姜忻良, 韓 陽

(天津大學(xué) 建筑工程學(xué)院 濱海土木工程結(jié)構(gòu)與安全教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 天津 300072)

單層雙向偏心結(jié)構(gòu)振型影響參數(shù)推導(dǎo)分析

姜忻良, 韓 陽

(天津大學(xué) 建筑工程學(xué)院 濱海土木工程結(jié)構(gòu)與安全教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 天津 300072)

為了深入分析單層雙向偏心結(jié)構(gòu)平扭耦聯(lián)參數(shù)的影響規(guī)律，建立單層雙向偏心結(jié)構(gòu)(3自由度)的動(dòng)力方程，并采用數(shù)學(xué)領(lǐng)域中三次方程求解的盛金公式，推導(dǎo)出單層雙向偏心結(jié)構(gòu)的動(dòng)力特性顯式解析解。根據(jù)所得顯式解的形式及其對應(yīng)的判定條件，在合理范圍內(nèi)提取出不同于單向偏心體系的影響參數(shù)，分別為：相對偏心距、偏心角、主扭平頻率比以及次扭平頻率比。根據(jù)盛金公式推導(dǎo)所得的顯式解析解，總結(jié)出結(jié)構(gòu)的主要?jiǎng)恿μ匦灾笜?biāo)(頻率和振型)，進(jìn)而分析了每個(gè)參數(shù)對雙向偏心結(jié)構(gòu)的平扭耦聯(lián)特性的影響。結(jié)果表明，雙向偏心結(jié)構(gòu)平扭耦聯(lián)參數(shù)與單向偏心結(jié)構(gòu)有相似之處，但更為復(fù)雜，會(huì)涉及到主扭平頻率比與次扭平頻率比，且兩者影響程度也有明顯區(qū)別。

雙向偏心結(jié)構(gòu)；解析解；影響參數(shù)；偏心距；偏心角；扭平頻率比

隨著結(jié)構(gòu)的多樣化和復(fù)雜化發(fā)展，偏心結(jié)構(gòu)的動(dòng)力特性分析已經(jīng)成為結(jié)構(gòu)工程領(lǐng)域研究者的一個(gè)重要課題。不少專家學(xué)者在這方面取得了豐碩的成果[1]。早在20世紀(jì)80年代Hejal等[2]研究了偏心率e/r和平扭剛度比Ω對多層框架結(jié)構(gòu)扭轉(zhuǎn)反應(yīng)的影響，指出扭轉(zhuǎn)反應(yīng)隨偏心率的增大而增大，當(dāng)平扭剛度比接近1時(shí)平扭耦聯(lián)效應(yīng)最為明顯。

近些年來，不少學(xué)者在此基礎(chǔ)上對偏心結(jié)構(gòu)的動(dòng)力特性研究取得了一定的成就[3-9]。但是現(xiàn)在所取得的成果和所使用的理論依據(jù)仍然是以單向單層偏心體系(2自由度)為研究對象所得到的。有些研究雖然以雙向偏心結(jié)構(gòu)為研究對象，但是所使用的理論卻是由單向單層偏心公式所求得的。

我們不難想象，一個(gè)結(jié)構(gòu)在實(shí)際工程中很少是單向偏心的。隨著現(xiàn)代人類的文明進(jìn)步與審美提升，越來越多的復(fù)雜結(jié)構(gòu)拔地而起。當(dāng)今社會(huì)許多結(jié)構(gòu)都是雙向偏心結(jié)構(gòu)，因此應(yīng)該著眼于此，從理論上系統(tǒng)的推導(dǎo)雙向偏心體系的有關(guān)規(guī)律并進(jìn)行總結(jié)。

當(dāng)前動(dòng)力學(xué)所研究的理論公式基本都是基于1個(gè)或2個(gè)自由度的體系，因?yàn)檫x取這樣的研究對象能夠很好的使用現(xiàn)有的數(shù)學(xué)理論，將結(jié)構(gòu)的頻率和振型的解析解推導(dǎo)出來。得到含有各個(gè)參數(shù)的解析解后，我們可以容易地分析出結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)中的各影響參數(shù)以及它們各自的影響程度。

研究三個(gè)自由度的體系時(shí)，當(dāng)今動(dòng)力學(xué)類科學(xué)刊物以及相關(guān)論文大量采用例算法，即自定義一結(jié)構(gòu)，進(jìn)行模擬計(jì)算，從而得到所需結(jié)論。但是運(yùn)用這種方法很難從理論上進(jìn)行參數(shù)化分析，只能通過大量的算例來進(jìn)行說明，尚無清晰的理論依據(jù)，或者僅能從兩個(gè)自由度算例的結(jié)論中尋求解釋。同時(shí)，由于算例的局限性，可能某一系列算例并不能反應(yīng)所有參數(shù)可能的變化情況。

同時(shí)還應(yīng)注意，平扭耦聯(lián)特性主要受到結(jié)構(gòu)自身動(dòng)力特性影響，而這種影響應(yīng)該分為兩個(gè)部分。一部分是結(jié)構(gòu)各振型之間的耦聯(lián)；另一部分是結(jié)構(gòu)某個(gè)基本振型內(nèi)各位移分量之間的耦聯(lián)。以往的分析經(jīng)常忽視這一方面的歸納，即使得到正確的結(jié)論也可能闡述的不夠明確。如果能求出結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性的解析解，勢必會(huì)使這一部分的分析更加清晰明了，因此求解單層雙向偏心結(jié)構(gòu)的動(dòng)力特性解析解十分重要。

為了更加系統(tǒng)地分析雙向偏心結(jié)構(gòu)(三自由度體系)的動(dòng)力參數(shù)影響，求解此體系的解析解表達(dá)式便是重點(diǎn)。本文將動(dòng)力學(xué)基本方程與數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的盛金公式結(jié)合起來，推導(dǎo)結(jié)構(gòu)頻率與振型的解析解公式，從而更加系統(tǒng)明確的分析此體系的動(dòng)力影響參數(shù)，并為以后分析多層雙向偏心體系做準(zhǔn)備。

1 單層雙向偏心體系運(yùn)動(dòng)方程推導(dǎo)

圖1為一單層雙向偏心簡化模型的平面示意圖，靜力偏心距為δ，偏心角為α(此處定義為質(zhì)心與剛心連線與笛卡爾坐標(biāo)系下的X軸夾角)?？箓?cè)力構(gòu)件的剛度在兩個(gè)方向分別設(shè)為為kx和ky。

圖1 單層雙向偏心簡化模型的平面示意圖

在不考慮阻尼的條件下，結(jié)構(gòu)的動(dòng)力方程為：

(1)

式中：j=m*r2,r為轉(zhuǎn)動(dòng)半徑；當(dāng)自由振動(dòng)時(shí)P=0，兩邊除以m，最后一行除以r，可導(dǎo)出下式：

(2)

(3)

設(shè)每一階振型的平動(dòng)與轉(zhuǎn)動(dòng)位移可以由以下形式表示：

ux=Xsin(ωt+φ)

uy=Ysin(ωt+φ)

uθ=Θsin(ωt+φ)

(4)

代入上式中整理得

(5)

提取左邊矩陣第一行和右邊矩陣進(jìn)行運(yùn)算得：

(6)

解得:

(7)

提取左邊矩陣第二行和右邊矩陣進(jìn)行運(yùn)算得：

(8)

解得:

(9)

聯(lián)立可得:

(10)

此處X代表結(jié)構(gòu)X向的平動(dòng)位移，Y代表結(jié)構(gòu)Y向的平動(dòng)位移，rΘ代表結(jié)構(gòu)由于扭轉(zhuǎn)產(chǎn)生的扭轉(zhuǎn)位移。這樣表述，可以使三種位移的量綱統(tǒng)一為長度單位，尤其是對分析扭轉(zhuǎn)效應(yīng)而言，能夠更明確地在同量綱下分析各種位移的反應(yīng)規(guī)律。

根據(jù)上式可以看出，結(jié)構(gòu)的自身動(dòng)力特性與結(jié)構(gòu)的相對靜力偏心距B，結(jié)構(gòu)偏心角α，結(jié)構(gòu)X向、Y向平動(dòng)頻率ωx、ωy以及結(jié)構(gòu)的頻率ω有關(guān)。其中結(jié)構(gòu)的頻率是未知量，其余均為已知量，如果能夠通過顯式求解出結(jié)構(gòu)的頻率可以更好的進(jìn)行接下來的分析工作。

求解結(jié)構(gòu)的頻率ω如下：

(11)

整理得到：

(12)

展開得到：

W3+(-Wx-Wy-Wθ)W2+(WxWθ+WxWy+WyWθ-

(13)

則上述方程可化為ax3+bx2+cx+d=0的方程形式，根據(jù)盛金定理，該方程有解析解，解法如下：

若方程為：ax3+bx2+cx+d=0，

則重根判別式為：Δ=B2-4AC

當(dāng)A=B=0時(shí)，方程有一個(gè)三重實(shí)根；

當(dāng)Δ>0時(shí)，方程有一個(gè)實(shí)根和一對共軛虛根；

當(dāng)Δ=0時(shí)，方程有三個(gè)實(shí)根，其中有一個(gè)二重根；

當(dāng)Δ<0時(shí)，方程有三個(gè)不相等的實(shí)根。

根據(jù)本研究的物理意義，模型的三階頻率必為三個(gè)不相等的實(shí)根或有二重根的三個(gè)實(shí)根。因此Δ必定小于0或等于0。

當(dāng)Δ=B2-4AC<0時(shí)，根據(jù)盛金公式，方程的解為：

(14)

由于等號右邊的參數(shù)均由已知量B，α，ωx，ωy和ωθ組成，將各參數(shù)代入式(14)，便可得出精確解。

當(dāng)Δ=B2-4AC=0時(shí)，根據(jù)盛金公式，方程的解為：

(15)

由于等號右邊的參數(shù)均由已知量B，α，ωx，ωy和ωθ組成，將各參數(shù)代入式(15)，便可得出精確解。

值得注意的是，由于只有雙向剛度偏心相等的少數(shù)特定結(jié)構(gòu)有兩階相等的頻率，大部分結(jié)構(gòu)的三階頻率均不相等，有二重根的情況可以看成是特例，不是本文的重點(diǎn)討論內(nèi)容，以下的內(nèi)容將以三個(gè)不相等實(shí)根的例子為研究對象。

根據(jù)上述公式可以看出，最終求解出的x1、x2、x3中均包含系數(shù)a，b，c，d。而x1、x2、x3的值分別代表結(jié)構(gòu)各階頻率ω1，ω2，ω3的平方；系數(shù)a，b，c，d包含結(jié)構(gòu)的相對靜力偏心距B，結(jié)構(gòu)偏心角α，結(jié)構(gòu)X向、Y向平動(dòng)頻率ωx，ωy和結(jié)構(gòu)扭轉(zhuǎn)頻率ωθ，也就是說影響結(jié)構(gòu)每一階自身頻率的影響參數(shù)為：B，α，ωx，ωy和ωθ。

上述內(nèi)容求出了顯式解析解，可以采取改變單一參數(shù)而其它參數(shù)不變的方法，進(jìn)一步分析某一參數(shù)的具體影響。這樣分析與以往應(yīng)用算例方法分析相比更加合理，擺脫了模型的束縛，能夠保證排除其他參數(shù)改變造成的影響，從而對某一影響參數(shù)的改變進(jìn)行數(shù)據(jù)分析。

2 單層雙向偏心體系公式推導(dǎo)解的驗(yàn)證

為了驗(yàn)證上述公式的正確性，使用頻率方程試算法對單層雙向偏心算例進(jìn)行求解，得到模型的三階頻率值，并與本文所推導(dǎo)的計(jì)算公式求出的解進(jìn)行比較，分析本文所推導(dǎo)的原理是否準(zhǔn)確有效。

以一單層簡單框架為例，結(jié)構(gòu)平面圖如圖2所示。選取結(jié)構(gòu)平面尺寸為6 m×6 m。層高3.6 m，樓板厚100 mm。梁截面為400 mm×300 mm，1至3號柱截面尺寸為300 mm×300 mm，4號柱尺寸400 mm×350 mm，結(jié)構(gòu)存在剛度偏心。樓板混凝土為C30、梁柱混凝土為C40?；炷敛捎肦usch模型?；钶d3 kN/m2。根據(jù)《建筑抗震設(shè)計(jì)規(guī)范》(GB 50011—2010)[10]，計(jì)算地震作用時(shí)，活載的組合值系數(shù)取0.5。

圖2 模型平面圖(mm)

按照本文提出的公式方法與頻率方程方法得到頻率對比，如表1所示。

表1 計(jì)算頻率值對比表

為了更好的分析各個(gè)參數(shù)對結(jié)構(gòu)的影響，下文將采取變化單一參數(shù)的方法，對結(jié)構(gòu)的頻率和振型變化進(jìn)行分析。

3 影響參數(shù)分析

本文運(yùn)用盛金公式，根據(jù)單層雙向偏心結(jié)構(gòu)的動(dòng)力方程求解出顯式解析解，進(jìn)而提取出各動(dòng)力影響參數(shù)，因此可以不受模型的約束，進(jìn)行各影響參數(shù)的獨(dú)立調(diào)整，以便得到能反映各參數(shù)獨(dú)自的影響規(guī)律。本文的方法可以在實(shí)際工程存在的范圍內(nèi)，直接分析各參數(shù)的影響規(guī)律，適用于任何單層雙向偏心體系。

平扭耦聯(lián)反應(yīng)主要分為不同振型之間的耦聯(lián)以及振型自身內(nèi)各分量的耦聯(lián)，以下分析將從這兩部分入手。為了方便觀察，根據(jù)振型的特點(diǎn)，將扭轉(zhuǎn)分量幅值定為1，其他幅值進(jìn)行歸一化處理。這里值得注意的是，本文求出的顯式解中涉及到偏心角α的項(xiàng)均為sin2α和cos2α，也就是說僅研究0°≤α≤90°范圍內(nèi)(即第一象限)即可，其余范圍的偏心角均可按照三角函數(shù)平方的對應(yīng)關(guān)系直接參照第一象限的結(jié)果得出。例如：α取30°的結(jié)果等于α取150°、210°和330°的結(jié)果。

3.1 相對偏心距B的影響

分析中，以相對偏心距B為變量，其他參數(shù)為常量。因此可以隨機(jī)設(shè)定其他影響參數(shù)Wx=100，Wy=110，Wθ=120，α=36°(以第一象限為例，其他象限同理)。當(dāng)B取合理范圍0.1～1時(shí)可得曲線，如圖3所示。

圖3 各階頻率隨相對偏心距的變化

由圖3可以看出，隨著結(jié)構(gòu)相對偏心距的增加，結(jié)構(gòu)的一階頻率逐漸降低，二階頻率基本保持不變，三階頻率則呈現(xiàn)上升的趨勢。這說明隨著偏心距的增加，結(jié)構(gòu)各振型之間的耦聯(lián)效應(yīng)是降低的。

由圖4～圖6可看出，相對偏心距的改變影響結(jié)構(gòu)的振型形式。隨著相對偏心距的增大，圖4中結(jié)構(gòu)第一振型逐漸由平動(dòng)為主發(fā)展為扭轉(zhuǎn)為主，而圖5中二階振型的雙向平動(dòng)分量逐漸增加，扭轉(zhuǎn)分量逐漸降低，圖6中三階振型保持扭轉(zhuǎn)為主，而雙向平動(dòng)分量略有提高。在通常條件下，結(jié)構(gòu)的動(dòng)力反應(yīng)以一階振型為主時(shí)，結(jié)構(gòu)的扭轉(zhuǎn)效應(yīng)隨著偏心距的增大而不斷提升。

圖4 一階振型隨相對偏心距的變化

圖5 二階振型隨相對偏心距的變化

圖6 三階振型隨相對偏心距的變化

偏心距增加的過程中，各振型間的耦聯(lián)效應(yīng)降低，但其基本振型(一階振型)的扭轉(zhuǎn)分量幅值所占比重逐漸增加。從圖4中我們可以看出，隨著偏心距在0.1～1的范圍逐漸增加，三個(gè)振型耦聯(lián)效應(yīng)逐漸減弱，動(dòng)力反應(yīng)中第一振型的影響越來越重要，且第一振型中的扭轉(zhuǎn)幅值所占比重也越來越大。因此，結(jié)構(gòu)的扭轉(zhuǎn)反應(yīng)隨著相對偏心距B的增加而增加。

3.2 偏心角的影響

分析中，以偏心角α為變量，其他參數(shù)為常量。因此可以隨機(jī)設(shè)定Wx=100，Wy=110，Wθ=120，B=0.2。當(dāng)α按第一象限(二、三、四象限同理)合理范圍0°～90°取值時(shí)時(shí)可以得到如下曲線：

圖7 各階頻率隨偏心角的變化

圖8 一階振型隨偏心角的變化

圖9 二階振型隨偏心角的變化

圖10 三階振型隨偏心角的變化

由圖7可知，隨著偏心角的增大，雖然結(jié)構(gòu)各階頻率逐漸變化，但是變化程度較小。在偏心角較小時(shí)，二階頻率與一階頻率接近；隨著偏心角的增大，二階頻率逐漸遠(yuǎn)離第一階頻率發(fā)展為與三階頻率接近，一頻率逐漸占據(jù)主要影響地位。三個(gè)自振頻率變化程度與相對偏心距分析時(shí)要小，這說明偏心角對不同振型之間的耦聯(lián)關(guān)系有一定影響，但程度小于相對偏心距。

從圖8～圖10可以看出，偏心角的變化對X向平動(dòng)分量與Y向平動(dòng)分量的影響遠(yuǎn)大于對扭轉(zhuǎn)分量的影響。從圖7可知，第一振型的影響隨著偏心角增大而逐漸提升。從圖8中看出，影響最大的一階振型隨著偏心角的增加，X向平動(dòng)逐漸減小，Y向平動(dòng)逐漸增加，說明偏心角影響著結(jié)構(gòu)動(dòng)力反應(yīng)中的不利方向。當(dāng)偏心角取30°左右時(shí)，X向平動(dòng)、Y向平動(dòng)和扭轉(zhuǎn)幅值最為接近，此情況下結(jié)構(gòu)振型內(nèi)的平扭耦聯(lián)效應(yīng)最強(qiáng)。要注意的是，這個(gè)范圍有可能會(huì)伴隨其他參數(shù)的變化而發(fā)生變化，但是偏心角與扭轉(zhuǎn)反應(yīng)關(guān)系的變化趨勢是不變的，即隨著偏心角由0°增加至90°(以第一象限為例，其他同理)，結(jié)構(gòu)各振型的自身平扭耦聯(lián)效應(yīng)呈現(xiàn)先增強(qiáng)后減弱的特征。

3.3 頻率比的影響

單層雙向偏心結(jié)構(gòu)的平扭耦聯(lián)動(dòng)力特性受三個(gè)固有頻率ωx、ωy和ωθ的影響。根據(jù)本文運(yùn)用盛金公式求得顯式解的推導(dǎo)部分可知，頻率之間的關(guān)系會(huì)影響結(jié)構(gòu)的動(dòng)力特性。現(xiàn)定義主扭平頻率比和次扭平頻率比如下。

3.3.1 主扭平頻率比分析

根據(jù)上述定義，我們可以更簡便的對結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性進(jìn)行參數(shù)分析。選取偏心角α=45°，相對偏心距B=0.2，設(shè)X向抗側(cè)剛度小于Y向。當(dāng)主扭平頻率比在0.9～1.4變化，次扭平頻率比保持0.8不變時(shí)，結(jié)構(gòu)的三階頻率變化，如圖11所示。

圖11 各階頻率隨Ω1的變化(Ω2=0.8)

由圖11可知，隨著主扭平頻率比的增大，結(jié)構(gòu)的一階頻率和二階頻率呈逐漸下降的趨勢，三階頻率基本不變?？傮w而言，一、二階頻率較為接近，但一階頻率下降程度比二階頻率要大。也就是說，隨著主扭平頻率比的增大，結(jié)構(gòu)按一階振型進(jìn)行動(dòng)力反應(yīng)的程度要大于二、三階振型。隨著主扭平頻率比增大，結(jié)構(gòu)的動(dòng)力反應(yīng)逐漸以一階振型為主。

根據(jù)圖12～圖14可知，結(jié)構(gòu)一階振型由扭轉(zhuǎn)為主逐漸發(fā)展為X向平動(dòng)為主、二階振型由X向平動(dòng)為主發(fā)展為扭轉(zhuǎn)為主、三階振型保持Y向平動(dòng)為主。由圖12可知，結(jié)構(gòu)主扭平頻率比在1附近取值時(shí)，一階振型扭轉(zhuǎn)幅值和平動(dòng)幅值很接近，這使得結(jié)構(gòu)會(huì)發(fā)生較強(qiáng)的平扭耦聯(lián)效應(yīng)，扭轉(zhuǎn)效應(yīng)明顯；當(dāng)Ω1>1時(shí)，該方向平動(dòng)分量顯著增加，遠(yuǎn)大于扭轉(zhuǎn)分量，振型內(nèi)的扭轉(zhuǎn)效應(yīng)減弱。

圖12 一階振型隨Ω1的變化(Ω2=0.8)

圖13 二階振型隨Ω1的變化(Ω2=0.8)

3.3.2 次扭平頻率比分析

接下來我們分析次扭平頻率比對結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性的影響。偏心角選取α=45°，相對偏心距B=0.2，設(shè)X向抗側(cè)剛度小于Y向。當(dāng)主扭平頻率比為1.2，次扭平頻率比在0.6～1.1范圍內(nèi)變化時(shí)，結(jié)構(gòu)三階頻率，如圖15～18所示。

圖15 各階頻率隨Ω2的變化(Ω1=1.2)

根據(jù)圖15可以看出，次扭平頻率比從0.6增大至0.9的過程中，結(jié)構(gòu)一、二階頻率基本沒有變化，一階頻率明顯大于二、三階頻率，結(jié)構(gòu)反應(yīng)以一階振型為主；隨著次扭平頻率比從0.9增大至1的過程中，結(jié)構(gòu)各階頻率有所逼近；大于1之后，一二階頻率明顯出現(xiàn)接近的趨勢，三階頻率有所遠(yuǎn)離，說明次扭平頻率比大于1之后，一二階振型的耦聯(lián)效應(yīng)將有所增加。由圖16～圖18可以看出，結(jié)構(gòu)一階振型以X向平動(dòng)為主，并未隨Ω2的增大而改變；二階振型隨Ω2的增加由扭轉(zhuǎn)為主轉(zhuǎn)為Y向平動(dòng)為主；三階頻率由Y向平動(dòng)為主轉(zhuǎn)為扭轉(zhuǎn)為主。在Ω2取0.6～1范圍時(shí)，結(jié)構(gòu)的反應(yīng)以一階振型為主時(shí)，平動(dòng)的幅值反應(yīng)明顯大于扭轉(zhuǎn)，次扭平頻率比的變化對結(jié)構(gòu)的平扭耦聯(lián)效應(yīng)影響較??；隨著Ω2的取值大于1之后，二階頻率逐漸接近一階頻率，二階振型的影響逐漸顯現(xiàn)。但由圖17可知，當(dāng)Ω2的取值大于1時(shí)，平動(dòng)幅值大于扭轉(zhuǎn)幅值，二階振型轉(zhuǎn)為平動(dòng)為主。因此，次扭平頻率比對結(jié)構(gòu)扭轉(zhuǎn)的影響要遠(yuǎn)小于主扭平頻率比。

圖16 一階振型隨Ω2的變化(Ω1=1.2)

圖17 二階振型隨Ω2的變化(Ω1=1.2)

圖18 三階振型隨Ω2的變化(Ω1=1.2)

4 結(jié) 論

本文根據(jù)盛金公式對單層雙向偏心結(jié)構(gòu)的動(dòng)力方程進(jìn)行求解，得到了顯式解析解，并據(jù)此提取了單層雙向偏心結(jié)構(gòu)平扭耦聯(lián)動(dòng)力特性的影響參數(shù)，分別為：相對偏心距B、偏心角α以及三個(gè)非耦聯(lián)頻率ωx、ωy和ωθ共五種參數(shù)。根據(jù)解析解的形式，在其它參數(shù)不變的條件下改變某一參數(shù)的取值，研究其對結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性的影響如下：

(1) 在偏心距增加的過程中，各振型之間的耦聯(lián)效應(yīng)呈降低的趨勢，但其基本振型中扭轉(zhuǎn)分量幅值占的比重卻逐漸增加。隨著偏心距在0.1～1范圍增加時(shí)，三個(gè)振型耦聯(lián)效應(yīng)越來越低，即動(dòng)力反應(yīng)中第一振型越來越占主要地位，且第一振型中的扭轉(zhuǎn)幅值所占比重越來越大。因此，結(jié)構(gòu)的扭轉(zhuǎn)效應(yīng)隨著相對偏心距的增加而增加。

(2) 隨著偏心角的增大，結(jié)構(gòu)各階頻率值變化程度較小，這說明偏心角對不同振型之間的耦聯(lián)程度有一定影響，但是影響程度不如相對偏心距大。隨著偏心角的增加，一階振型的X向平動(dòng)逐漸減小，Y向平動(dòng)逐漸增加，說明偏心角也影響著結(jié)構(gòu)不利方向的動(dòng)力反應(yīng)。隨著偏心角由0°增加至90°，結(jié)構(gòu)各振型的自身平扭耦聯(lián)效應(yīng)呈現(xiàn)先增強(qiáng)后減弱的特征。

(3) 隨著主扭平頻率比的增大，結(jié)構(gòu)按一階振型進(jìn)行動(dòng)力反應(yīng)的程度逐漸大于二、三階振型，結(jié)構(gòu)的動(dòng)力反應(yīng)逐漸以一階振型為主。同時(shí)，結(jié)構(gòu)一階振型由扭轉(zhuǎn)為主逐漸發(fā)展為X向平動(dòng)為主。當(dāng)結(jié)構(gòu)主扭平頻率比Ω1在1附近取值時(shí)，一階振型扭轉(zhuǎn)幅值和平動(dòng)幅值較為接近，使結(jié)構(gòu)發(fā)生較強(qiáng)的平扭耦聯(lián)反應(yīng)，扭轉(zhuǎn)效應(yīng)明顯。當(dāng)Ω1>1時(shí)，主方向的平動(dòng)分量顯著增加，遠(yuǎn)大于扭轉(zhuǎn)分量，振型內(nèi)的扭轉(zhuǎn)效應(yīng)減弱。

(4) 在次扭平頻率比增大的過程中，結(jié)構(gòu)一、二階頻率的變化較小，且一階頻率值明顯大于二、三階頻率值，結(jié)構(gòu)反應(yīng)以一階振型為主。結(jié)構(gòu)一階振型以X向平動(dòng)為主，并未隨Ω2的增加而明顯改變。在Ω2變化時(shí)，結(jié)構(gòu)的一階振型始終以平動(dòng)為主，次扭平頻率比的變化對結(jié)構(gòu)平扭耦聯(lián)效應(yīng)的影響較小。因此，次扭平頻率比對結(jié)構(gòu)扭轉(zhuǎn)的影響要遠(yuǎn)小于主扭平頻率比。

[1] 梁莉軍,黃宗明,楊溥. 各國規(guī)范關(guān)于結(jié)構(gòu)地震下抗扭設(shè)計(jì)方法的對比[J].重慶建筑大學(xué)學(xué)報(bào)，2002，24(2)：52-56.

LIANG Lijun, HUANG Zongming, YANG Pu. The comparison of codes about the method of anti-torsion design under the earthquake[J]. Journal of Chongqing Jianzhu University, 2002，24(2)：52-56.

[2] HEJAL R, CHOPRA A K. Earthquake response of torsionally coupled frame buildings[J].Journal of Structural Engineering,1989,115(4):834-851.

[3] TENA-COLUNGA A, ZAMBRANA-ROJAS C. Dynamic torsional amplifications of base-isolated structures with an eccentric isolation system[J]. Engineering Structures, 2006，28：72-83.

[4] TENA-COLUNGA A, ESCAMILLA-CRUZ J L. Torsional amplifiations in asymmetric base-isolated structures[J]. Engineering Structures, 2007，29：237-247.

[5] THAMBIRATNAM K. Simplified procedure for seismic analysis of asymmetric Buildings[J].Computer & Structures,2001, 79:2833-2845.

[6] PETROVCIC K, SILIH K. Seismic analysis of an asymmetric fixed base and base-isolated high-rack steel structure[J]. Engineering Structures, 2011，33：3471-3482.

[7] 鄔瑞鋒,蔡賢輝,曲乃泗. 多層及高層房屋扭轉(zhuǎn)耦聯(lián)彈塑性地震反應(yīng)的研究[J].大連理工大學(xué)學(xué)報(bào), 1999,39(4):471-477.

WU Ruifeng, CAI Xianhui, QU Naisi. Study on inelastic torsional coupled seismic response of multistory and high rise buildings[J]. Journal of Dalian University of Technology, 1999,39(4):471-477.

[8] 戴君武, 張敏政. 偏心結(jié)構(gòu)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)研究中幾個(gè)基本參量的討論[J]. 地震工程與工程震動(dòng), 2002，22(6)：38-43.

DAI Junwu, ZHANG Minzheng. Discussion on several basic parameters in study of seismic torsional effects of asymmetric structures[J]. Earthquake Engineering and Engineering Vibration, 2002，22(6)：38-43.

[9] KYRKOS M T, ANAGNOSTOPOULOS S A. Improved earthquake resistant design of eccentric steel buildings[J]. Soil Dynamics and Earthquake Engineering, 2013，47：144-156.

[10] 建筑抗震設(shè)計(jì)規(guī)范：GB 50011—2010[S]. 北京：中國建筑工業(yè)出版社, 2010.

[11] 龍馭球,包世華,匡文起,等. 結(jié)構(gòu)力學(xué)Ⅱ—專題教程[M]. 2版.高等教育出版社, 2006：172-173.

Vibration shape influencing parameters of a single-layer bidirectional asymmetric structure

JIANG Xinliang, HAN Yang

(School of Civil Engineering, Tianjin University Key Laboratory of Coastal Civil Engineering Structure and Safety, Ministry of Education, Tianjin 300072, China)

In order to deeply analyze the influence laws of translational-torsion coupled parameters of a single-layer bidirectional asymmetric structure, the dynamic equation of a single-layer bidirectional eccentric structure with 3-DOF was built, the explicit analytical solution to the dynamic characteristics of the single-layer bidirectional eccentric structure was derived using Sheng-jin formula for solving cubic algebraic equations in mathematics. The structural Influencing parameters were extracted according to the form of the explicit solution and determination condition, they were different from those of a one-directional eccentric structure including eccentric distance, eccentric angle, main torsion-translational frequency ratio and minor torsion-translational frequency ratio. According to the explicit analytical solution derived, the structure’s main dynamic characteristics including natural frequencies and modal shapes were obtained. The influence of each parameter on translational-torsion coupled characteristics of the single-layer bidirectional eccentric structure was analyzed. The results showed that the translational-torsion coupled parameters of the bidirectional eccentric structure are similar to those of the one-directional eccentric structure, but those of the former are more complex; they are related to the main torsion-translational frequency ratio and the minor torsion-translational frequency ratio, the influence levels of the two frequency ratios are obviously different.

bidirectional asymmetric structure; analytical solution; influencing parameters; eccentric distance; eccentric angle; torsion-translational frequency ratio

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51278335)

2016-04-05 修改稿收到日期：2016-06-17

姜忻良 男，教授，博士生導(dǎo)師，1951年生

TU311.3

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.15.016