王乾兵

(山東臨沂臨港經(jīng)濟(jì)開發(fā)區(qū)臨港一中，山東 臨沂 276624 )

導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用錯(cuò)例解析

王乾兵

(山東臨沂臨港經(jīng)濟(jì)開發(fā)區(qū)臨港一中，山東 臨沂 276624 )

導(dǎo)數(shù)作為一種工具，在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)極為方便，但是筆者在教學(xué)過程中，發(fā)現(xiàn)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用還存在許多誤區(qū).

導(dǎo)數(shù)，求最值，求單調(diào)區(qū)間，單調(diào)性.

一、導(dǎo)數(shù)的定義理解不清

二、f ′(x0)為極值的充要條件理解不清

例2 函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1處有極值10，求a、b的值.

錯(cuò)解f′(x)=3x2+2ax+b,由題意知f′(1)=0,且f(1)=10,即2a+b+3=0,且a2+a+b+1=10,解之得a=4,b=-11 ,或a=-3,b=3.

剖析 錯(cuò)誤的主要原因是把f′(x0)為極值的必要條件當(dāng)作了充要條件，f′(x0)為極值的充要條件是f′(x0)=0且x0附近兩側(cè)的符號相反.所以后面應(yīng)該加上：當(dāng)a=4,b=-11時(shí)f′(x)=3x2+8x-11=(3x+11)(x-1),在x=1附近兩側(cè)的符號相反，∴a=4,b=-11.

當(dāng)a=-3b=3時(shí)f′(x)=3(x-1)2, 在x=1附近兩側(cè)的符號相同，所以a=-3,b=3舍去.(a=4,b=-11時(shí)，f(x)=x3+4x2-11x+16的圖象見下面左圖;a=-3,b=3時(shí)f(x)=x3-3x2+3x+9的圖象見下面右圖)

三、函數(shù)的單調(diào)區(qū)間不完善

剖析 錯(cuò)解錯(cuò)在對函數(shù)在x=1處是否連續(xù)沒有研究，顯然函數(shù)在x=1處是連續(xù)的，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0，+∞).對于f′(x) >0(或f′(x) <0)的解集中的斷開點(diǎn)的連續(xù)性，我們要進(jìn)行研究，不能草率下結(jié)論.

四、函數(shù)單調(diào)的充要條件理解不清

五、求函數(shù)的最值沒有考慮函數(shù)的不可導(dǎo)點(diǎn)

六、求函數(shù)的極值沒有考慮函數(shù)的不可導(dǎo)點(diǎn)

當(dāng)x=1時(shí)，f′(x) 在x=1附近兩側(cè)的符號相反，左正右負(fù)，∴x=1是函數(shù)的極大值點(diǎn)

剖析 錯(cuò)誤的主要原因是解題過程中忽略了對函數(shù)的不可導(dǎo)點(diǎn)的考察，因?yàn)楹瘮?shù)的極值可以在定義域內(nèi)導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)或不可導(dǎo)點(diǎn)取得.所以后面還應(yīng)該加上：在定義域內(nèi)不可導(dǎo)的點(diǎn)為：x1=0,x2=2 ，經(jīng)計(jì)算，f′(x)在x1=0附近兩側(cè)的符號相反，左負(fù)右正，f′(x)在x2=2附近兩側(cè)的符號相反，左負(fù)右正， ∴x1=0和x2=2是函數(shù)的兩個(gè)極小值點(diǎn).∴函數(shù)的極大值為f(1)=1,極小值為f(0)=f(2)=0.(函數(shù)的圖象見上圖)

[1]人民教育出版社，課程教材研究所，中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中學(xué).普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(數(shù)學(xué)必修5)[M].北京：人民教育出版社，2008.

[責(zé)任編輯：楊惠民]

2017-05-01

王乾兵，男，山東日照人，中學(xué)一級數(shù)學(xué)教師，曲阜師范大學(xué)本科畢業(yè)，主要研究方向是中學(xué)數(shù)學(xué)及應(yīng)試能力.

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