梁義

摘 要：將一個(gè)抽象的數(shù)學(xué)量—向量，正確的表示成具體的式子或圖形，并且用數(shù)形結(jié)合的思想，將其互相轉(zhuǎn)化，從而解決較為復(fù)雜的向量問題。

關(guān)鍵詞：向量；向量的表示；數(shù)形結(jié)合

“向量”作為數(shù)學(xué)工具，不僅在學(xué)習(xí)平面幾何、三角函數(shù)、解析幾何、復(fù)數(shù)理論等方面有著特殊的作用，在數(shù)學(xué)之外的物理學(xué)、航天航海等方面有著廣泛的應(yīng)用，還在深入研究數(shù)學(xué)理論、數(shù)學(xué)應(yīng)用方面有著十分重要的作用。但是，學(xué)生在認(rèn)知向量方面，總是顯現(xiàn)“弱智”。要么就看成是“數(shù)”，類比實(shí)數(shù)的方法處理向量，結(jié)果是，差之毫厘失之千里；要么就無從下手。究其原因：不能正確的表示向量，更不能將三種表示互相轉(zhuǎn)化，所以就“無從下手”。

向量是既有大小、又有方向的一種數(shù)學(xué)量。通常有下列三種表示方法：1、幾何法（有向線移）；2、基底法（平面向量基本定理）；3、坐標(biāo)法（正交基底）。本文就向量的表示，互相轉(zhuǎn)化為例，說明如何解決向量問題。下面以例說明：

例1：（2015·高考福建卷）已知 ⊥ ， = ，若點(diǎn)P是△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且 = + 則 的最大值等于（ ）

A.13 B.15 C.19 D.21

解法1（坐標(biāo)法）：

以A為原點(diǎn)，AB，AC所在直線分別為x軸，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖.則A（0，0），B（ ，0），C（0，t），所以 =（1，0）， =（0，1）， 所以 = + =（1，0）+4（0，1）=（1，4），所以P點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，4）， =（ -1，﹣4）， =（﹣1，t-4）

所以 · =﹣1-t-4t+16=﹣（ +4t）+17≤﹣4+17=13.當(dāng)且僅當(dāng) =4t即t= 時(shí)取“=”，所以 · 的最大值為13.

解法2（基底法）：

= - = -（ + ）

= - = -（ + ）

· = · - ·（ + ）- ·（ + ）+（ + ）2

=- +1-4t+16=- -4t=17≤-4+17=13

點(diǎn)評(píng)

1.因?yàn)閳D形十分完善，故可以選擇坐標(biāo)法。用坐標(biāo)運(yùn)算，簡潔、明快。

2.基底表示向量是“基本定理”，基本上是“全能”的解決向量問題，而選擇基底是關(guān)鍵。

3.我們充分的應(yīng)用了表示的相互轉(zhuǎn)化，將“幾何”轉(zhuǎn)化成了坐標(biāo)、基底，顯然是解決問題很有效的方法。

仿照例1，我們?cè)倥e例說明“表示”的方法的重要性。

例2：（2015年全國1第15題）△ABC的外接圓的圓心為O，兩條邊上的高的交點(diǎn)為H，則實(shí)數(shù)

解：以O(shè)為原點(diǎn)，BC的垂線為Y軸建立直角坐標(biāo)系，

設(shè)A（x1，y1），B（-x2，y2）.則C（x2，y2）

又設(shè)H（x，y）

∴ + + =（x1，y1+2y2）， =（x1，y）

∵ =m（ + + ）

∴m=1

點(diǎn)評(píng)：

1.本題的“下手”十分困難，十幾年來，我查閱了很多資料，從未發(fā)現(xiàn)此題的“規(guī)范”解法（只有高考試題的答案中使用了特殊法，以直角三角形為例做出了答案，其實(shí)作為填空題，其做法不規(guī)范。）但用坐標(biāo)表示，并不是很難，請(qǐng)大家賞閱。

2.此題的基底計(jì)算，或者幾何證明，的確很困難，其切入口（基地選擇）不明確，運(yùn)算量大，本人未找到合理的解法，各位同仁有解法者，請(qǐng)奉獻(xiàn)，我們共勉。