侯江偉

【摘 要】鑒于現(xiàn)有解耦方法的局限性，本文基于狀態(tài)反饋與極點(diǎn)配置，在實(shí)際狀態(tài)變量難以全部測取的條件下，利用觀測器反饋的全維狀態(tài)變量進(jìn)行解耦控制的研究。并以存在嚴(yán)重耦合的AIRC（飛行器控制）為例進(jìn)行基于觀測器狀態(tài)反饋的解耦控制研究。

【關(guān)鍵詞】觀測器；狀態(tài)反饋；解耦控制0 引言

由于在工業(yè)應(yīng)用于實(shí)際控制中，單變量控制系統(tǒng)的設(shè)計與研究已經(jīng)十分成熟，但對于基于狀態(tài)空間模型的多變量控制系統(tǒng)來說，由于狀態(tài)變量選取的不確定性和受實(shí)際控制目標(biāo)的限制，導(dǎo)致狀態(tài)變量之間存在耦合，這對于實(shí)際控制系統(tǒng)的設(shè)計與開發(fā)來說是十分不利的。因此必須將狀態(tài)變量之間的耦合解除，將多變量耦合系統(tǒng)變成多個單變量系統(tǒng)來進(jìn)行控制系統(tǒng)的設(shè)計。

針對傳統(tǒng)的頻域分析和狀態(tài)方程理論，分別有不同的解耦方法，但都有不同程度的局限：逆奈氏陣列法（INA法）的魯棒性受■（s）的對稱性影響，而且在理論層面上并不能保證系統(tǒng)閉環(huán)傳函的解耦特性；基于頻域分析的特征軌跡法有理論支撐，但對于實(shí)際設(shè)計中常常需要對補(bǔ)償器KS進(jìn)行近似，控制效果往往不如INA法；基于特征軌跡法的并矢展開法雖然解決了KS難以實(shí)現(xiàn)的問題，但要求對象能夠進(jìn)行并矢分解；序列回差法和奇異值分解法也有其相應(yīng)的局限。

基于狀態(tài)空間模型的狀態(tài)變量反饋解耦有極其優(yōu)良的解耦控制效果，其推導(dǎo)與證明參見文獻(xiàn)1。但由于實(shí)際狀態(tài)變量的測量存在困難，而且現(xiàn)有的解耦控制也都存在種種缺陷，因此本文提出了基于觀測器反饋的狀態(tài)變量進(jìn)行解耦控制的思路，并在理論分析和實(shí)例應(yīng)用中給出滿意結(jié)論。

1 觀測器反饋解耦系統(tǒng)設(shè)計

1.1 狀態(tài)觀測器

狀態(tài)觀測器由設(shè)計目的的不同分為全維觀測器[2]（全部狀態(tài)變量可觀測）與降維觀測器，降維觀測器可以不用觀測作為輸出的狀態(tài)變量。由于實(shí)際系統(tǒng)中可以選取不同的狀態(tài)變量作為輸出，為了提高系統(tǒng)的適應(yīng)性，采用全維觀測器。

全維觀測器系統(tǒng)狀態(tài)方程：

■'=A■+Bu■=C■

原系統(tǒng)狀態(tài)方程：

x'=Ax+Buy=Cx

求解上述方程組：得到觀測器的狀態(tài)變量的解析解：

■=（A-GC）■+Bu+Gyy=C■

狀態(tài)估計誤差：x-■

狀態(tài)估計誤差的解：x（t）=e（A-GC）x（0）=e（A-GC）[x（0）-■（0）]

當(dāng)狀態(tài)觀測器的系統(tǒng)矩陣A=GC的所有特征值位于s平面的左半開平面，即具有負(fù)實(shí)部，則無論初態(tài)是否相等，狀態(tài)估計誤差x-■將隨時間t的增大趨于無窮小而衰減至零，觀測器為漸近穩(wěn)定的[2]。

1.2 驗證能觀性

能觀性是系統(tǒng)的狀態(tài)變量能否被完全觀測的表述，根據(jù)線性系統(tǒng)理論，判斷一個系統(tǒng)是否完全能觀測取決于系統(tǒng)的能觀測矩陣Qc的秩是否等于系統(tǒng)的階次。當(dāng)能觀測矩陣的秩等于系統(tǒng)的階次時，系統(tǒng)就是完全能觀測的，即所有的狀態(tài)變量均可以被觀測到，而不受限于狀態(tài)變量的選取與實(shí)際情況。

1.3 確定觀測器極點(diǎn)

由于線性系統(tǒng)的輸出響應(yīng)取決于系統(tǒng)矩陣的特征值，當(dāng)特征值位于左半s平面時系統(tǒng)輸出穩(wěn)定，而左半平面極點(diǎn)距離虛軸的位置決定了輸出響應(yīng)的速度及動態(tài)特性。

由公式4可知，觀測器系統(tǒng)的觀測誤差取決于觀測系統(tǒng)的極點(diǎn)，而我們知道系統(tǒng)的極點(diǎn)就是系統(tǒng)矩陣A-GC的特征根。所以，配置觀測器系統(tǒng)的特征根（極點(diǎn)配置）就可以決定觀測誤差趨近于0的速度，以便更好地設(shè)計控制系統(tǒng)。

觀測器的極點(diǎn)的具體配置可以根據(jù)系統(tǒng)的控制要求進(jìn)行設(shè)計。

1.4 觀測器狀態(tài)變量反饋解耦

觀測器狀態(tài)反饋解耦與實(shí)際狀態(tài)反饋解耦的設(shè)計思路是一致的，但由于反饋點(diǎn)的變化，導(dǎo)致了理論分析與反饋矩陣計算的變化。

原系統(tǒng)狀態(tài)方程：

■=Ax+B（V-K■）y=Cx

觀測器狀態(tài)方程：

■=A■-E（■-y）+Buy=■

聯(lián)立上述兩個方程組

可得原系統(tǒng)經(jīng)觀測變量反饋重構(gòu)的系統(tǒng)：

■=Ax-BK∫（ECx-Bu-A■+EC■）dt+BVy=Cx

可見，利用觀測器解耦的狀態(tài)方程的系統(tǒng)矩陣是一個包含積分上限為當(dāng)前時間的系數(shù)矩陣，其參數(shù)隨時間變化，即狀態(tài)變量的轉(zhuǎn)移和時間有關(guān)，是一個線性時變反饋解耦系統(tǒng)。

反饋解耦效果取決于反饋解耦矩陣K的精度以及觀測器的狀態(tài)估計誤差。

由于前文已述，估計誤差取決于觀測器系統(tǒng)的極點(diǎn)，當(dāng)觀測極點(diǎn)配置合適，便可得到滿意的狀態(tài)變量的觀測值，其觀測的精確度隨時間增大。所以，在此依然采用實(shí)際狀態(tài)變量解耦反饋矩陣的計算方式，但反饋?zhàn)兞繛橛^測器的狀態(tài)變量時，由于觀測變量誤差逐漸趨近于零，因此基于觀測器的解耦也會趨于完全解耦，也是一個漸進(jìn)的過程，解耦誤差同樣預(yù)決于觀測器系統(tǒng)的系數(shù)矩陣A-GC

2 AIRC實(shí)例分析

AIRC模型是典型的強(qiáng)耦合系統(tǒng)，基于以上理論分析，構(gòu)建解耦系統(tǒng)進(jìn)行MATLAB實(shí)例分析。

系統(tǒng)狀態(tài)空間模型：

A=

表1

B=

表2

C=I5×5D=05×3

由于實(shí)際系統(tǒng)要根據(jù)實(shí)際要求確定觀測器極點(diǎn)，所以在此假設(shè)極點(diǎn)分別為：

P=-1，-2，-3，-4，-5

計算觀測矩陣G

狀態(tài)反饋矩陣K

前置補(bǔ)償矩陣T

解耦控制前后對比：

可以看到解耦后輸入輸出之間的耦合消失。

【參考文獻(xiàn)】

[1]薛定宇.計算機(jī)控制系統(tǒng)仿真[M].2014年.

[2]譚嗣瀛.現(xiàn)代控制理論[M].2012年.

[責(zé)任編輯：朱麗娜]