廣東省東莞市南城中學(xué)(523000) 楊曉生

模型思想在雙直角三角形中的應(yīng)用例

廣東省東莞市南城中學(xué)(523000) 楊曉生

1 模型思想的概念內(nèi)涵

著名數(shù)學(xué)家戈?duì)柖≌J(rèn)為,為了了解周圍世界,人們把自己的觀點(diǎn)及思想組織成概念的體系,這種概念體系就是模型,而數(shù)學(xué)模型是采用形式化的數(shù)學(xué)語言,抽象地、概括地表征研究對(duì)象的主要數(shù)學(xué)特征和關(guān)系的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu).構(gòu)造數(shù)學(xué)模型的目的就是為了解決具體實(shí)際問題,將所考察的實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題,構(gòu)造出相應(yīng)數(shù)學(xué)模型,通過對(duì)數(shù)學(xué)模型的研究和解答,使原來的實(shí)際問題得以解決.模型思想的建立是學(xué)生體會(huì)和理解數(shù)學(xué)與外部世界練習(xí)的基本途徑.

2 模型思想的應(yīng)用例析

在解直角三角形應(yīng)用中,經(jīng)常以俯角仰角、方位角、坡角出現(xiàn)的實(shí)際問題并不存在直角三角形,需要學(xué)生理解題目給出的示意圖或自己畫出示意圖,添加輔助線構(gòu)建為同側(cè)型雙直角三角形或者異側(cè)型雙直角三角形,把實(shí)際問題中的條件轉(zhuǎn)化為三角形中的元素,根據(jù)題設(shè)與結(jié)論、數(shù)形結(jié)合,通過雙直角三角形的公共邊,確定合適的邊角關(guān)系,利用勾股定理、三角函數(shù)列出方程,通過解方程求解問題.

2.1 同側(cè)型雙直角三角形

定義2.1 具有一條公共直角邊且斜邊在公共邊同側(cè)的雙直角三角形.

模型2.1 如圖1,已知△ABC中,∠B=30°,∠ACD=45°,BC=6,求A到BD的距離.

圖1

圖2

問題2.1.1 如圖3是某貨站傳送貨物的平面示意圖.為了提高傳送過程的安全性,工人師傅欲減小傳送帶與地面的夾角,使其由5°改為30°,已知原傳送帶AB長為4米.

(1)求新傳送帶AC的長度;

(2)如果需要在貨物著地點(diǎn)C的左側(cè)留出2米的通道,試判斷距離B點(diǎn)4米的貨物MNQP是否需要挪走,并說明理由.(結(jié)果精確到0.1米,參考數(shù)據(jù)：≈ 1.41,≈1.73,≈ 2.24≈2.45)

圖3

圖4

建模 先將已知圖形簡(jiǎn)化為一般三角形,再根據(jù)兩個(gè)已知角作輔助線構(gòu)造雙直角三角形,如圖4,可得模型2.1.

問題2.1.2 據(jù)交管部門統(tǒng)計(jì),高速公路超速行駛是引發(fā)交通事故的主要原因.我縣某校數(shù)學(xué)課外小組的幾個(gè)同學(xué)想嘗試用自己所學(xué)的知識(shí)檢測(cè)車速,渝黔高速公路某路段的限速是：每小時(shí)80千米(即最高時(shí)速不超過80千米),如圖5,他們將觀測(cè)點(diǎn)設(shè)在到公路l的距離為0.1千米的P處.這時(shí),一輛轎車由綦江向重慶勻速直線駛來,測(cè)得此車從A處行駛到B處所用的時(shí)間為3秒(注：3秒=小時(shí)),并測(cè)得 ∠APO=59°,∠BPO=45°.試計(jì)算 AB 并判斷此車是否超速？(精確到0.001,參考數(shù)據(jù)：sin59°≈ 0.8572,cos59°≈ 0.5150,tan59°≈ 1.6643).

建模 將已知圖形簡(jiǎn)化為圖6,可知屬于模型2.1.

圖5

圖6

應(yīng)用 將已知圖形簡(jiǎn)化,構(gòu)造出相應(yīng)數(shù)學(xué)模型,是模型思想的基本應(yīng)用,學(xué)生通過對(duì)數(shù)學(xué)模型的研究和解答,使原來的實(shí)際問題得以解決.

2.2 異側(cè)型雙直角三角形

定義2.2具有一條公共直角邊且斜邊在公共邊異側(cè)的雙直角三角形.

模型2.2 如圖7,已知△ABC 中,∠A=30°,∠B=45°,AB=6,求 C 到 AB 的距離.

圖7

圖8

解過點(diǎn)C作CD⊥AB于D,如圖8,設(shè)CD=x,在Rt△CDB 中,∠B = 45°,則BD=CD=x,在Rt△ACD 中,因?yàn)?tanA=tan30°,所以=,AD=所以AB=AD+BD所以6=+x,所以 3x=+,所以x===-3

圖9

圖10

建模 利用方位角的性質(zhì),將方位角轉(zhuǎn)化為三角形的內(nèi)角,簡(jiǎn)化為一般三角形,再作輔助線構(gòu)造雙直角三角形,如圖10,即可得模型2.2.

問題2.2.2 如圖11所示,小明在家里樓頂上的點(diǎn)A處,測(cè)量建在與小明家樓房同一水平線上相鄰的電梯樓的高,在點(diǎn)A處看電梯樓頂部點(diǎn)B處的仰角為60°,在點(diǎn)A處看這棟電梯樓底部點(diǎn)C處的俯角為45°,兩棟樓之間的距離為30m,求電梯樓的高BC.

圖11

圖12

圖13

建模利用題設(shè)可將已知圖形簡(jiǎn)化為雙直角三角形,如圖12或13,可得模型2.2.

應(yīng)用 在解直角三角形的應(yīng)用中常常分為“俯角仰角、方位角、坡角”三類題型,而通過模型思想其實(shí)可以將這幾類問題構(gòu)造為同一數(shù)學(xué)模型,模型思想的建立是學(xué)生體會(huì)和理解數(shù)學(xué)與外部世界練習(xí)的基本途徑.

2.3 拓展型雙直角三角形

問題2.3.1 設(shè)計(jì)建造一條道路,路基的橫斷面為梯形ABCD,如圖14(單位：米).設(shè)路基高為h,兩側(cè)的坡角分別為α和β,已知h=2,α=45°,tanβ =,CD=10.

問題2.2.1 光明中學(xué)九年級(jí)(1)班開展數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng),小李沿著東西方向的公路以50 m/min的速度向正東方向行走,在A處測(cè)得建筑物C在北偏東60°方向上,20min后他走到B處,測(cè)得建筑物C在北偏西45°方向上,求建筑物C到公路AB的距離.

(1)求路基底部AB的寬;

(2)修筑這樣的路基1000米,需要多少土石方？

圖14

圖15

圖16

建模 過D、C分別作AB的垂線段,可得一組直角邊相等的雙直角三角形,如圖15,利用相等直角邊,解直角三角形可求解.將△ADE沿AB向右平移,使得D與C重合,E與F重合,如圖16,則可得模型2.2.

問題2.3.2 在一個(gè)陽光明媚、清風(fēng)徐來的周末,小明和小強(qiáng)一起到郊外放風(fēng)箏.他們把風(fēng)箏放飛后,將兩個(gè)風(fēng)箏的引線一端都固定在地面上的C處(如圖17).現(xiàn)已知風(fēng)箏A的引線(線段AC)長20 m,風(fēng)箏B的引線(線段BC)長24 m,在C處測(cè)得風(fēng)箏A的仰角為60°,風(fēng)箏B的仰角為45°.

(1)試通過計(jì)算,比較風(fēng)箏A與風(fēng)箏B誰離地面更高？

(2)求風(fēng)箏A與風(fēng)箏B的水平距離(精確到0.01 m;參考數(shù)據(jù)：sin45°≈ 0.707,cos45°≈ 0.707,tan45°=1,sin60°≈ 0.866,cos60°=0.5,tan60°≈ 1.732).

圖17

圖18

建模 由圖可知,雙直角三角形一組直角邊相等,利用相等直角邊,解直角三角形可求解.將△BCE沿EC向右平移,使得B與A重合,E與D重合,如圖18,則可得模型2.1.

問題2.3.3 如圖19,河流的兩岸PQ,MN互相平行,河岸PQ上有一排小樹,已知相鄰兩樹之間的距離CD=50米,某人在河岸MN 的A處測(cè)的∠DAN=35°,然后沿河岸走了120米到達(dá)B處,測(cè)得∠CBN=70°,求河流的寬度CE(結(jié)果保留兩個(gè)有效數(shù)字).

(參考數(shù)據(jù)：sin35°≈ 0.57,cos35°≈ 0.82,tan35°≈ 0.70,sin70°≈ 0.94,cos70°≈ 0.34,tan70°≈ 2.75)

圖19

圖20

建模 過點(diǎn)C作CH與DA平行,且與MN交于點(diǎn)H,如圖20,可得模型2.1.

應(yīng)用 在解直角三角形的應(yīng)用中也經(jīng)常出現(xiàn)一些非三角形圖形的問題,通過平移等變換可將此類拓展型構(gòu)造為同側(cè)模型或異側(cè)模型.

3 模型思想的學(xué)習(xí)方式

3.1 課題式學(xué)習(xí)方式

讓學(xué)生自主確定數(shù)學(xué)建模課題,設(shè)定課題研究計(jì)劃,完成以后最后提交課題研究報(bào)告.

3.2 協(xié)作式學(xué)習(xí)方式

在數(shù)學(xué)建模中以小組為單位在組內(nèi)進(jìn)行合理分工,協(xié)同作戰(zhàn),培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)隊(duì)協(xié)作能力.

3.3 開放式學(xué)習(xí)方式

如打破課內(nèi)課外界限,走入社會(huì),進(jìn)行數(shù)學(xué)調(diào)查;充分利用網(wǎng)絡(luò)資源,收集建模有用信息;鼓勵(lì)對(duì)同一問題的不同建模方式等等.

3.4 信息式學(xué)習(xí)方式

充分利用計(jì)算機(jī)的計(jì)算功能、圖形實(shí)現(xiàn)功能、特有軟件包的應(yīng)用功能等,尋求建模途徑,提高數(shù)學(xué)建模的有效性.

東北師范大學(xué)校長史寧中教授說：“模型思想”是指對(duì)于現(xiàn)實(shí)世界的某一特定對(duì)象,從它特定的生活原型出發(fā),充分運(yùn)用觀察、實(shí)驗(yàn)、操作、比較、建模綜合概括等所謂過程,得到簡(jiǎn)化和假設(shè),它是生活中實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題模型的一種思想方法.培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光認(rèn)識(shí)和處理周圍事物或數(shù)學(xué)問題乃數(shù)學(xué)的最高境界,也是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)素養(yǎng)所追求的目標(biāo).