席愛勇

【摘 要】數(shù)學(xué)多元表征學(xué)習(xí)是基于學(xué)生認(rèn)知規(guī)律，科學(xué)利用學(xué)生認(rèn)知規(guī)律，組織引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)的學(xué)習(xí)方式，其本質(zhì)內(nèi)涵是將數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對象進(jìn)行心理多元認(rèn)知編碼并與之建立對應(yīng)、建構(gòu)意義聯(lián)系，其認(rèn)知心理機(jī)制是建構(gòu)“內(nèi)化—聯(lián)系—外化”的數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)生態(tài)循環(huán)系統(tǒng)。在實(shí)踐層面，教師要注重?cái)?shù)學(xué)學(xué)習(xí)對象多樣化呈現(xiàn)，促進(jìn)數(shù)學(xué)知識的多元建構(gòu)；注重?cái)?shù)學(xué)內(nèi)在表征的多元聯(lián)系，促進(jìn)數(shù)學(xué)表征的轉(zhuǎn)換轉(zhuǎn)譯；注重?cái)?shù)學(xué)內(nèi)在表征的多元外化，促進(jìn)數(shù)學(xué)思維的可視可感，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)深度發(fā)生，從而實(shí)現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的整體提升和拔節(jié)生長。

【關(guān)鍵詞】多元表征 深度發(fā)生 本質(zhì)內(nèi)涵 心理機(jī)制

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡稱《課標(biāo)》）明確指出：“課程內(nèi)容要反映社會的需要、數(shù)學(xué)的特點(diǎn)，要符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律?！睂W(xué)生的認(rèn)知規(guī)律到底有哪些？課程內(nèi)容怎樣安排才能符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律？如何利用學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律科學(xué)有效地引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)？……凡此種種，《課標(biāo)》都沒有給出明確答案，需要我們在教學(xué)實(shí)踐中去探索、去研究、去反思。

近些年來，歐美一些國家小學(xué)數(shù)學(xué)課堂廣泛開展數(shù)學(xué)多元表征學(xué)習(xí)，給我們研究學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知心理提供了一條可行的路徑。

一、數(shù)學(xué)多元表征的本質(zhì)內(nèi)涵

《辭?！罚?009年版）對“表征”解釋為“揭示；闡明?！仓甘挛镲@露在外的征象”。即表征有兩層含義，作為動詞，表示對事物本質(zhì)的揭示和闡明；作為名詞，表示事物顯示出來的現(xiàn)象，表現(xiàn)出來的特征。因此，表征作為認(rèn)知心理學(xué)的一個(gè)核心概念，指客觀認(rèn)知對象在心理活動中的表現(xiàn)和記載的方式，既是認(rèn)知活動的過程，也是認(rèn)知活動的結(jié)果。

數(shù)學(xué)多元表征就是將數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對象進(jìn)行心理多元認(rèn)知編碼并與之建立對應(yīng)、建構(gòu)意義聯(lián)系的過程。數(shù)學(xué)多元表征分外在表征和內(nèi)在表征兩種類型，外在表征是指以語言、文字、符號、圖片、具體物、活動或?qū)嶋H情境等形式存在的表征。一般而言，外在表征不是文字符號就是圖形符號，其中文字符號的表征較為抽象，它所表征的信息可以從任何知覺形式中取得，我們把這種表征稱為“敘述性表征”；而圖形符號較為具體，雖然也能從任何知覺形式中取得，但與視覺的關(guān)聯(lián)性較強(qiáng)，因此圖形表征也叫視覺化表征或描繪性表征。內(nèi)在表征是指存在于個(gè)體頭腦里而無法直接觀察的心理表征。內(nèi)在表征也有不同的形式，有些表征是個(gè)別的、外顯的，能根據(jù)規(guī)則加以組合的，以及較為抽象的形式；有些則不是個(gè)別的，以內(nèi)隱的方式表征各種事物，具有寬松的組合規(guī)則，以及較為具體的形式。

二、數(shù)學(xué)多元表征學(xué)習(xí)的心理機(jī)制

數(shù)學(xué)多元表征學(xué)習(xí)就是基于數(shù)學(xué)多元表征的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，其認(rèn)知心理機(jī)制可以用圖1表述。

從圖1可以看出，教師將數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對象以言語信息（口語、文字、符號）和非言語信息（實(shí)物、模型、圖片、情境、活動）形式呈現(xiàn)給學(xué)生，進(jìn)行表征性加工（內(nèi)化），言語信息以言語碼形式進(jìn)入學(xué)生的言語系統(tǒng)，非言語信息以心象碼形式進(jìn)入學(xué)生的非言語系統(tǒng)，新碼在系統(tǒng)內(nèi)與學(xué)生系統(tǒng)內(nèi)原有的舊碼進(jìn)行聯(lián)想性加工，實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)內(nèi)信息相互轉(zhuǎn)換，建構(gòu)意義聯(lián)系，同時(shí)在系統(tǒng)間進(jìn)行參照性加工，實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)間信息相互轉(zhuǎn)譯，建構(gòu)意義聯(lián)系，最后，學(xué)生再以言語信息和非言語信息形式外顯出來（外化）。數(shù)學(xué)多元表征學(xué)習(xí)的“內(nèi)化—聯(lián)系—外化”構(gòu)成了學(xué)生數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)的生態(tài)循環(huán)系統(tǒng)。

三、數(shù)學(xué)多元表征學(xué)習(xí)的實(shí)踐策略

（一）注重?cái)?shù)學(xué)學(xué)習(xí)對象多樣化呈現(xiàn)，促進(jìn)數(shù)學(xué)知識的多元建構(gòu)

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對象包括數(shù)學(xué)概念、命題、關(guān)系、運(yùn)算和問題解決等，呈現(xiàn)方式要多樣化，既要有言語文字的，也要有直觀圖形的，還要有數(shù)字符號的，這樣才能凸顯數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對象的多元屬性，便于學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)信息的多通道輸入，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的多元表征，數(shù)學(xué)意義的多元建構(gòu)。

例如，“偶數(shù)”這個(gè)概念可以有如下幾種呈現(xiàn)方式（如表1）。

以圖形和動畫的形式呈現(xiàn)偶數(shù)概念，學(xué)生就會在頭腦中建構(gòu)偶數(shù)的形表征：可以2個(gè)一組2個(gè)一組地畫出來的。偶數(shù)的圖形表征給學(xué)生建構(gòu)偶數(shù)的文字表征“是2的倍數(shù)的數(shù)”“能被2整除的數(shù)”以及符號表征“2a” 一個(gè)感性經(jīng)驗(yàn)支撐，便于學(xué)生理解偶數(shù)的本質(zhì)內(nèi)涵，實(shí)現(xiàn)其意義建構(gòu)。以數(shù)據(jù)列舉的形式呈現(xiàn)偶數(shù)概念，學(xué)生就會在頭腦中建構(gòu)偶數(shù)的數(shù)表征，便于學(xué)生發(fā)現(xiàn)偶數(shù)的外部特征：個(gè)位上是2，4，6，8，0，理解偶數(shù)概念的外延，實(shí)現(xiàn)其意義建構(gòu)。

當(dāng)然，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對象的呈現(xiàn)方式也并非越多越好，各種呈現(xiàn)方式要做到既能互相補(bǔ)充，互相解釋，也要做到本質(zhì)內(nèi)涵的內(nèi)在一致，相互融合，這樣才能做到既不增加學(xué)生的認(rèn)知負(fù)荷，又能對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對象有一個(gè)全面的認(rèn)識和深刻的理解，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的多元表征，數(shù)學(xué)意義的多元建構(gòu)。

（二）注重?cái)?shù)學(xué)內(nèi)在表征的多元聯(lián)系，促進(jìn)多元表征的轉(zhuǎn)換轉(zhuǎn)譯

抓住數(shù)學(xué)表征內(nèi)在的多元聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)各種表征內(nèi)部的靈活轉(zhuǎn)換和表征之間的靈活轉(zhuǎn)譯，是學(xué)生形成數(shù)學(xué)知識的整體結(jié)構(gòu)和意義表征，促進(jìn)數(shù)學(xué)知識靈活提取和實(shí)踐應(yīng)用，實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)識成智的重要標(biāo)志。

例如，下面三幅圖（如圖2），盡管桃子的總數(shù)不同，涂色桃子的數(shù)量也不同，但都能用[23]表示涂色桃子數(shù)占桃子總數(shù)的幾分之幾，這就需要學(xué)生在圖形表征系統(tǒng)內(nèi)部進(jìn)行轉(zhuǎn)換，即把桃子總數(shù)看作單位“1”，平均分成3份，其中2份就是桃子總數(shù)的[23]。當(dāng)然，在這個(gè)過程中，也包含將圖形表征轉(zhuǎn)譯成言語符號表征[23]的過程。

可見，讓學(xué)生不斷加強(qiáng)同類表征系統(tǒng)內(nèi)部的轉(zhuǎn)換和不同類型表征系統(tǒng)間的轉(zhuǎn)譯，有利于培養(yǎng)他們對數(shù)學(xué)的深度理解能力和靈活綜合思維能力，提升他們的數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)。

（三）注重?cái)?shù)學(xué)內(nèi)在表征的多元外化，促進(jìn)數(shù)學(xué)思維的可視可感

如果說數(shù)學(xué)理解是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不斷內(nèi)化并建構(gòu)聯(lián)系的過程，那么數(shù)學(xué)表達(dá)就是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不斷外化并進(jìn)行實(shí)踐應(yīng)用的過程。數(shù)學(xué)多元表征，不僅要注重?cái)?shù)學(xué)學(xué)習(xí)的內(nèi)化，建構(gòu)數(shù)學(xué)內(nèi)在表征的聯(lián)系，也要注重?cái)?shù)學(xué)學(xué)習(xí)的外化，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)內(nèi)在表征和數(shù)學(xué)思維過程可視可感，有利于發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維表達(dá)和實(shí)踐綜合應(yīng)用的能力。

例如，筆者在執(zhí)教蘇教版六年級上冊“解決問題的策略——假設(shè)”例1時(shí)（如圖3），放手讓學(xué)生表示出自己的想法和解答過程。

有的學(xué)生用模擬圖表征，具體直觀形象；有的學(xué)生則用線段圖表征，其思維抽象水平就要高于用模擬圖表征的學(xué)生。有的學(xué)生用分?jǐn)?shù)的思想列式解答，有的學(xué)生用比的思想列式解答，還有的學(xué)生用方程的思想列式解答。筆者讓他們分別把自己的想法和解法畫出來、寫出來（如圖4、圖5、圖6）。

從圖4的模擬圖形和算式表征中，我們不難看出學(xué)生的思維過程：把大杯容量看作單位 “1”，小杯容量就是[13]，6個(gè)小杯可以換成[13]×6=2（個(gè)）大杯，這樣720毫升的果汁就相當(dāng)于倒?jié)M3個(gè)大杯，用720÷3就可以求出大杯的容量，小杯容量也就迎刃而解了。從圖5的模擬圖形和算式表征中，我們可以看出學(xué)生是把“小杯容量是大杯的[13]”轉(zhuǎn)化成“大杯與小杯容量之比是3︰1”，即1個(gè)大杯可以換成3個(gè)小杯，這樣720毫升的果汁就相當(dāng)于倒?jié)M9個(gè)小杯，用720÷9就可以求出小杯的容量，大杯容量也就順利解決了。從圖6的線段圖形和算式表征中，我們可以看出學(xué)生是把大杯容量設(shè)為x毫升，則小杯容量就是[x3]毫升，用列方程順利解決問題。

同樣的問題，不同的學(xué)生表征出來的形式是不同的，從中可以看出學(xué)生不同的認(rèn)知風(fēng)格和思維水平。

總之，數(shù)學(xué)多元表征學(xué)習(xí)的過程就是將客觀數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對象與學(xué)生心理認(rèn)知系統(tǒng)建立多元化對應(yīng)關(guān)系的過程。在內(nèi)容上，數(shù)學(xué)多元表征的豐富性和相互聯(lián)系性構(gòu)成了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對象的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)；在方法上，數(shù)學(xué)多元表征間的轉(zhuǎn)換或轉(zhuǎn)譯構(gòu)成了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中邏輯思維與非邏輯思維的互補(bǔ)；在過程上，數(shù)學(xué)多元表征的“內(nèi)化—聯(lián)系—外化”構(gòu)成了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的生態(tài)循環(huán)系統(tǒng)。數(shù)學(xué)多元表征的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)、互換互譯、內(nèi)外循環(huán)讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)深度發(fā)生，有力地促進(jìn)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)理解、意義建構(gòu)、數(shù)學(xué)思維和實(shí)踐應(yīng)用，從而實(shí)現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的整體提升和拔節(jié)生長。

參考文獻(xiàn)：

[1]唐建嵐.數(shù)學(xué)多元表征學(xué)習(xí)及教學(xué)[M].南京：南京師范大學(xué)出版社，2009.

[2]鮑建生，周超.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的心理基礎(chǔ)與過程[M].上海：上海教育出版社，2009.

[3]（美）戴爾·H.申克著，韋小滿譯.學(xué)習(xí)理論[M].南京：江蘇教育出版社，2009.

[4]鄭毓信.多元表征理論及概念教學(xué)[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教育，2011（10）.

（江蘇淮安工業(yè)園區(qū)實(shí)驗(yàn)學(xué)校 223008）