易國鋒 李巧敏 鐘 文 柳玉起

1.湖北工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，武漢， 4300742.華中科技大學(xué)材料成形與模具技術(shù)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，武漢, 430074

六面體單元在壓印成形模擬中的應(yīng)用

易國鋒1李巧敏2鐘 文2柳玉起2

1.湖北工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，武漢， 4300742.華中科技大學(xué)材料成形與模具技術(shù)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，武漢, 430074

針對(duì)動(dòng)力顯式壓印成形模擬系統(tǒng)COINFORM中單點(diǎn)積分單元的沙漏問題，建立了一種采用多點(diǎn)積分方案的八節(jié)點(diǎn)六面體單元。推導(dǎo)了體積閉鎖和剪切閉鎖的產(chǎn)生機(jī)理，采用假設(shè)應(yīng)變法，成功消除了單元在近似不可壓縮變形中的體積閉鎖和彎曲變形中的剪切閉鎖。將建立的六面體單元與COINFORM相結(jié)合，對(duì)銀999紀(jì)念幣壓印成形模擬算例進(jìn)行了分析。研究結(jié)果表明，提出的多點(diǎn)積分六面體單元在壓印模擬中不存在閉鎖現(xiàn)象，且比COINFORM原有單元具有更高的計(jì)算精度。

多點(diǎn)積分；閉鎖現(xiàn)象；紀(jì)念幣；壓印成形

0 引言

壓印成形是紀(jì)念幣[1]的主要制造工藝。雖然壓印工藝擁有悠久的歷史，但是由于紀(jì)念幣材料和行業(yè)的特殊性，其制造技術(shù)和工藝規(guī)程均需嚴(yán)格保密。這導(dǎo)致目前已公開文獻(xiàn)中，與紀(jì)念幣壓印技術(shù)相關(guān)的資料比較少，國內(nèi)外紀(jì)念幣的設(shè)計(jì)與制造主要依賴各造幣企業(yè)長期積累的經(jīng)驗(yàn)。由于工程經(jīng)驗(yàn)難以有效地預(yù)測(cè)壓印成形工藝中的材料流動(dòng)和成形缺陷，故目前紀(jì)念幣行業(yè)中仍然存在制造周期長、廢品率高的問題[2]。據(jù)統(tǒng)計(jì)，目前國內(nèi)造幣行業(yè)紀(jì)念幣壓印的廢品率在10%以上，大直徑、精細(xì)花紋和大鏡面紀(jì)念幣的廢品率甚至達(dá)到50%。

為了有效彌補(bǔ)傳統(tǒng)壓印工藝存在的不足，BREKELMANS等[3]、BUFFA等[4]、GUO等[5-6]采用DEFORM-3D、ABAQUS和MARC等通用軟件，對(duì)壓印成形的有限元數(shù)值模擬展開了研究。但是，由于上述軟件采用的是隱式算法，故不僅對(duì)計(jì)算規(guī)模有限制，而且難以保證收斂性。為了突破計(jì)算規(guī)模的限制，XU等[7]對(duì)壓印成形工藝及其數(shù)值模擬技術(shù)進(jìn)行了深入研究，建立了紀(jì)念幣壓印成形模擬系統(tǒng)COINFORM，實(shí)現(xiàn)了可達(dá)1000萬個(gè)單元的大規(guī)模壓印成形模擬。但是，在單元選擇方面，COINFORM采用的是單點(diǎn)積分的八節(jié)點(diǎn)六面體單元，在壓印成形過程中可能產(chǎn)生非物理變形模式。為了改善COINFORM的仿真性能，有必要在COINFORM中嵌入一種精度更高、穩(wěn)定性更好的實(shí)體單元。一般認(rèn)為，八節(jié)點(diǎn)六面體單元比四節(jié)點(diǎn)四面體單元具有更高的穩(wěn)定性[8]。在六面體單元的早期研究中，F(xiàn)LANAGAN等[9]針對(duì)單點(diǎn)積分單元的沙漏模式，提出了一種根據(jù)經(jīng)驗(yàn)設(shè)置沙漏系數(shù)的擾動(dòng)沙漏控制方法。HALLQUIST[10]在DYNA3D中給出了另一種用于單點(diǎn)積分的沙漏控制算法，盡管該方法擁有較高的計(jì)算效率，但由于沙漏力與剛體轉(zhuǎn)動(dòng)不正交，故并不適用于剛體轉(zhuǎn)動(dòng)較大的變形分析。此后，BELYTSCHKO等[11]基于假設(shè)應(yīng)變法建立了一個(gè)消除了閉鎖問題的減縮積分八節(jié)點(diǎn)六面體單元，根據(jù)單元幾何形狀和材料屬性自動(dòng)計(jì)算沙漏力，避免了人工參數(shù)的輸入。ZHU等[12]開發(fā)了一系列假設(shè)應(yīng)變混合單元，并對(duì)單元的閉鎖問題和沙漏現(xiàn)象展開了研究。LIU等[13]開發(fā)了多點(diǎn)積分單元HEXDS，并將其應(yīng)用于大變形彈塑性分析。WANG等[14]開發(fā)了一個(gè)全積分單元，忽略誘發(fā)閉鎖的應(yīng)變項(xiàng)以消除閉鎖問題，并將其應(yīng)用于板料成形分析。OOI等[15]采用組合的形函數(shù)開發(fā)了一個(gè)八節(jié)點(diǎn)六面體單元，該單元通過了分片測(cè)試，能夠適應(yīng)扭曲的單元形狀。FREDRIKSSON等[16]通過對(duì)高階應(yīng)變場(chǎng)的適當(dāng)選取，消除了剪切閉鎖和沙漏模式，開發(fā)了一種高精度的實(shí)體單元。從單元的研究歷程可以看出，沙漏模式、體積閉鎖和剪切閉鎖是六面體單元的主要缺陷。若要建立一種精確穩(wěn)定的六面體單元，首先需要避免以上幾種缺陷。

本文針對(duì)COINFORM中已有單元的沙漏問題，提出了一種多點(diǎn)積分的八節(jié)點(diǎn)六面體單元。為了消除多點(diǎn)積分方案導(dǎo)致的閉鎖現(xiàn)象，通過假設(shè)應(yīng)變法對(duì)體積閉鎖和剪切閉鎖進(jìn)行了處理。將提出的六面體單元與COINFORM相結(jié)合，對(duì)紀(jì)念幣壓印算例進(jìn)行了分析。

1 單元幾何

本文開發(fā)的八節(jié)點(diǎn)六面體單元如圖1所示。每個(gè)節(jié)點(diǎn)有3個(gè)平移自由度，無轉(zhuǎn)動(dòng)自由度。建立圖1所示的自然坐標(biāo)系，ξ、η、ζ為自然坐標(biāo)系的三個(gè)坐標(biāo)軸。自然坐標(biāo)系(x,y,z)和笛卡兒坐標(biāo)系通過Jacobian矩陣J關(guān)聯(lián)：

(1)

圖1 四點(diǎn)積分的八節(jié)點(diǎn)六面體單元Fig.1 8-node hexahedral element with four integration points

單元采用多點(diǎn)積分方案，4個(gè)高斯積分點(diǎn)在自然坐標(biāo)系下的坐標(biāo)分別為

(2)

2 單元形函數(shù)

任意積分點(diǎn)在共旋坐標(biāo)系下的坐標(biāo)(x,y,z)T和位移(u,v,w)T可以插值表示為

(Nx,Ny,Nz)T

(3)

(Nu,Nv,Nw)T

(4)

Ni=(1+ξiξ+ηiη+ζiζ+ξiηiξη+ηiζiηζ+

ξiζiξζ+ξiηiζiξηζ)/8

(5)

構(gòu)成形函數(shù)向量

N=(s+ξξ+ηη+ζζ+h1ξη+h2ηζ+h3ξζ+

h4ξηζ)/8

(6)

由式(3)和式(6)可以得到笛卡兒坐標(biāo)(x,y,z)T與自然坐標(biāo)(ξ,η,ζ)T的轉(zhuǎn)換關(guān)系式：

[ξηζ]T=C[x-txy-tyz-tz]T

(7)

(8)

(9)

將式(7)代入式(6)可得

N=Δ+bxx+byy+bzz+γ1ξη+γ2ηζ+

γ3ξζ+γ4ξηζ

(10)

上式包含8個(gè)行向量：

(11)

α=1,2,3,4

從式(10)可以看出，單元發(fā)生沙漏模式變形時(shí)，單元中心點(diǎn)(ξ=0,η=0,ζ=0)處的應(yīng)變能為零，因此，COINFORM中原有的單點(diǎn)積分單元容易在壓印成形模擬中誘發(fā)沙漏模式。對(duì)于多點(diǎn)積分單元，式(10)中的γα能保證單元?jiǎng)偠染仃嚌M秩[12]，提高單元的穩(wěn)定性。

3 非線性閉鎖控制

3.1 標(biāo)準(zhǔn)B矩陣

(12)

標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)變-位移矩陣B與形函數(shù)向量N相關(guān)[17]，其多項(xiàng)式展開形式為

B(ξ,η,ζ)=B0+ξBξ+ηBη+ζBζ+ξηBξη+

ηζBηζ+ξζBξζ

(13)

其中，B0用bx、by和bz表示，Bλ(λ=ξ,η,ζ,ξη,ηζ,ξζ)用下式中相應(yīng)的bxλ、byλ和bzλ表示：

(14)

3.2 閉鎖現(xiàn)象

3.2.1 體積閉鎖

(15)

結(jié)合式(12)和式(15)，有

(16)

3.2.2 剪切閉鎖

(17)

3.3 假設(shè)應(yīng)變法

(18)

(19)

(20)

為了使剪切閉鎖的處理更加簡(jiǎn)潔，在單元內(nèi)建立共旋坐標(biāo)系(r1,r2,r3)，滿足

(21)

(22)

4 數(shù)值算例

圖2所示為某銀999紀(jì)念幣，紀(jì)念幣的正反面圖案相同，鏡面區(qū)域的厚度為2.0 mm。采用圖3所示1盎司(28.3495 g)標(biāo)準(zhǔn)坯餅成形該紀(jì)念幣，由于保密原因，具體尺寸未在圖中標(biāo)注。壓印實(shí)驗(yàn)采用造幣專用設(shè)備，壓印機(jī)為3500 kN壓印機(jī)。實(shí)驗(yàn)過程中,壓機(jī)運(yùn)動(dòng)速度為100 mm/s，模具的有效行程為0.43 mm。隨著上模向下運(yùn)動(dòng)，壓印力不斷增大，最終達(dá)到最大值1600 kN，獲得填充比較飽滿的紀(jì)念幣，如圖4所示。

圖2 紀(jì)念幣幾何尺寸Fig.2 Geometry of the commemorative coin

圖3 帶有邊形的1盎司(28.3495 g)銀999坯餅Fig.3 The 1-ounce (28.3495 g)Ag999 workpiece with flange

圖4 壓印實(shí)驗(yàn)獲得的紀(jì)念幣Fig.4 A commemorative coin obtained by the experiment

(a)坯餅 (b)印模

(c)中圈 (d)裝配模型圖5 壓印成形有限元模型Fig.5 Finite element model of the coining

采用本文提出的多點(diǎn)積分六面體單元模擬紀(jì)念幣的壓印成形過程。成形結(jié)束后紀(jì)念幣的應(yīng)力和應(yīng)變分布如圖6所示。可以看出，由于紀(jì)念幣圖紋區(qū)域模具圓角較小，齒狀圖紋和字符“TOT”處出現(xiàn)了應(yīng)力集中，且應(yīng)力梯度和應(yīng)變梯度較大。

(a)等效應(yīng)力

(b)等效應(yīng)變圖6 紀(jì)念幣的應(yīng)力和應(yīng)變分布Fig.6 Stress and strain distributions of the commemorative coin

此外，由于邊形區(qū)域的材料較早地流向中圈，產(chǎn)生的塑性變形較大，故壓印結(jié)束后邊形區(qū)域也出現(xiàn)了應(yīng)力集中。

為了驗(yàn)證單元的穩(wěn)定性，圖7給出了成形過程中壓印力隨模具行程的變化曲線(數(shù)據(jù)已處理為對(duì)應(yīng)整個(gè)模型)，并與COINFORM原有單點(diǎn)積分單元[7]的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。其中，單點(diǎn)積分單元采用黏性沙漏控制，沙漏系數(shù)取0.1。從圖7可以看出，印模與坯餅在O點(diǎn)接觸，最先發(fā)生接觸處位于坯餅的邊形表面。在OA階段，坯餅邊形在印模的作用下發(fā)生塑性流動(dòng)，材料沿徑向流向中圈。在A點(diǎn)處，邊形區(qū)域基本被壓平，整個(gè)坯餅表面與模具接觸，因此，AB階段壓印力直線增大。在模具外力的作用下，金屬從B點(diǎn)開始填充模具型腔，此時(shí)外力不斷增大，但增速小于AB階段。從C點(diǎn)開始，坯餅的外邊緣與中圈完全接觸，金屬在外力作用下實(shí)現(xiàn)圖紋的完全填充，這一過程需要較大的壓印力才能實(shí)現(xiàn)。在CE階段,多點(diǎn)積分單元模擬獲得的壓印力不斷增大，與實(shí)驗(yàn)中壓印力的變化趨勢(shì)相同。模具在E點(diǎn)到達(dá)下死點(diǎn)，壓印力達(dá)到最大值1495 kN，與實(shí)驗(yàn)結(jié)果接近。但是，隨著塑性變形的增大，單點(diǎn)積分單元在D點(diǎn)處產(chǎn)生沙漏模式，壓印力突然呈減小趨勢(shì)，這與實(shí)驗(yàn)結(jié)果差別較大。單點(diǎn)積分單元的沙漏模式逐漸傳播，最終導(dǎo)致計(jì)算失敗。由此可見，OD階段兩種單元的計(jì)算結(jié)果非常接近，說明假設(shè)應(yīng)變法成功消除了單元的體積閉鎖和剪切閉鎖；D點(diǎn)之后，多點(diǎn)積分單元相比黏性沙漏控制的單點(diǎn)積分單元體現(xiàn)出了更高的穩(wěn)定性。

圖7 壓印力隨行程變化的曲線Fig.7 Coining force varying with the stroke

5 結(jié)論

(1)相比單點(diǎn)積分六面體單元，本文提出的多點(diǎn)積分六面體單元具有更高的穩(wěn)定性。

(2)通過假設(shè)應(yīng)變法，有效消除了多點(diǎn)積分六面體單元的體積閉鎖和剪切閉鎖。

(3)本文提出的六面體單元用于COINFORM壓印成形模擬能達(dá)到較高的精度。

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(編輯 陳 勇)

A Hexahedral Element Applied to Coining Simulations

YI Guofeng1LI Qiaomin2ZHONG Wen2LIU Yuqi2

1.School of Mechanical Engineering, Hubei University of Technology, Wuhan, 430074 2.State Key Laboratory of Materials Processing and Die & Mould Technology,Huazhong University of Science and Technology, Wuhan, 430074

In order to overcome the hourglass problems of the one-point integrated element used in the dynamic explicit coining simulation system COINFORM, a new multi-point integrated 8-node hexahedral element was proposed herein. The generation mechanism of volume locking and shear locking was deduced. With the assumed strain method, the volumetric locking in near-incompressible deformations and the shear locking in bending situations were avoided. Combined with COINFORM, the proposed hexahedral element was applied to the coining simulation of a Ag999 commemorative coin. The results show that the locking phenomena of the multi-point integrated element are successfully avoided in the coining simulation, and the proposed element achieves higher computational accuracy than that of the existing element of COINFORM.

multi-point integration; locking phenomena; commemorative coin; coining

2016-10-08

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51275184)

O344.3；TP391.9

10.3969/j.issn.1004-132X.2017.15.017

易國鋒，男，1976年生。湖北工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院講師。主要研究方向?yàn)榻饘偎苄猿尚文M及模具設(shè)計(jì)。E-mail：churchwell@163.com。李巧敏，女，1989年生。華中科技大學(xué)材料成形與模具技術(shù)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室博士后研究人員。鐘 文，男，1988年生。華中科技大學(xué)材料成形與模具技術(shù)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室博士后研究人員。柳玉起(通信作者)，男，1966年生。華中科技大學(xué)材料成形與模具技術(shù)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室教授、博士研究生導(dǎo)師。