河北昌黎第一中學 田衛(wèi)東 (郵編:066600)

一道三角形最值問題的解法賞析和思考

河北昌黎第一中學 田衛(wèi)東 (郵編:066600)

《普通高中課程標準實驗教科書數(shù)學必修5》(人教社A版)第一章中明確指出:一般地,把三角形的三個內(nèi)角A、B、C和它們的對邊a、b、c叫做三角形的元素.已知三角形的幾個元素求其他元素的過程叫做解三角形.解三角形問題一般分為兩類.第一類,求三角形的邊長或內(nèi)角的大小;第二類,求三角形的邊長或內(nèi)角的取值范圍(包括最值),一般第二類問題難度往往更大些.2017年第二次模擬考試中就出現(xiàn)了這樣一道題,下面將此題及其解答過程與各位讀者分享一下,希望在學習和復(fù)習過程中對大家有所啟示.

1 試題呈現(xiàn)與簡要分析

圖1

這是2017年河北省唐山市第二次模擬考試第16題,也是填空題的壓軸題,本題主要考查在三角形中運用正、余弦定理進行邊角轉(zhuǎn)化及三角函數(shù)的有關(guān)公式的運用,利用求函數(shù)最值的各種方法求解三角形邊長的最大值,同時考查學生的運算求解、邏輯推理能力,數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學思想.試題言簡意賅,內(nèi)涵豐富,對學生能力要求較高,有較大的難度,是一道值得研究的優(yōu)秀模擬試題.從學生答題結(jié)果看,正確率僅為2%左右,根據(jù)學生考后反饋情況,一部分同學沒有思路,放棄作答,大部分學生運用正、余弦定理做到一半時,無法繼續(xù)求解,然后考慮特殊三角形,即△ABC為正三角形時,得到的錯誤結(jié)果.另有極少數(shù)學生考慮到借助三角形的外接圓,運用圓的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)最值問題,只可惜計算有誤,著實令人可惜.下面,我們從不同的角度對此題進行分析和求解.

2 思路分析及解法點評

2.1 “兩個定理”相得益彰 “三角函數(shù)”水到渠成

思路1 欲求三角形邊長的最值,可以考慮用正、余弦定理將邊長用某個內(nèi)角的正弦或余弦值表示,進而轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問題.為此,要選擇一個角作為變量.

為說明問題方便,令A(yù)D＝t,角A、B、C所對的邊分別為a、b、c.

解 如圖1,在△ACD中,由余弦定理得

將②代入①得

整理得t2＝4＋23sin2C,顯然當sin2C＝1,即時,t2的最大值為,所以AD的最大值是

點評 在三角形中將邊長用角的正、余弦表示,應(yīng)屬通性通法,這種方法的特點是將代數(shù)運算轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的運算,減少了思維量,降低問題的求解難度,是解題者比較喜歡的方式之一.題中所給的,BC＝3為對角和對邊的關(guān)系,為進行邊角的轉(zhuǎn)化提供了有力保障.此方法的難點在于③式的化簡需要較強的運算能力,稍有不慎,便會前功盡棄,所以此解法對學生的三角函數(shù)運算能力往往有比較高的要求.

2.2 “余弦定理”一枝獨秀 “三角換元”助力求解

思路2 可借助∠ADB與∠ADC互補,在△ABD和△ACD中分別運用余弦定理建立邊長之間的關(guān)系,將b2－bc＋c2＝9進行配方處理,借助圓的參數(shù)方程進行三角換元,從而轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)最值問題.

解 如圖1,在△ABC中,由余弦定理得

同理,在△ABD中,得c2＝t2＋4－4tcos∠ADB②

在△ACD中,得

由②③得3t2＝2b2＋c2－6④

由b2－bc＋c2＝9可得

則3t2＝2b2＋c2－6＝212sin2θ－612,當sin2θ＝1時,等號成立,所以即AD的最大值是3＋1.

點評 雖然此解法最終也是轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求解,但它與思路1相比,存在明顯不同.首先,本解法在三個三角形中分別利用余弦定理得到邊長之間的關(guān)系,而思路1則是通過正弦定理和余弦定理直接得到了三角函數(shù)關(guān)系式;其次,本解法的難點也是亮點在于對b2－bc＋c2＝9進行配方換元,它不同于普通的三角換元,讀者可以仔細加以比較,這種變形技巧在求解二元函數(shù)最值問題時比較常見.

2.3 “平面向量”當仁不讓“均值定理”彰顯威力

在△ABC中,由余弦定理得b2－bc＋c2＝9

點評 向量,是溝通代數(shù)與幾何的橋梁,其中以數(shù)量積公式最為重要,平面向量的數(shù)量積公式包含了長度和角度的運算關(guān)系,在三角形中,經(jīng)常會運用數(shù)量積公式進行邊角之間的相互表示,題中D是BC的一個三等分點是聯(lián)想到用向量求解的重要條件.本解法的另一個難點在于等式b2－bc＋c2＝9,常規(guī)想法是一個變量用另一個變量表示,將t2轉(zhuǎn)化為含有一個變量的函數(shù)式,顯然運算量較大,考場上不宜實施.將①、②相結(jié)合,考慮到“齊二次”的結(jié)構(gòu),令,使得t2成為u的函數(shù)值,是本解法最大的亮點,這種替換在求解二元函數(shù)最值時經(jīng)常用到,但需要存在“齊次”結(jié)構(gòu)這樣的特殊條件.若令v＝u＋1,運用基本不等式求最值時運算量會更小些.

2.4 “解析幾何”錦上添花 “參數(shù)方程”化難為易

容易聯(lián)想到△ABC的外接圓,即BC為圓的一條定弦,點A是該圓一段優(yōu)弧上的動點.為此,可建立平面直角坐標系,求得外接圓方程后,再利用它的參數(shù)方程可建立t2的三角函數(shù)關(guān)系式,從而問題可解.

圖2

如圖建立平面直角坐標系,則☉O的方程為x2＋y2＝3,點C的坐標為,D是BC的一個三等分點,且BC3,所以＝

點評 解三角形問題中經(jīng)常會將已知一邊的長度及其對角大小作為條件,若與正弦定理結(jié)合,很容易知道該三角形與其外接圓之間的關(guān)系,并可求得外接圓半徑,點A在圓弧上運動為圓的參數(shù)方程的使用創(chuàng)造了條件.經(jīng)了解,在本次考試中有幾個同學正是利用了這種辦法成功地破解此題,展示了較高的思維水平和解題能力.毋庸置疑,解析法在求解三角形問題中應(yīng)該占有一席之地,在平時的訓(xùn)練考試中,應(yīng)該有意識地培養(yǎng)學生這方面的能力.

2.5 “平面幾何”揭示本質(zhì) “三點共線”方得始終

圖3

思路5 見圖3,由于點D是定點,而點A在圓周上運動,可以多畫幾條線段,得到不同長度的“AD”,直覺告訴我們,當AD經(jīng)過圓心時,AD或許最長,于是“兩邊之和大于第三邊”便成為此猜想正確的堅實后盾.

解 如圖3,由思路4可知,點A在☉O的優(yōu)弧上運動,由正弦定理計算出AO＝R＝3,由勾股定理可得＝1,顯然＋1,所以當A、O、D三點共線,即圖中A與A′重合時,AD取得最大值

點評 這“神來之筆”的解法令人嘆為觀止,可謂巧妙至極.原來,這題的“老巢”在這里,既然如此,D點可以為四等分點、五等分點……所以,若將條件改為依思路5,問題照樣輕松求解,所以點D的位置并不是最重要的,關(guān)鍵在于A、O、D共線會使得AD取得最大值.由此,只從單純的解題角度來說,學生掌握一定的平面幾何技能是非常有必要的,若從培養(yǎng)人的角度來說,向量的引入,本來就已經(jīng)淡化了學生邏輯推理和空間想象能力的培養(yǎng),而2017年考綱又刪掉了選修4－1平面幾何選講的內(nèi)容,這對于學生上述能力的培養(yǎng)來講是否也算得上一個小小的損失呢?

圖4

3 一點思考和感悟

從整個分析及求解過程看,涉及到了解三角形的有關(guān)定理、三角函數(shù)公式、均值不等式、圓的方程及其參數(shù)方程、平面幾何知識等知識運用,不僅體現(xiàn)了各種數(shù)學知識之間的內(nèi)在聯(lián)系,也體現(xiàn)了配方法、換元法、構(gòu)造法、解析法及數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學方法、思想的運用和滲透,雖然是一道模擬試題,但如果在試卷講評時處理得當,它的作用和價值會體現(xiàn)得更有意義,對于學生發(fā)散思維的培養(yǎng)、靈活解題能力的加強、數(shù)學素養(yǎng)的提高會起到非常大的作用.當下,各種教輔資料鋪天蓋地,數(shù)學題目五花八門,多做題、多刷題依舊充斥著整個數(shù)學學習的過程,學生和老師往往會陷入題目的泥塘之中不能自拔.因此,怎樣解題,解什么樣的題,其實應(yīng)該成為教師認真思考的主要問題.眾所周知,在高中數(shù)學學習過程中,知識是基礎(chǔ),方法是關(guān)鍵,能力是核心.高三的復(fù)習就必須在課堂教學中以培養(yǎng)學生的數(shù)學能力,提升學生的數(shù)學素養(yǎng)為主陣地,應(yīng)該讓每一個優(yōu)秀的數(shù)學試題發(fā)揮其最大的價值,讓每一個數(shù)學問題的解決都滲透著重要的數(shù)學思想方法,只有對典型問題多分析、多總結(jié)解題規(guī)律,做到一題多解、多題一解、一題多變,甚至要做到自己動手編題,才能體現(xiàn)出高效的學習效率和生活的意義.

在此并不否認做題的重要性,但堅決反對通過大量做題作為學習數(shù)學的唯一方法,多年的教學經(jīng)驗告訴我們,作為學生,當他們考入了大學,乃至參加工作后,回憶起高中最難忘的事情時,沒有任何一位同學會想起有哪些數(shù)學題目讓他記憶猶新,但是他們往往會記得老師教給他們?yōu)槿说牡览?做事的方法.愛因斯坦曾經(jīng)說過:“所謂的教育,就是把在學校學到的知識忘掉,剩下的那部分才是教育”.數(shù)學教育作為教育的組成部分,在發(fā)展和完善人類的教育活動中、在形成人們認識世界的態(tài)度和思想方法方面、在推動社會進步和發(fā)展的進程中起著重要的作用.而數(shù)學學科在形成人類理性思維和促進個人智力發(fā)展的過程中發(fā)揮著獨特的、不可替代的作用.它是讓學生學會終身發(fā)展、終身學習的重要學科,它的抽象,會讓我們提高理解能力,它的嚴謹,會讓我們做事情滴水不漏,細致入微,它的解法多樣,會讓我們從多個角度審視問題,理解人生和社會,數(shù)學的魅力,大概就在于此.

2017-06-08)