陳曉艷

摘 要： 線性代數(shù)是碩士研究生入學(xué)考試《高等數(shù)學(xué)》科目的必考內(nèi)容之一，概念抽象，性質(zhì)，結(jié)論眾多，考生在復(fù)習(xí)過程中不易把握，本文以思維導(dǎo)圖為工具，從線性代數(shù)的核心概念——矩陣的可交換性入手，分析相關(guān)的考研試題，繪制出導(dǎo)圖，得到本類問題的本質(zhì)特征，進(jìn)而指出思維導(dǎo)圖對(duì)于學(xué)生形成自己的學(xué)習(xí)模塊有輔助作用。

關(guān)鍵詞： 思維導(dǎo)圖 線性代數(shù) 可交換矩陣一、引言

思維導(dǎo)圖（Mind Mapping）是英國Tony Buzan在20世記70年代初期所創(chuàng)的一種使人類更有效地利用大腦的筆記方法，是一種將放射性思考具體化的方法，它能幫助我們進(jìn)行思考、理清思路。在我們不清楚問題、概念之間的關(guān)系時(shí)，從其中的一個(gè)問題或概念入手，利用思維導(dǎo)圖可以把頭腦中的信息聯(lián)系起來，形成可視化的圖表，從而使問題空間呈現(xiàn)可視化效果，以便深入了解這個(gè)問題，同時(shí)也加深對(duì)問題空間的認(rèn)識(shí)[1][2]。

線性代數(shù)是碩士研究生入學(xué)考試高等數(shù)學(xué)科目的必考內(nèi)容之一，在復(fù)習(xí)過程中，學(xué)生時(shí)常感到概念多、性質(zhì)多，同時(shí)在做題的時(shí)候感到似曾相識(shí)卻無從下筆。其實(shí)線性代數(shù)是一個(gè)整體的體系，如果我們在復(fù)習(xí)的時(shí)候有意識(shí)引入思維導(dǎo)圖，就可以幫助我們把其中相關(guān)的模塊聯(lián)系起來，進(jìn)而找到它們的關(guān)系，從整體上把握它們。

二、實(shí)例構(gòu)建導(dǎo)圖

下面我們就以矩陣中的一個(gè)小結(jié)論入手，看看思維導(dǎo)圖能幫助我們獲得什么。

我們從矩陣中的可交換矩陣入手，之所以選擇它，是因?yàn)槭紫染仃囀蔷€性代數(shù)里的一個(gè)核心概念，它和線性變換是不同形式下的同一事物，其次矩陣的乘積一般不滿足交換律，但是當(dāng)它滿足交換律后，便帶來了很多好的結(jié)論，因此是考研題型的熱點(diǎn)之一。

我們收集了涉及可交換矩陣的考研試題，部分有代表性的如下：

（1）證明：設(shè)若n階方陣A、B滿足A+B=AB，則A、B可交換；（2）證明：若A，B為n階方陣，滿足AB=BA，則A，B有公共的特征向量；（3）證明：若A，B為n階方陣，滿足AB=BA，則存在n階可逆陣T使得：

（4）若A，B為n階可對(duì)角化方陣（也可說它們的初等因子皆為一次的），滿足AB=BA，則存在n階可逆陣T使得A，B可同時(shí)對(duì)角化。（5）若A，B為n階實(shí)對(duì)稱陣，則AB=BA的充要條件是存在n階正交陣T使得A，B可同時(shí)對(duì)角化。

我們在分析以上各題的解題思路基礎(chǔ)上，以mind manager為工具，最終繪制導(dǎo)圖如下：

從下圖可以看出：

1.作為第一優(yōu)先級(jí)級(jí)的是可交換矩陣和可交換線性變換，也即我們這里列出的所有有關(guān)可交換矩陣的概念和結(jié)論，在可交換線性變換中同樣適用。

2.作為第二級(jí)的有概念、性質(zhì)

（1）概念

A，B可交換的概念有兩個(gè)，第一個(gè)是顯概念，也即一般的教科書上給的定義，我們遇到的題目（我們把它歸到第三級(jí)）一般是已知一個(gè)低階矩陣，要求可與它相交換的矩陣的集合，其中需要用到矩陣乘積、相等，解線性方程組等知識(shí)點(diǎn)。

第二個(gè)概念是一類考研題，我們把它稱為可交換矩陣的隱概念，也即當(dāng)滿足A±B=AB時(shí)，有AB=BA。要證明這個(gè)結(jié)論，需要用到可逆矩陣的定義（即AB=BA=I）。一般來說，考研試題中會(huì)把它作為一個(gè)條件，加入到一個(gè)大題中，其本質(zhì)是A，B滿足可交換性。

（2）性質(zhì)：當(dāng)A，B滿足可交換時(shí)，A，B中至少有一個(gè)相同的特征向量。

這是一個(gè)關(guān)鍵性質(zhì)，需要用到特征子空間和不變子空間的概念，也即A的屬于某個(gè)特征根的特征子空間V是B的不變子空間；

這個(gè)性質(zhì)可得到好的結(jié)論：存在可逆矩陣P，使得均為上（下）三角陣。其證明思路是從的這個(gè)特征子空間的基入手，構(gòu)建的基，利用數(shù)學(xué)歸納法可以證明。

3.考研熱點(diǎn)

考研試題中經(jīng)常出現(xiàn)的有關(guān)可交換矩陣的一類較難的試題是在第4級(jí)和第5級(jí)，但通過思維導(dǎo)圖會(huì)發(fā)現(xiàn)，它們的條件、形式雖然不同，但均需要利用A，B有相同的特征向量這一條件，但性質(zhì)中給出的是當(dāng)A，B滿足可交換時(shí)，A，B中至少有一個(gè)相同的特征向量，為了得到有完全相同的特征向量，需要加強(qiáng)條件：“A可對(duì)角化”。也即：

當(dāng)AB=BA，并滿足A可對(duì)角化時(shí)，B也可對(duì)角化，且A，B有相同的特征向量。這里需要用到的結(jié)論有：（1）當(dāng)A為對(duì)角陣，且AB=BA時(shí)，B也為對(duì)角陣；（2） 存在可逆陣P，使P為對(duì)角陣。

（1）當(dāng)有個(gè)互異的特征根時(shí)（有的考研題在這里也會(huì)設(shè)個(gè)套，即給出關(guān)于的特征多項(xiàng)式的根的特征： （f（λ），f′（λ）=1），顯然A可對(duì)角化，其結(jié)論有三個(gè)：

①A，B有相同的特征向量（其作成的列向量組即為矩陣P）；

②B也可對(duì)角化；

③B可表示為的多項(xiàng)式形式。

結(jié)論1、2 是A可對(duì)角化的兩個(gè)結(jié)論，第三個(gè)需要用到待定系數(shù)法，設(shè)出形式多項(xiàng)式，通過矩陣的相等，方程組的解結(jié)構(gòu)，行列式的性質(zhì)等證明。