實(shí)踐,2013(8)

2 龔彥琴,李祎.芻議稚化思維的數(shù)學(xué)教學(xué)策略[J].數(shù)學(xué)通報(bào),2013(10)

3 張建良等,稚化思維:內(nèi)涵理解與實(shí)踐探索[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊,2015(11)

4 錢軍先.例談稚化思維的教學(xué)策略[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考,2016(1-2)

2017-05-25)