周榮亞

（陜西鐵路工程職業(yè)技術(shù)學(xué)院，陜西 渭南 714000）

懸臂梁式動(dòng)力吸振器多頻減振研究

周榮亞

（陜西鐵路工程職業(yè)技術(shù)學(xué)院，陜西 渭南 714000）

將懸臂梁作為動(dòng)力吸振器附加在振動(dòng)主結(jié)構(gòu)上來達(dá)到振動(dòng)抑制的目的，數(shù)值計(jì)算分析表明懸臂梁式動(dòng)力吸振器具有多頻減振特性。按照模態(tài)理論建立基于懸臂梁的具有集中參數(shù)的等效復(fù)式動(dòng)力吸振器模型，懸臂梁的每一階模態(tài)作為一個(gè)自由度的彈簧質(zhì)量系統(tǒng)，把懸臂梁每階模態(tài)的有效模態(tài)質(zhì)量和等效模態(tài)剛度作為每一自由度彈簧質(zhì)量系統(tǒng)的集中質(zhì)量和剛度。用懸臂梁式動(dòng)力吸振器的附加動(dòng)剛度驗(yàn)證等效復(fù)式動(dòng)力吸振器模型的正確性。將懸臂梁式動(dòng)力吸振器附加在主梁末端，調(diào)諧懸臂梁式動(dòng)力吸振器的前4階模態(tài)達(dá)到對(duì)主懸臂梁的多頻減振效果，證實(shí)了懸臂梁式動(dòng)力吸振器多頻減振特性。

振動(dòng)與波；懸臂梁；復(fù)式動(dòng)力吸振器；有效模態(tài)質(zhì)量；多頻減振

振動(dòng)是人們?cè)谏a(chǎn)生活中不可避免的現(xiàn)象，振動(dòng)的存在使得工業(yè)生產(chǎn)設(shè)備產(chǎn)生疲勞破損，影響設(shè)備的精度，甚至縮短設(shè)備壽命。同時(shí)由于振動(dòng)的存在又會(huì)形成噪聲問題，降低人們生活質(zhì)量。于是減振降噪成為科學(xué)研究的一大領(lǐng)域，形成了隔振、阻尼減振、動(dòng)力吸振等多個(gè)技術(shù)研究方向。

動(dòng)力吸振器由Frahm在1909年首先發(fā)明[1]，直到現(xiàn)在的百年發(fā)展時(shí)間內(nèi)有了大量的研究成果。動(dòng)力吸振器的研究大致經(jīng)歷了從單自由度到多自由度、從離散到連續(xù)、從單一參數(shù)調(diào)諧到多參數(shù)聯(lián)動(dòng)調(diào)諧的發(fā)展過程[2]。目前，單自由度和多自由度動(dòng)力吸振器應(yīng)用于連續(xù)體來進(jìn)行寬頻減振仍然是研究的熱點(diǎn)。El-Khatib等人將單自由度動(dòng)力吸振器附加在梁上來抑制梁中彎曲波的傳播[3]。

D.J.Thompson研究了用基體梁上連續(xù)分布的單自由度動(dòng)力吸振器抑制梁中寬頻彎曲波傳輸?shù)奶匦訹4]。Cheng Yang等將多個(gè)單自由度動(dòng)力吸振器附加于平面矩形薄板，研究動(dòng)力吸振器寬頻帶減振特性[5]。

動(dòng)力吸振器已有很多實(shí)際工程應(yīng)用案例，例如軌道交通領(lǐng)域，許多動(dòng)力吸振器產(chǎn)品被開發(fā)應(yīng)用于軌道以及車輪等，達(dá)到了非常好的減振降噪效果。懸臂梁式動(dòng)力吸振器由于結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、工程適用性強(qiáng)，成為研究的熱點(diǎn)[6]。王彥琴等用功率流的方法研究變截面懸臂梁式動(dòng)力吸振器作用在矩形薄板上的寬帶減振機(jī)理，從減振效果上證實(shí)了懸臂梁式動(dòng)力吸振器由于模態(tài)豐富，在每階模態(tài)處均有動(dòng)力吸振器的效果，但是用功率流的方法并沒有把懸臂梁式動(dòng)力吸振器的復(fù)式動(dòng)力吸振器動(dòng)力學(xué)參數(shù)識(shí)別出來[7]。

到目前為止，懸臂梁被設(shè)計(jì)成動(dòng)力吸振器時(shí)仍然被視作具有單自由度特性。懸臂梁本身提供等效彈性元件和等效質(zhì)量元件，或者將懸臂梁末端附加質(zhì)量塊，僅將懸臂梁等效為彈性元件。張針粒等提出懸臂梁式動(dòng)力吸振器的分布質(zhì)量模型，以懸臂梁式動(dòng)力吸振器的固有頻率為評(píng)判指標(biāo)討論了分布質(zhì)量模型的優(yōu)越性[8]。

文中將懸臂梁式動(dòng)力吸振器等效為具有多頻吸振特性的復(fù)式動(dòng)力吸振器，引入懸臂梁多階模態(tài)，根據(jù)模態(tài)理論識(shí)別出懸臂梁各階模態(tài)的等效動(dòng)力學(xué)集中參數(shù)，以懸臂梁根部的附加動(dòng)剛度為評(píng)判指標(biāo)驗(yàn)證等效模型的正確性。最后將懸臂梁式動(dòng)力吸振器附加到主結(jié)構(gòu)上，用有限元法求解振動(dòng)響應(yīng)，證實(shí)了懸臂梁式動(dòng)力吸振器的多頻減振特性。

1 等效復(fù)式動(dòng)力吸振器模型

圖1為懸臂梁式動(dòng)力吸振器連接的示意圖及等效彈簧質(zhì)量振子模型。

圖1 懸臂梁式動(dòng)力吸振器示意圖

如圖1(a)所示，懸臂梁式動(dòng)力吸振器與主結(jié)構(gòu)連接時(shí)通常成對(duì)使用，從而避免了懸臂梁對(duì)主結(jié)構(gòu)的彎矩作用。懸臂梁的長(zhǎng)設(shè)為l，截面為矩形，其寬和高分別設(shè)為br、hr，懸臂部分的長(zhǎng)度為lr。懸臂梁根部與主結(jié)構(gòu)固連部分的長(zhǎng)度為ls=2(l-lr)。

目前，懸臂梁的等效振子系統(tǒng)通常是單自由度的，如圖1(b)所示；其中等效振子質(zhì)量mr是懸臂段質(zhì)量的0.605倍，懸臂段lr的其余部分質(zhì)量與固連部分質(zhì)量ms共同構(gòu)成了m0。實(shí)際上，圖1(b)所示的等效單自由度彈簧質(zhì)量振子系統(tǒng)也是懸臂梁式動(dòng)力吸振器的一個(gè)近似等效模型，該等效模型只是應(yīng)用了懸臂梁的第1階模態(tài)，然而在實(shí)際振動(dòng)過程中包含了懸臂梁的多階模態(tài)，因此需要將懸臂梁等效為復(fù)式的彈簧質(zhì)量振子系統(tǒng)才能更準(zhǔn)確描述懸臂梁式動(dòng)力吸振器的振動(dòng)行為。

考慮懸臂梁的多階模態(tài)，將圖1(a)所示的懸臂梁振子等效為如圖1(c)所示的等效復(fù)式動(dòng)力吸振器系統(tǒng)，該等效過程就是要找到懸臂梁第i階模態(tài)的等效質(zhì)量mri和等效剛度kri。地震力學(xué)的研究中常將建筑物等效為懸臂梁，在用模態(tài)疊加法計(jì)算建筑物受到大地激勵(lì)的振動(dòng)響應(yīng)時(shí)用到有效模態(tài)質(zhì)量，其具有質(zhì)量的量綱，用有效模態(tài)質(zhì)量所占總質(zhì)量的百分?jǐn)?shù)來判斷計(jì)算所用的模態(tài)階數(shù)通常會(huì)得到準(zhǔn)確的結(jié)果。

在研究中，將懸臂梁式動(dòng)力吸振器每一階模態(tài)的有效模態(tài)質(zhì)量作為該階模態(tài)的等效質(zhì)量也會(huì)取得精確的等效模型。下面來說明有效模態(tài)質(zhì)量。按照有限元的方法將懸臂梁離散為多自由度振動(dòng)系統(tǒng)。在外激勵(lì)作用下，多自由度振動(dòng)系統(tǒng)的振動(dòng)方程可以表示為

式中M、C、K分別表示系統(tǒng)的質(zhì)量陣、阻尼陣和剛度陣，X、F分別是位移列陣和力列陣。

令φ為特征向量矩陣，則為第i階模態(tài)的廣義質(zhì)量。

當(dāng)懸臂梁根部受力方向是沿著懸臂梁橫向方向y軸時(shí)，第i階模態(tài)的模態(tài)振型參與因子γi為

第i階模態(tài)的有效模態(tài)質(zhì)量為

有效模態(tài)質(zhì)量有質(zhì)量的量綱，并且各階有效模態(tài)質(zhì)量的總和為系統(tǒng)的總質(zhì)量。在單一的方向上也滿足這個(gè)關(guān)系，即

式中n表示系統(tǒng)為n自由度，x表示在x方向表示系統(tǒng)總質(zhì)量。

對(duì)于一根連續(xù)歐拉梁，有效模態(tài)質(zhì)量的定義為

式中n表示第n階模態(tài)，ρ(x)表示梁?jiǎn)挝婚L(zhǎng)度的質(zhì)量即梁的線密度，Yn(x)是質(zhì)量正則化的特征向量。

對(duì)于懸臂梁振子，其等效復(fù)式振子的第i階等效質(zhì)量mri=me,i，容易求得懸臂梁振子的固有頻率為ωri，則有kri=mriωri2。只考慮懸臂梁前四階模態(tài)，其等效復(fù)式動(dòng)力吸振器的每1階等效質(zhì)量如表1所示。

表1 等效質(zhì)量

2 等效模型驗(yàn)證

懸臂梁式動(dòng)力吸振器對(duì)主結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)力效應(yīng)用由懸臂梁通過根部連接位置輸入到主結(jié)構(gòu)中的動(dòng)剛度Dr來描述。在這一部分通過對(duì)比懸臂梁及其等效復(fù)式動(dòng)力吸振器輸入到主結(jié)構(gòu)中的動(dòng)剛度來評(píng)價(jià)等效復(fù)式模型的正確性，如果等效模型是正確的，其動(dòng)剛度應(yīng)該和懸臂梁的動(dòng)剛度是一致的。

懸臂梁式動(dòng)力吸振器與主結(jié)構(gòu)固連部分的動(dòng)剛度是

式中ms=ρrArls,其中,ρr為懸臂梁的密度,Ar為懸臂梁振子的橫截面面積。需要說明的是，在實(shí)際工程應(yīng)用中通常將一根梁中間部分用螺栓等連接件與主結(jié)構(gòu)連接,當(dāng)連接件的質(zhì)量較大不能忽略時(shí)，ms應(yīng)當(dāng)包含螺栓等連接件的質(zhì)量。文中涉及的理論分析模型和樣件的連接件質(zhì)量很小，所以為了簡(jiǎn)便，連接件的質(zhì)量忽略不計(jì)。

懸臂梁lr段輸入到主結(jié)構(gòu)中的動(dòng)剛度是

圖1(c)所示的等效復(fù)式動(dòng)力吸振器模型中，固連到主結(jié)構(gòu)中的質(zhì)量m0=ms，該部分的附加動(dòng)剛度為

等效復(fù)式動(dòng)力吸振器第i階彈簧質(zhì)量振子系統(tǒng)的附加動(dòng)剛度

并聯(lián)的彈簧質(zhì)量振子系統(tǒng)的總動(dòng)剛度為各個(gè)單自由度彈簧質(zhì)量振子系統(tǒng)的加總和。如果將懸臂梁的前n階模態(tài)等效為復(fù)式彈簧質(zhì)量振子系統(tǒng)，則等效復(fù)式動(dòng)力吸振器系統(tǒng)的附加動(dòng)剛度為

設(shè)定懸臂梁式動(dòng)力吸振器的材料和尺寸參數(shù)如表2所示，將懸臂梁式動(dòng)力吸振器及其等效復(fù)式動(dòng)力吸振器的附加動(dòng)剛度進(jìn)行對(duì)比，如圖2所示。

表2 懸臂梁式動(dòng)力吸振器參數(shù)

在0～800 Hz頻率范圍內(nèi)，懸臂梁式動(dòng)力吸振器共有3階振動(dòng)模態(tài)，其對(duì)應(yīng)的附加動(dòng)剛度在每1階模態(tài)頻率處出現(xiàn)一個(gè)峰值。等效復(fù)式動(dòng)力吸振器的附加動(dòng)剛度與懸臂梁式動(dòng)力吸振器的附加動(dòng)剛度有相同的峰值頻率，但是等效復(fù)式動(dòng)力吸振器的附加動(dòng)剛度的量值有偏差，這是因?yàn)槟B(tài)截?cái)嗍沟弥挥杏邢揠A模態(tài)被引入等效復(fù)式動(dòng)力吸振器附加動(dòng)剛度的計(jì)算當(dāng)中。當(dāng)?shù)刃?fù)式動(dòng)力吸振器包含的模態(tài)數(shù)增加時(shí)，其附加動(dòng)剛度的值也越接近于準(zhǔn)確值。也就是圖2中De,n的n增加時(shí)，De,n的值越接近于準(zhǔn)確值Dr。

圖2 懸臂梁式動(dòng)力吸振器附加動(dòng)剛度

3 懸臂梁式動(dòng)力吸振器多頻減振分析

利用懸臂梁的多階模態(tài)來形成復(fù)式動(dòng)力吸振器可以達(dá)到多頻減振效果。但是要將懸臂梁的多階模態(tài)頻率調(diào)諧到多個(gè)目標(biāo)減振頻率上并不容易，因?yàn)閷?duì)于恒定截面的懸臂梁，其每階固有頻率都有一定的倍率關(guān)系。這也是大家往往只針對(duì)懸臂梁的第1階模態(tài)進(jìn)行等效形成單自由度動(dòng)力吸振器的原因。只應(yīng)用懸臂梁的第1階模態(tài)固然便于調(diào)整參數(shù)進(jìn)行設(shè)計(jì)，但是這不可避免地忽視了懸臂梁式動(dòng)力吸振器高階模態(tài)對(duì)減振效果的影響，同時(shí)不利于在懸臂梁式動(dòng)力吸振器中增加更多的阻尼效果，因?yàn)樵趹冶哿罕砻嬲迟N阻尼是增加懸臂梁式動(dòng)力吸振器阻尼的一般方法，但是敷設(shè)阻尼材料后，懸臂梁的高階模態(tài)產(chǎn)生更多的模態(tài)變形，從而在高階模態(tài)處懸臂梁式動(dòng)力吸振器能獲得更大的阻尼。

將懸臂梁式動(dòng)力吸振器附加在一根主懸臂梁上，調(diào)整懸臂梁式動(dòng)力吸振器的參數(shù)使其達(dá)到對(duì)主梁的多階模態(tài)振動(dòng)抑制效果，驗(yàn)證懸臂梁式動(dòng)力吸振器的多頻減振特性。主懸臂梁的密度和彈性模量分別為ρ=7 850 kg/m3，E=200 Gpa，其尺寸設(shè)定為1 200 mm×36 mm×36 mm；懸臂梁式動(dòng)力吸振器的尺寸設(shè)定為200 mm×36 mm×1 mm，材料參數(shù)設(shè)置與主懸臂梁相同。將懸臂梁式動(dòng)力吸振器附加在主懸臂梁的末端，無(wú)固連長(zhǎng)度，如圖3所示。

圖3 振動(dòng)響應(yīng)求解設(shè)置

利用Ansys有限元軟件計(jì)算其振動(dòng)響應(yīng)。計(jì)算時(shí)在主梁距離固定端300 mm處沿著主梁的橫向方向施加0～800 Hz、幅值為1 N的簡(jiǎn)諧激勵(lì)。在主梁的一側(cè)均布6個(gè)振動(dòng)響應(yīng)拾取點(diǎn)，間隔為200 mm。求解0～800 Hz范圍內(nèi)振動(dòng)響應(yīng)，將6個(gè)響應(yīng)點(diǎn)的振動(dòng)加速度值的算術(shù)平均值與未加動(dòng)力吸振器時(shí)對(duì)應(yīng)的振動(dòng)響應(yīng)對(duì)比，分析懸臂梁式動(dòng)力吸振器的減振效果，如圖4所示。

圖4 懸臂梁式動(dòng)力吸振器多頻減振效果

在0～800 Hz范圍內(nèi)，未附加懸臂梁式動(dòng)力吸振器的主梁的振動(dòng)響應(yīng)出現(xiàn)了4個(gè)峰值，4個(gè)峰值處的頻率即是各階模態(tài)頻率。對(duì)附加的懸臂梁式動(dòng)力吸振器的尺寸進(jìn)行特定的設(shè)定，可以將其各階頻率調(diào)諧到與主懸臂梁各階模態(tài)頻率一致，這樣懸臂梁式動(dòng)力吸振器實(shí)際上是以復(fù)式動(dòng)力吸振器的形式對(duì)主梁起到吸振的作用。圖4中可以明顯看到，附加懸臂梁式動(dòng)力吸振器后，在主梁的各階模態(tài)上均有動(dòng)力吸振效果。前3階模態(tài)上，懸臂梁式動(dòng)力吸振器的吸振效果達(dá)到5 dB，在第4階模態(tài)上，吸振效果高達(dá)28 dB。

4 結(jié)語(yǔ)

建立懸臂梁式動(dòng)力吸振器的等效復(fù)式動(dòng)力吸振器模型，根據(jù)模態(tài)疊加理論，精確確定復(fù)式動(dòng)力吸振器模型中各個(gè)單自由度吸振器的集中質(zhì)量和等效剛度。以懸臂梁通過根部輸入到主結(jié)構(gòu)中的附加動(dòng)剛度為評(píng)判指標(biāo)驗(yàn)證了等效復(fù)式動(dòng)力吸振器模型的正確性。將懸臂梁式動(dòng)力吸振器應(yīng)用于主梁結(jié)構(gòu)，通過參數(shù)調(diào)整達(dá)到多頻減振效果，證實(shí)懸臂梁式動(dòng)力吸振器的多頻減振特性。在實(shí)際懸臂梁式動(dòng)力吸振器減振參數(shù)設(shè)計(jì)中，文中的復(fù)式動(dòng)力吸振器模型能夠提供精確的參數(shù)量值，進(jìn)行精確的調(diào)諧。

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Vibration Reduction Effect of Cantilever Type Vibration Absorbers in Multi-frequency Band

ZHOU Rong-ya
（Shanxi Vocational Technical Institute of Railway Engineering,Weinan 714000,Shanxi China）

Cantilever type dynamic vibration absorbers can be attached to the principal structure to suppress vibration effectively.Numerical analysis shows that the cantilever type absorbers have multi-band vibration reduction characteristics.In this paper,the equivalent multiple spring-mass oscillator system model of the cantilever type dynamic vibration absorber is established according to the modal superposition theory.Each mode of the cantilever type dynamic vibration absorber is treated as a single DOF spring-mass oscillator system.The effective modal mass and effective modal stiffness of each mode are treated as the lumped mass and stiffness of the equivalent multiple spring-mass oscillator system.The correctness of the multiple spring-mass oscillator system model is verified by dynamic stiffness test of the cantilever type absorber.Finally,the cantilever type dynamic vibration absorber is attached to the end of the principal beam,and the first 4 modes of the absorber are found to reach the effect of multi-band vibration reduction.

vibration and wave;cantilever beam;multi-DOF vibration absorber;effective modal mass;multi frequency vibration reduction

TB535.1

：A

：10.3969/j.issn.1006-1355.2017.04.039

1006-1355(2017)04-0197-04

2017-02-01

周榮亞（1988－），男，山東省臨清市人，工學(xué)碩士，主要研究方向?yàn)檎駝?dòng)噪聲控制。

E-mail:zryrongya@163.com