楊德甘肅省卓尼縣柳林中學(xué)

關(guān)于雙曲線若干問題的探討

楊德
甘肅省卓尼縣柳林中學(xué)

雙曲線是圓錐曲線的重要內(nèi)容之一，也是高考的熱點(diǎn)問題，知識(shí)綜合程度較高，且易于發(fā)散，運(yùn)算復(fù)雜．此中不乏雙曲線的第二定義和焦點(diǎn)弦等問題，無疑，這類問題在啟迪學(xué)生思維，拓寬解題思路等諸多方面都有十分重要的作用，因而它在中學(xué)數(shù)學(xué)教材及各種復(fù)習(xí)資料中始終占有一席之地，針對(duì)雙曲線的第二定義、焦點(diǎn)弦等問題及其應(yīng)用，有必要作進(jìn)一步的探討和研究。

新課改；雙曲線；焦點(diǎn)弦；第二定義

1 引言

新的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)是在以學(xué)生發(fā)展為本的理念下，要求學(xué)生轉(zhuǎn)變學(xué)習(xí)方式，教師積極探索，轉(zhuǎn)變教與學(xué)觀念，加深對(duì)課本內(nèi)容的拓展理解和應(yīng)用。所以，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)善于引領(lǐng)學(xué)生對(duì)課本的一些重要問題進(jìn)行進(jìn)一步的探索與研究，以提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)與應(yīng)試能力。

2 雙曲線的兩個(gè)定義

定義1我們把平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)（小于F1F2）的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線．這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的焦距。

定義2平面上與一個(gè)定點(diǎn)（焦點(diǎn)F）的距離和一條定直線（準(zhǔn)線l）的距離的比等于常數(shù)e的點(diǎn)的軌跡，當(dāng)0＜e＜1時(shí)是橢圓;當(dāng)e＞1時(shí)是雙曲線;當(dāng)e=1時(shí)是拋物線。()

例1已知點(diǎn)P到定點(diǎn)F2c,0的距離和它到定直線l∶x=的距離比是常數(shù)(c＞a＞0)，求點(diǎn)P的軌跡。

解設(shè)P(x,y)根據(jù)題意得：

化簡(jiǎn)得

令c2-a2=b2，則上式可化為

由此得雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，這個(gè)雙曲線的離心率就是P到定點(diǎn)F2的距離和它到定直線l（F2不在l上）的距離比。

事實(shí)上，在由第一定義推導(dǎo)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，曾得到這樣一個(gè)式子：

令c2-a2=b2，則上式可化為：

如果對(duì)(1)式做如下處理

(3)式的幾何意義是∶

動(dòng)點(diǎn)Px,y到定點(diǎn)Fc,0的距離與P到定直線l∶x=的距離的比值是一個(gè)常數(shù)=e＞1(c＞a＞0)．這正好是雙曲線的第二定義，由此可見雙曲線的第一、二定義是相互包容的。

3 焦點(diǎn)弦問題

定義3經(jīng)過圓錐曲線焦點(diǎn)且被圓錐曲線截得的線段叫做焦點(diǎn)弦。

這是一個(gè)非常重要的幾何量，在歷次考試中出現(xiàn)頻率較大，且形式多樣。

過雙曲線焦點(diǎn)F且與該雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，傾斜角為α，則有

(1)當(dāng)直線l與雙曲線的兩個(gè)交點(diǎn)A，B在雙曲線的同支上時(shí)，

(2)當(dāng)直線l與雙曲線的兩個(gè)交點(diǎn)A，B在雙曲線的異支上時(shí)，

(3)當(dāng)直線l與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，

證明由對(duì)稱性，不妨設(shè)F為有焦點(diǎn)(c,0)

(1)由漸近線與弦AB斜率的關(guān)系知

(2)首先A，B在雙曲異支上時(shí)，由漸近線與弦AB斜率的關(guān)系知

(3)由于直線l與雙曲線有且只有一個(gè)交點(diǎn)，依題意則直線l與該雙曲線的漸近線平行，即

對(duì)焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線而言，也有上述性質(zhì)。

[1]陳炆.圓錐曲線統(tǒng)一定義與統(tǒng)一方程中若干問題釋疑[J].數(shù)學(xué)通訊，2010(12)∶10-12.

[2]巨鵬，孫月芳.圓錐曲線焦點(diǎn)弦長(zhǎng)的公式求法[J].內(nèi)江科技，2010(5)∶31-32.

[3]彭世金.圓錐曲線焦點(diǎn)弦長(zhǎng)的一個(gè)公式及應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)通訊，2007(22)∶22-23.

楊德，中學(xué)一級(jí)教師，現(xiàn)任甘肅省卓尼縣柳林中學(xué)政教處主任。